Dla a>0, a≠1, b>0, b≠1, x,y>0 zachodzą równości: Funkcje sinx oraz cosx są określone na całej osi rzeczywistej R i loga(x*y)=logax+logay
sin x
x
odwzorowujące R na przedział <-1;1>. Funkcja tgx =
log = log x − log y
cos x
a
z
a
y
jest
określona
na
zbiorze
x=R\A
gdzie
log ( y
x
= y ⋅
x
a
)
log a
π
A = ± (2 n + )
1
, gdzie n = 0,1, 2... funkcja
log
2
a1=0
logaa=1
cos x
ctgx =
log x = log b ⋅ log x
jest określona na zbiorze X=R\B gdzie
a
a
b
sin x
Podstawiając
w
ostatniej
równości
x=a
otrzymujemy:
B = {± n ⋅π gdzie n = 0,1, 2,.. }
. . Przeciwdziedzina
1
log a = log b ⋅ log a
czyli
log b =
,
funkcji tgx i ctgx jest y=R.
a
a
b
a
log a
b
log ( x) = (log b) ⋅
>
≠
≠
>
(log x) a, b
0; a
1, b
1 x
0
a
a
b
Odwrotności funkcji sinx oraz cosx oznaczamy następująco: 1
1 = (log b) ⋅ (log a
a
b
)
=
1
sec x („sekans” x)
= csc x („kosekans” x).
cos x
sin x
1
czyli: log b =
.
Funkcja secx jest określona na zbiorze x=R\A gdzie a
log a
b
π
A = xε R : x ± (2 n + ) 1
, gdzie n = 0,1, 2... . Funkcja
Logarytmem naturalnym nazywamy funkcję logarytmiczną o
2
podstawie a=e, gdzie
cscx
jest
określona
na
zbiorze
x=R\B
gdzie
n
1
B = { xε R : x ± ( nπ ) gdzie n = 0,1, 2.. }
. .
e =
1 +
= 2,7 itd.
lim
n→∞
n
Przeciwdziedziną
funkcji
secx
i
cscx
jest
zbiór
Przyjmujemy oznaczenia:
Y = (− ;
∞ 1
− > ∪ <1;∞) .
log x = ln x
e
związek między logarytmem naturalnym oraz logarytmem o Funkcje cyklometryczne.
dowolnej
podstawie
b>0
i
b≠1
jest
następująca.
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych rozważane w ln x = (ln b) ⋅ log x
odpowiednio zawężonych dziedzinach:
b
π π
Funkcje hiperboliczne.
f ( x) = arcsin x X =< −1;1 >→ Y =< −
;
>
2 2
Funkcje hiperboliczne są to funkcje postaci.
f ( x) = arccos x X =< 1
− ;1 >→ Y =< 0;π >
x
− x
e − e
=
π π
sinh x
(sinus hiperboliczny)
2
f ( x) = arctgx X = (− ;
∞ ∞) → Y = (− ; )
2 2
x
− x
e + e
f ( x) = arcctgx X = (− ;
∞ ∞) → Y = (0;π )
cosh x =
(cosinus hiperboliczny)
2
x
− x
f(x)=arcsinx
sinh x
e − e
tghx =
=
x
− x
π
cosh x
e + e
arcsin(-1)=y siny=-1 dla y = −
2
cosh x
1
x
− x
e + e
ctghx =
=
=
sinh
x
− x
x
tghx
e − e
Funkcje sinhx, coshx, tghx są określone dla każdego xεR
arccos(-1)=y cosy0=-1 dla y=π
natomiast
ctghx
jest
określony
dla
xεR\{0}
π
−
arccos(0)=ycosy=0 dla y =
x
x
=
⇔ =
0
e
e
x
0
Przeciwdziedzina
funkcji
2
hiperbolicznych
sinh x Y = R
arctg(0)=y0tgy0=0 dla y0=0 f(x)=arctgx
cosh x Y =< 1; +∞)
π
tghx Y = ( 1
− ;1)
arcctg(0)=y
y =
0ctgy=0 dla
2
ctghx Y = (− ;
∞ 1
− ) ∪ (1;∞)
Fukcja wykładnicza
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej lub modułem liczby Funkcję f nazywamy funkcję wykładniczą jeżeli ( )
x
f x = a ,
rzeczywistej xεR nazywamy liczbę nieujemną |x|, przy czym : gdzie a<0. Dziedziną funkcji f jest zbiór X=R. Przeciwdziedziną
x gdy x ≥ 0
funkcji f jest zbiór Y=(0;∞) gdy a≠1 lub zbiór Y={1}, gdy a=1
x =
− x gdy x < 0
Funkcja logarytmiczna
Własności:
Ponieważ funkcja wykładnicza
( )
x
f x = a jest dla a>0 a≠1
1. Nierówność |x|≤a jest równoważna z nierównością podwójną rosnąca lub malejąca więc jest to wtedy funkcja wzajemnie
-a≤x≤a
jednoznaczna. Zatem istnieje wówczas funkcja odwrotna do f, Dowód.
która odwzorowuje przedział (0;∞) na zbiór liczb rzeczywistych x ≤ a ⇒ x ≤ a ∧ − x ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥
R. Funkcję f-1 nazywamy funkcją (logarytmiczną) logarytmem o podstawie a i oznaczamy symbolem m. f
≥ − a ⇔ − a ≤ x ≤ a
-1x=logax.
5
− a ≤ x ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ − a ⇔ x ≤ a ∧
^ − x ≤ a ⇒ x ≤
a
2. x + y ≤ x + y
Ponieważ x≤|x|; y≤|y| więc, -|x|≤x≤|x|, -|y|≤y≤|y| dodając stronami otrzymujemy.
-(|x|+|y|)≤x+y≤|x|+|y|
z własności 1 otrzymujemy :
|x+y|≤|x|+|y|
3. |x-y|≤|x|+|y|
Dowód.
|x-y|=|x+(-y)| ≤|x|+|-y|=|x|+|y|
4. |x+y|≥|x|-|y|
x-(x+y)-y,
|x|=|x+(y-y)| ≤|x+y|+|y|
|x|-|y|≤|x+y|
5. |x-y|≥|x|-|y|
6. |x-y|≥||x|-|y||
Dowód: 5
Otrzymujemy: |x-y|≥|x|-|y|
Ponadto można napisać:
|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|≥|y|-|x|=-(|x|-|y|)
Zatem: |x-y|≥||x|-|y||
Funkcje złożone.
Niech g będzie funkcją odwzorowującą funkcję X na zbiór Y, a f niech będzie funkcją odwzorowującą zbiór Y w zbiór Z.
f°g=f(g)
Złożeniem lub superpozycją funkcji f oraz g nazywamy funkcję (f°g)(x)=f(g(x)) odwzorować x w zbiór z. Oznacza to, że superpozycja
f o g : (
x, z)∈ X × Z =
( y = g( x) ∧ z = f ( y)
∃
y Y
∈
Własności superpozycji funkcji:
1.
f•(g•h)=(f•g) •h – łączność
2.
f•g≠g•f – nieprzemienność
3.
Jeżeli f odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie
X na Y, f-1 jest funkcją odwrotną do f, to
zachodzi:
( f
f )( x) = x, ( f
f )( y) = y
∀ ∀
o
o
1
−
1
−
xε X
yε Y
W superpozycji funkcji f•g to znaczy funkcji (f•g)(x)=f(g(x)) funkcję g nazywamy funkcją wewnętrzną, a f funkcją zewnętrzną.
1
Np. Funkcja h(x)= sin
jest funkcją złożoną z
2
1− x
1
funkcji wewnętrznej u=g(x)=
oraz funkcji zewnętrznej
2
1− x
f(u)=sinu
Przyjmujemy oznaczenia.
R=(-∞;∞) cała oś rzeczywista, zbiór liczb rzeczywistych.
N={1,2,...} zbiór liczb naturalnych
C={0,±1, ±2,....} zbiór liczb całkowitych
m
W={
mεC, nεN} zbiór liczb wymiernych.
n
6