r
E
2
2
2
2
∂ ϕ 1 ∂ϕ
1 ∂ ϕ
∂ ϕ
∇ ϕ =
+
+
+
2
2
2
2
r
∂
r
r
∂
r ∂α
z
∂
d2
2
ϕ 1 dϕ 1 d ⎛ dϕ ⎞
∇ ϕ =
+
=
⎜ r
⎟
d 2
r
r d r
r d r ⎝ d r ⎠
⎧ 1 d ⎛ d 1
ϕ ⎞
q
⎪
⎜ r
⎟ = − v
0 < r ≤ R
r r
d ⎝
r
d ⎠
εε
⎪⎪
0
⎨⎪
⎪ 1 d ⎛ dϕ2 ⎞
⎜ r
⎟ = 0
r > R
⎪⎩ r r
d ⎝
r
d ⎠
q
⎪ ϕ = − v 2
r + A ln r +
1
1
1
B
⎨
εε0
⎪
⎩ ϕ = A ln r +
2
2
2
B
Warunki brzegowe:
1.
r = 0 ⇒ ln r → −∞
A = 0 i ϕ ( ) 0 = 0 ⇒ B = 0
1
1
1
⎧
v
2
A ln R +
= − q
B
R
⎪⎪
2
2
4εε0
r = R ⇒ ⎨
2.
⎪ A 2 = − q v
⎪
R
⎩ R
2εε0
⎧ 1ϕ(
v
2
r )
q
⎪
= −
r
0 < r ≤ R
4εε
⎪⎪
0
⎨⎪
⎪ ϕ2(
v
2
v
2
r ) = q
R
R ln
− q R
r > R
⎪⎩
2εε
r
0
4εε0
⎧
dϕ
q
⎪ E 1( r) = −
1 = v r
0 < r ≤ R
r
d
2εε
⎪⎪
0
⎨⎪
2
⎪
dϕ
E 2( r) = −
2 = q R
v
r >
⎪
R
⎩
r
d
2εε
r
0
0
R
( r)
Rozkłady natężenia pola i potencjału dla walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową q v