Instytut Matematyki PK
PODSTAWOWE WASNOCI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
zadania domowe
Zadanie 1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ naturaln¡ funkcji: s
1)
2
f (x) = x2 − 3x + 21/2 + 3 − 2x − x2−1/2 , 2) f(x) = log1 x −
,
3
x
r
3)
1
p
f (x) =
2(2x−3)(x+1) −
,
4) f(x) = log |x − 3|,
2
2
5) f(x) = log
(x2 + 2x + 3),
6) f(x) = log
(x2−3)
10−x2 arctgx,
log
(x − 1)
1
7) f(x)
0,3
√
,
8) f(x) = arcsin 3x+12 ,
−x2 + 2x + 9
9) f(x) = log 1 − log x2 − 5x + 6,
10) f(x) = log
arcsin(3x2 − 4x) ,
0,5
11)
3x − 1
f (x) = log
,
12) f(x) = arcsin(x2 − 2x)
2x + 1
p
r
13)
x(x − 2)
1
f (x) =
+ log
sin x −
,
x − 1
( x +1)(3 + 2x − x2),
14) f(x) =
2
2
15) f(x) = arcsin(ln 2x).
Zadanie 2. Wyznaczy¢ dziedzin¦ i zbiór warto±ci funkcji: 1) f(x) = |2x − 3|,
2) f(x) = 1 + |log x|,
2
√
3) f(x) = 3 − 2| cos 2x|,
4) f(x) = x3 − 4x2 + x,
5)
x − 5
2x + 1
f (x) =
,
6) f(x) =
,
x2 − 4x − 5
3x − 2
√
7) f(x) = x2 − 4.
Zadanie 3. Które z podanych funkcji s¡ parzyste, a które nieparzyste?
1) f(x) = x3 + 5,
2) f(x) = 3x2 sin x,
3) f(x) = x4 + 2x2 + 2,
4) f(x) = 2x + 2−x + x2 cos x,
√
5)
1
f (x) = 2x
,
6) f(x) = x + x2 + 1 ,
|x|
√
7)
f (x) = 2 cos2 x + 3,
8) f(x) = log x + 1 + x2 .
Zadanie 4. Które funkcje s¡ rosn¡ce, a które malej¡ce?
1) f(x) = 2x2 + x dla x ∈ −4, −1,
2) f(x) = 2 sin 2x + 1,
4
3) f(x) = 3tg2x − 1 dla x ∈ 0, π,
4) f(x) = 3x + 2.
2
Zadanie 5. Dane s¡ funkcje:
√
1) f(x) = x2, g(x) = 1 − 2x, h(x) = sin x,
2) f(x) = −x2 + 2x − 6, g(x) = log x, h(x) = 2x+1.
Wyznaczy¢ nast¦puj¡ce funkcje zªo»one (o ile istniej¡): f ◦ f, g ◦ h, h ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, f ◦ h, h ◦ g, g ◦ g, h ◦ h, f ◦ f ◦ f, g ◦ h ◦ f, g ◦ g ◦ f, g ◦ f ◦ f, f ◦ f ◦ h.
1
Zadanie 6. Rozªo»y¢ na funkcje skªadowe funkcje zªo»one w kolejno±ci skªadania:
√
1) f(x) = sin x,
2) f(x) = etgx,
√
3) f(x) = cos2 x + 1,
4) f(x) = arcctg 3psin [ln(tg5x)].
Zadanie 7. Zbada¢ ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji: 1) f(x) = x2,
2) f(x) = |x2 − 6|,
3)
1 − 2x
f (x) = x2 + 3x − 4,
4) f(x) =
,
x − 3
5) f(x) = 3x − 5,
6) f(x) = 2x+3,
7) f(x) = x3 + 3,
8) f(x) = log (x2 + 5x),
3
9) f(x) = sin 2x,
10) f(x) = log(x2 + 1),
11) f(x) = cos(x − 1) + 2,
12) f(x) = ptg(2x + 3).
Zadanie 8. Obliczy¢:
√
1)
arcsin − 3 ,
2) arccos 0,
2
3) arcsin(−1),
4) arcsin 1 − 4 arcctg1 + 2 arccos(−1),
2
√
√
√
√
5) arctg(−1) + arcctg(− 3) − 2 arcsin 3, 6) arcctg(−1) + arcsin 2 − 4 arctg 3, 3
2
2
√
√
√
7)
tg arcctg(− 3) − 4 arccos 3 ,
8) sin 3 arctg 3 + 2 arccos 1,
2
2
9) arctg tg5π − arcctg ctg(−4π),
10) 3 arcsin sin(−13π) − 2 arccos cos 17π, 6
3
5
7
√
√
11)
sin (arctg (cos (tg (arcsin 0))))
12) 1 · arctg1 − arccos 2 + arcsin − 3 .
π
2
2
Zadanie 9. Wyznaczy¢ dziedzin¦, zbiór warto±ci funkcji oraz funkcj¦ odwrotn¡ (o ile ist-nieje) do funkcji:
1) f(x) = 3x+2,
2) f(x) = 1 − log (1 − 2x),
3
3)
x + 2
p
f (x) =
,
4) f(x) = log (2x − 3) + 2,
1 − x
3
5) f(x) = log (2x + 3),
6) f(x) = 1 + 2 arcsin(1 − x),
2
√
7)
1
f (x) =
x2 − 6x + 9,
8) f(x) =
.
arccos x+3
2
Zadanie 10. Rozwi¡za¢ równania i nierówno±ci:
√
√
q
√
1) 4 x−2 + 16 = 10 · 2 x−2,
2) 16 (0, 25)5−1x
4
=
2x−1,
3)
x+1
1
(0, 5) x−1 >
,
4) 3x+12 + 3x−12 > 4x+12 − 22x−1,
32
√
√
5) log x − 5 + log 2x − 3 + 1 = log 30,
6) log(0, 5 + x) = log 0, 5 − log x,
7) log (x + 14) + log (x + 2) ≥ 6,
8) log2 x − log x3 + 2 = 0,
2
2
3
3
9) log (x2 − 3) − log (x − 1) > 1,
10) log
(3x2 − 7x + 3) < 2,
x
x
(2x−3)
√
11)
1
log3(x + 1) − 2 log2(x + 1) − log(x + 1) + 2 ≥ 0, 12) arcctg( 3)−x2 > arcctg ,
81
2
π
arccos(8x + 2) < arccos 4x,
14) arcsin (0, 5 · log(x + 1)) > ,
4
15) arcctg (log (x + 2)) < arcctg0, 5.
2
Zadanie 11. Naszkicowa¢ wykres funkcji:
1) f(x) = cos (| x| − x),
2) f(x) = | sin x| + sin x,
3) f(x) = tg(|x|),
4) f(x) = 2 log (x + 3) − 1,
2
x+2
5)
1
f (x) =
,
6) f(x) = arctg(−x) + π,
3
7) f(x) = 2 arccos x − π.
3