Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2013/2014
1. [7 p. ] a) Wyznaczyć macierz X z równania B− 1 X(4 A) − 1 = ( A− 1 B) − 1
gdzie
"
#
"
#
1 2
2
2
A =
,
B =
0 1
− 1 1
[2 p. ] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej osobliwej stopnia piątego i macierzy diagonalnej nieosobliwej stopnia czwartego.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7 p. ] a) Dla jakich wartości parametru k układu równań
x + 2 y + (2 − k) z = 0
x + (2 − k) y + 2 z = 0
(1 − k) x + 2 y + 2 z = 0
ma niezerowe rozwiązania? Znaleźć te rozwiązania.
[2 p. ] b) Podać po jednym przykładzie macierzy stopnia n 4, z których jedna jest rzędu pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi obliczeniami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7 p. ] a) Sprawdzić, czy proste l 1 i l 2 o równaniach y + 1
l 1 : x + 3 =
= z + 1
i
l 2 : x = − 4 + 3 t, y = 2 + t, z = t, t ∈ R
2
się przecinają. Jeśli tak, wyznaczyć punkt przecięcia tych prostych.
[2 p. ] b) Znaleźć długość wektora ~a = 5 ~
p − 4 ~
q, wiedząc że |~
p| = 2, |~
q| = 5 i 6 ( ~
p, ~
q) = 2 π .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [5 p. ] a) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie
√
√
3
i !7
z 2 =
3 − 4 i + 2
+
2
2
[4 p. ] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę I
z 3 dz ,
z 2 + 4
C
gdzie C jest krzywą o równaniu |z −i| = 2 zorientowaną dodatnio. Wykonać rysunek tej krzywej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7 p. ] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a 2 s 3 + 2 s 2 + 3 s + 3
F ( s) =
s 4 + s 3 + s 2
.
[2 p. ] b) Wyznaczyć transformatę funkcji f ( t) = sin2 $t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [ dla chętnych] [4 p. ] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający ujemnej wartości własnej macierzy
1 0
3
A = 0 2 − 1
0 0 − 1