Wyznaczniki i minory macierzy

Wyznaczniki

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n o elementach aij nazywamy funkcję rzeczywistą elementów aij określoną wzorem det A

A

a * a *.....* a

i

1

2 j

np

Gdzie sumowanie przebiega wszystkie permutacje wskaźników (i, j,...,p) ciągu (1, 2,...,n), przy czym znak plus jest, gdy (i, j,...,p) tworzą permutację parzystą, a znak minus jest gdy wskaźniki te tworzą permutację nieparzystą.

Minory

Jeżeli w macierzy A skreśli się „ i-ty” wiersz i „ j-tą” kolumnę, to wyznacznik takiej podmacierzy nosi nazwę minora i oznaczany jest przez Mi,j.

1

2

1

1

2

2

1

2

A

M1,1 5

3

2

5

3

Algebraiczne dopełnienie (czyli minor z odpowiednim znakiem) elementu aij macierzy A

Ai,j = (-1)i+j * Mi,j

Wartość wyznacznika macierzy A możemy wyznaczyć za pomocą dopełnień

det A

a * A

a

* A

i

i

( j )

( j )

Przy czym wskaźnik „i” oznacza dowolny wiersz a „j” dowolną kolumnę („a” z wyznacznika i „A” z macierzy dopełnień algebraicznych) .

RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel

1/4

Macierze - odwrotność

Właściwości macierzy

Rząd macierzy R(A)

Rząd macierzy definiuje się jako liczbę jej liniowo niezależnych wierszy lub jako liczbę jej liniowo niezależnych kolumn.

Rząd macierzy R(A) stanowi najwyższy stopień minorów macierzy A różnych od zera

0 < R( An,m ) min(n, m)

gdzie min(n, m) oznacza mniejszy wymiar macierzy A.

Własności

R(A) = R(AT)

R(ABC) min (R(A) , R(B) , R(C))

Macierz kwadratowa An, jest pełnego rzędu (macierzą nieosobliwą), gdy

R( An,n ) = n czyli det (A) 0

Macierz kwadratowa A jest niepełnego rzędu ( macierzą osobliwą), gdy

det (A) = 0

Macierz prostokątna pionowa An,m (n> m) jest kolumnowo pełnego rzędu (regularną kolumnowo), gdy R(An,m) = m Macierz prostokątna pozioma An,m (n < m) jest wierszowo pełnego rzędu (regularną wierszowo), gdy R( An.m) = n Defektem macierzy An.m nazywamy liczbę całkowitą określoną wzorem

d = min ( n, m ) – R (An,m)

RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel

2/4

Macierze - odwrotność

Wszystkie macierze pełnego rzędu posiadają defekt zerowy, czyli d = 0.

Jeżeli macierz posiada d > 0 , to macierz ta jest niepełnego rzędu, czyli osobliwa.

Ślad macierzy dla macierzy kwadratowej An,n.

Sp ( An,n ) =

aii

Macierz odwrotna

Odwrotność lewostronna (dla macierzy pionowej)

(Am,n)-1 * An,m = Em,m

Odwrotność prawostronna (dla macierzy poziomej)

An,m * (Am,n)-1 = En,n

Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n * n jest nieosobliwa, czyli jest macierzą której rząd R(A)= n, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna: A

* A 1

A 1 * A

E

n, n

n, n

n, n

n, n

Własności odwrotności:

( A*B*C )-1 = C-1 B-1 A-1

A-1 = (HT * G)-1 = G-1 * (HT)-1

A-1 = (A-1)T

(dla macierzy symetrycznej)

(AT)-1 = (A-1)T

RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel

3/4

Macierze - odwrotność

Odwrotność liczona za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych

1

1

T

A

* D

A-1

macierz odwrotna

det A

Det |A|

wyznacznik macierzy A

DT

macierz dopełnień

algebraicznych (dla A)

1 2 4

A

1 2 2

1* 2 *3 2 * 2 *1 4 *1*3 4 * 2 *1 2 *1*3 1* 2 *3 6 4 12 8 6 6 22 20 2

1 3 3

2 2

1 2

1 2

M

6 6 0 

 M

3 2 1 

 M

3 2 1

1

,

1

3 3

,

1 2

1 3

,

1 3

1 3

2 4

1 4

1 2

M

6 12

6 

 M

3 4

1 

 M

3 2 1

2 1

,

3 3

2,2

1 3

2,3

1 3

2 4

1 4

1 2

M

4 8

4 

 M

2 4

2 

 M

2 2 0

1

,

3

2 2

,

3 2

1 2

,

3 3

1 2

0

1

1

0

1

1

0

6

4

T

M

6

1

1

D

6

1

1

D

1

1

2

4

2

0

4

2

0

1

1

0

0

6

4

0

3

2

1

1

T

1

A

* D

*

1

1

2

5

,

0

5

,

0

1

det A

2

1

1

0

5

,

0

5

,

0

0

RW – 1.4 – dr inż. Jan Ruchel

4/4

Macierze - odwrotność