A. Oblicz napięcie na wyłączniku u w stanie nieustalonym. Przed komutacją układ był w w ( t )
stanie ustalonym. Narysuj przebiegi napięcia i prądu w cewce i kondensatorze. Dane: e = V
6 , e = V
4 , e = V
6 , j = 1 A, R =
= 2Ω , R = R = R = Ω
1 , L =
H
1
.
0
,
1
2
4
5
1
R 2
3
4
6
6
C =
F
1
.
0
.
7
R
t=0
3
e
uw
2
R6
e
uR6
1
e4
iC
iL
u
j
C
5
R
u
1
R2
C
L
L
7
6
R4
Rozwiązanie:
Po otwarciu wyłącznika układ można podzielić na dwie części (dwa układy I rzędu).
Poszukiwane napięcie, po wyznaczeniu napięcia i prądu cewki oraz napięcia na kondensatorze, można obliczyć z napięciowego prawa Kirchhoffa u = u − i R − u w
C
L
6
L
1. Wyznaczamy warunki początkowe – wyłącznik zamknięty Ponieważ wszystkie źródła są źródłami napięcia i prądu stałego cewkę idealna zastępujemy zworą, a kondensator idealny traktujemy jako przerwę. Otrzymujemy więc schemat, w którym dowolną metodą wyznaczamy zaznaczone wielkości u ( −
0 oraz i ( −
0 .
L
)
C
)
R
1
3
i3
2
i1
i
e
2
i4
2
R6
e1
e
u
4
C(0)
j5
R
R
i
1
2
L(0)
R4
Najłatwiej wyznaczyć te wielkości korzystając z metody napięć węzłowych: 1: i + i + i = 0
1
2
3
2 : i + i − i − j = 0
L
4
3
5
V − e
V + e
V −
1: 1
1
1
2
1
V 2
+
+
= 0
1
R
R 2
3
R
V
V − e
V − V
2 : 2
2
4
1
2
+
−
− j = 0
5
R 6
R 4
3
R
1
Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy układ dwóch równań liniowych: 2 V − V = 1
1
2
− V + 3 V = 7
1
2
którego rozwiązaniem są napięcia węzłowe: V = V
2
1
V = V
3
2
Na tej podstawie wyznaczamy warunki początkowe: u 0− =
= 2
C (
) V V
1
0−
2
=
= 3
L (
) V
i
A
R 6
2. Obecnie rozpatrzymy prawą część układu: RC
Wyznaczamy dwójnik Thevenina widziany z zacisków kondensatora 1
A
i
e
2
2
e1
uAB
R1
R2
B
Napięcie u wyznaczyć można wieloma metodami. Zauważmy, że w układzie płynie jeden AB
prąd i
2
e + e
i
1
2
=
= .
2 5 A
2
R + R
1
2
z NPK : u
= i R − e = V
1
AB
2
2
2
Następnie obliczamy rezystancję zastępczą A
R1
R2
B
R = R
= Ω
1
Z
1 R 2
Z zatem dwójnik Thevenina ma postać: 2
ez=1V
RZ=1Ω
B
Stąd obliczamy:
składową wymuszoną: u
= e = V
1
Cw
Z
stałą czasową: τ = R C =
s
1
.
0
Z
7
W efekcie napięcie na kondensatorze wyraża się wzorem: t
-
u t = u
t + u 0 − u τ
10
0 ⋅ e = 1+ e
C ( )
Cw ( )
( C( ) Cw( )
-
t
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
uc
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t[s]
Prąd kondensatora wyznaczamy z zależności: du
i t = C
10
= e−
−
C ( )
C
t
dt
3
-0,2
-0,4
ic
-0,6
-0,8
-1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t[s]
Obecnie analogicznie rozpatrujemy układ RL (prawą część układu wyjściowego) Wyznaczamy dwójnik Thevenina widziany z zacisków cewki A
R6
e4
uAB
j5
R4
B
Napięcie u wyznaczyć można wieloma metodami. Zauważmy, że w układzie płynie jeden AB
prąd j = 1 A
5
z NPK : u
= i R + e = V
7
AB
5
4
4
Następnie obliczamy rezystancję zastępczą A
R6
R4
B
R = R +
= Ω
2
Z
4
R 6
Z zatem dwójnik Thevenina ma postać: 4
ez=7V
RZ=2Ω
B
Stąd obliczamy:
składową wymuszoną:
e
i
Z
=
= 3.5 A
Lw
RZ
stałą czasową:
L
τ =
= 05
.
0
s
RZ
W efekcie prąd kondensatora wyraża się wzorem: t
-
i t = i
t + i 0 − i τ
20
0 ⋅ e = 5
.
3 −
e
5
.
0
L ( )
Lw ( )
( L( ) Lw( )
-
t
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
uL
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t[s]
Napięcie na cewce wyznaczamy z zależności: di
u t = L
20
e−
=
L ( )
L
t
dt
5
0,8
0,6
ic
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t[s]
W efekcie
-10 t
-20 t
u = u − i R − u = −2.5 + e
− 0. e
5
w
C
L
6
L
(tego rysować nie trzeba na sprawdzianie) 0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
iL
-2,5
-3,0
-3,5
-4,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t[s]
6
Wyniki ze SPICEa
1. warunki poczatkowe
R3
1
2.00
3.00
4
5
V1
V2
R6
V4
6
4
1
6
-4.00
6.00
-3.00
1
2
3
I1
R1
R2
1
R4
2
2
1
stan nieustalony
Uw
volts
Δ
4
5
V1
V2
R6
V4
6
4
C1
1
6
0.1
IC = 2
1
2
3
0.1
6
I1
R1
R2
L1
1
R4
2
2
0.1H
1
IC = 3
prąd cewki
3.60
1
3.40
psm
n A
3.20
i] i
l1[
@
3.00
2.80
100.0M
300M
500M
700M
900M
WFM.1 @l1[i] vs. time in Secs napięcie na cewce
7
800M
slto
V
400M
in
UL
0
1
-400M
100.0M
300M
500M
700M
900M
WFM.1 UL vs. time
prąd kondensatora
400M
0
1
sp
Am
-400M
n i
IC
-800M
-1.20
100.0M
300M
500M
700M
900M
WFM.1 ICvs. time in Secs
napięcie na kondensatorze
2.20
1.80
lts
Von
1.40
) i4
V(
1.00
1
600M
100.0M
300M
500M
700M
900M
WFM.1 V(4) vs. time in
8
-1.80
-2.00
slto
V
-2.20
in
UW
-2.40
1
-2.60
100.0M
300M
500M
700M
900M
WFM.1 UW vs. TIME in Secs
Wyniki te w pełni potwierdzają obliczenia ręczne.
9