RÓWNANIE OSI UGIĘTEJ BELKI – PODEJŚCIE WARIACYJNE
q
l
RAY
RBY
1. Rozwiązanie wariacyjne - funkcjonał problemu
1
l
l
J [ w] =
EI ( w′ )2 dx −
∫
∫ q( x) w( x) dx
2
0
0
π
Niech
w ( x) x
=
sin
A
, bo (0) = ( ) = 0
w
w l
,
l
2
π
π
4
π
π
wówczas
2
x
w′ ( x) x
= −
sin
A
oraz
( w′ ) 2
2
=
sin
A
2
l
l
4
l
l
Podstawiając do funkcjonału
4
1
l
l
π
π
J [ w]
x
π x
2
2
=
sin
−
sin
EIA
dx
qA
dx =
∫
∫
4
2
l
l
l
0
0
4
l
4
1
π
1
2
l
ql
π x
π EI
ql
2
2
=
+
cos
EIA
A
=
A −
A = J A = f A 4
3
[ ]
( )
2
2
4
l
π
l
l
π
0
l
l
1
(wzór
l
2
sin ax dx =
(
− sin
cos
ax
ax
ax ) =
∫
)
2
2
a
0
0
ści funkcjonału (funkcji): δ
=
= 0
J
,
czyli
dA
4
1
2
dJ
π EI
ql
3
4
4
1
2
2
4
ql
l
ql
ql
=
−
= 0
A
⇒
=
⋅
=
= 0.01307
A
3
2
dA
l
π
3
4
4
2 l
π
π EI
π EI
EI
Ostatecznie ugięcie opisuje równanie:
4
4
4
w ( x) ql
π x
ql
π x
=
sin
= 0.01307
sin
4
π EI
l
EI
l
2. Rozwiązanie równania różniczkowego
q
x
x
l
R
AY
RBY
y
Równanie osi ugiętej belki
EIw′ ( x) = − M ( x)
Wzór opisujący wartość momentu zginającego w przekroju odległym o x od początku układu współrzędnych 2
2
′ ( ) = −
( )
ql
qx
ql
x
EIw
x
M x = −
x +
=
x −
2
2
2
l
Całkując
2
3
2
′( )
ql
x
ql
x
x
w x =
x −
dx =
−
+
∫
C
2
2
3
2
EI
l
EI l
4
oraz
w ( x) ql
x
3
=
− x + Cx +
D
12
2
EI l
2
Warunki brzegowe (
l
0) = 0 ⇒
= 0
w
D
oraz w( l ) = 0 ⇒ C =
2
3
2
3
A st
ql
x
x
ąd
w( x) =
1
− 2
x
+
2
3
24 EI
l
l
4
4
5
ql
ql
oraz
w ( 2
l
) =
= 0.01302
384 EI
EI