Macierz jest to prostokątna tablica liczb. Macierz składa się z wierszy i kolumn.
2 5
1
Przykład:
0
3
,
0
3
Ta macierz ma 2 wiersze i 3 kolumny.
Mówimy, że ma wymiar „2 na 3”, co zapiszemy: 2 x 3.
Dodawanie macierzy
Założenie: Dane są macierze A oraz B o tych samych wymiarach.
Macierz A + B jest to macierz otrzymana przez dodawanie do siebie wyrazów znajdujących się w danych macierzach na tych samych miejscach.
Macierz A + B ma ten sam wymiar, co macierze A i B.
3 4
2 3
Przykład. Dane są macierze:
A 2 1 ,
B
5 2
0
5
2 0
Wówczas:
A B 2 5 1 2
7
3
0 2 5 0 2
5
Odejmowanie macierzy
Założenie: Dane są macierze A oraz B o tych samych wymiarach.
Macierz A B jest to macierz otrzymana przez odejmowanie od siebie wyrazów znajdujących się w danych macierzach na tych samych miejscach.
Macierz A B ma ten sam wymiar, co macierze A i B.
3 4
2 3
Przykład. Dane są macierze:
A 2 1 ,
B
5 2
0
5
2 0
3 2 4 3 1
1
Wówczas:
A B 2 5 1 2
3 1
0 2 5 0 2
5
Mnożenie liczby przez macierz
Założenie: Dana jest dowolna liczba k i dowolna macierz A.
Macierz k A jest to macierz otrzymana przez pomnożenie każdego wyrazu macierzy A przez liczbę k.
Macierz k A ma ten sam wymiar, co macierz A.
3 4
Przykład. Dana jest liczba 4 i macierz A
2
1
4 3 4 4 12 16
Wówczas: 4 A
2 4 1 4 8 4
Mnożenie wiersza przez kolumnę
Założenie: Dane są macierze A oraz B takie, że macierz A ma tyle kolumn, co macierz B wierszy.
Mnożenie wiersza przez kolumnę polega na mnożeniu kolejnych elementów wiersza przez odpowiednie elementy kolumny i sumowaniu wyników. Wynikiem tego mnożenia jest liczba.
2 3
3 4 1
Przykład. Dane są macierze:
A
,
B
5 2
2 1
3
2 0
Pomnożymy (przykładowo) drugi wiersz macierzy A przez pierwszą kolumnę macierzy B:
IIw x Ik = 2 2 1 5 3 2 4 5 6 15
Mnożenie macierzy przez macierz
Założenie: Dane są macierze A oraz B takie, że macierz A ma tyle kolumn, co macierz B wierszy.
Mnożenie macierzy A przez macierz B polega na pomnożeniu każdego wiersza macierzy A przez każdą kolumnę macierzy B.
Otrzymana w ten sposób macierz ma tyle wierszy, co macierz A i tyle kolumn, co macierz B.
2 3
3 4 1
Przykład. Dane są macierze:
A
,
B
5 2
2 1
3
2 0
3 2 4 5 1 2 33 4 2 1 0 28 17
A B
2 2 15 3 2 2 3 1 2 3 0 15 8
Przykład. Pomnożymy te macierze w odwrotnej kolejności
2 3
23 3 2
2 4 31
2 1 3 3
3 4 1
B A 5 2
53 2 2
5 4 2 1
5 1 2 3
2 1
3
2 0
23 02 24 01 21 0
3
12 11
11
19 22
11
6
8
2
Wniosek. Mnożenie macierzy nie jest przemienne: A B B A
Uwaga. Może się zdarzyć, że jedno z tych mnożeń można wykonać, a drugiego – nie, np. gdy macierz A ma wymiar 3x4, zaś macierz B ma wymiar 4x5, to wynikiem mnożenia A B jest macierz o wymiarze 3x5. Mnożenia B A nie można wykonać, gdyż liczba kolumn macierzy B jest inna niż liczba wierszy macierzy A.