ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE

Rozkład prawdopodobieństwa

Funkcję przyporządkowywującą realizacjom zmiennej losowej X odpowiadające im prawdopodobieństwa nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (rozkładem prawdopodobieństwa) i zapisujemy następująco: n

(

P X = x ) = p ,

przy czym ∑ p 1 (∑∞ p

) i dla każdego i p

i ≥ 0

i = 1

i =

i

i

i=1

i=1

Dystrybuanta (poniższy tekst dotyczy zmiennych losowych skokowych i ciągłych) Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funkcję F( x ) = (

P X < x ) . Charakteryzuje się następującymi własnościami:

1) 0 ≤ F( x ) ≤ 1

2) jest funkcją niemalejącą

3) jest funkcją lewostronnie ciągłą

4) F( −∞ ) = 0 oraz F( +∞ ) = 1

(Warto dodać, że (

P a ≤ X < b ) = F( b ) − F( a )) Parametry zmiennej losowej – wartość oczekiwana i wariancja

Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) Wartość oczekiwana informuje (zarówno dla zmiennych losowych skokowych jak i ciągłych) jaki jest przeciętny poziom wartości, jakie przyjmować może zmienna losowa.

Wartość oczekiwaną oblicza się ze wzoru:

n

E( X ) = ∑ x p

( E( X ) = ∑∞ x p ) i

i

i

i

i=1

i=1

Własności wartości oczekiwanej (dla zmiennych losowych skokowych i ciągłych): 1) E( c) = c , gdzie c dowolna stała 2) E( cX + k) = c ⋅ E( X ) + k , gdzie k – dowolna stała 3) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) 4) dla niezależnych zmiennych losowych X i Y zachodzi E( X ⋅ Y ) = E( X )⋅ E(Y ) Wariancja

Pierwiastek z wariancji informuje (zarówno dla zmiennych losowych skokowych jak i ciągłych) o ile przeciętnie realizacje zmiennej losowej odchylają się od wartości oczekiwanej tej zmiennej.

Wariancję oblicza się ze wzoru:

n

2

D ( X ) = ∑( x − E( X

=

−

i

)2

2

) p

E( X )

i

[ E( X ]2

)

i 1

=

Własności wariancji (dla zmiennych losowych skokowych i ciągłych): 1) 0

2

D ( c) = , gdzie c to dowolna stała 2) )

2

D ( cX + k)

2

2

= c ⋅ D ( X , gdzie k to dowolna stała 3) dla niezależnych zmiennych losowych X i Y zachodzi D 2 ( X ± Y ) = D 2 ( X ) + D 2 (Y ) 1

ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE

Funkcja gęstości

Jeśli dystrybuanta F(x) ma pochodną w każdym punkcie x, to funkcję f(x)=F`(x) nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa (funkcją gęstości) Funkcja gęstości jest funkcją spełniającą dwa warunki: 1) 0

f ( x ) ≥

+∞

2) ∫ f ( x dx

)

= 1

−∞

Dystrybuanta

x

F( x ) = ∫ f (t dt

)

−∞

Zachodzą poniższe równości

(

P X = x ) = 0

0

b

(

P a < X < b ) = (

P a ≤ X ≤ b ) = f ( x dx

)

F

= ( b ) − F( a )

∫

a

Parametry zmiennej losowej – wartość oczekiwana i wariancja Wartość oczekiwana

+∞

E( X ) = ∫ xf ( x dx

)

−∞

Wariancja

D 2 ( X ) = [

+∞

x − E( X ]

∫

) 2 f ( x dx

)

−∞

+∞

2

2

D ( X ) = E( X ) − [ E( X ]2

) , gdzie E( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x dx

)

−∞

2