Różniczka funkcji
Definicja 28. Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 . Różniczką funkcji f w punkcie x 0
nazywamy funkcję df zmiennej ∆ x = x − x 0 określoną wzorem df (∆ x) = f ′( x 0)∆ x.
Fakt 6. Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 , to f ( x) ≈ f ( x 0) + f ′( x 0)∆ x, przy czym błąd, jaki popełniamy dąży szybciej do zera niż ∆ x.
Przykład 33 . Obliczymy przybliżoną wartość e− 0 , 001 korzystając z różniczki funkcji.
5.6
Pochodne wyższych rzędów
Definicja 29. Jeśli pochodna funkcji f jest różniczkowalna w pewnym przedziale, to jej pochodną nazywamy drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu funkcji f i oznaczamy f ”( x) lub d 2 f .
dx 2
Ogólnie, pochodną rzędu n-tego funkcji f dla n 2 definiujemy wzorem (
) ′
f ( n)( x) = f ( n− 1)( x)
.
Przykład 34 . Obliczymy pochodne wyższych rzędów funkcji f ( x) = x 3 + 5 x + 2, g( x) = sin x.
5.7
Reguła de l’Hospitala
Twierdzenie 15. Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu x 0 oraz 1. lim f ( x) = lim g( x) = 0 albo lim f ( x) = lim g( x) = ±∞; x→x 0
x→x 0
x→x 0
x→x 0
2. istnieje granica lim f′( x) ,
x→x g′( x)
0
to lim f( x) = lim f′( x) .
x→x g( x)
g′( x)
0
x→x 0
Powyższą regułę można stosować także przy liczeniu granic w ±∞ i granic jednostronnych.
Przykład 35 . Obliczymy lim sin x , lim ex−e−x , lim ln(ln x) , lim ln x
.
x→ 0
x
x→ 0
x
x→∞
x
ln sin x
x→ 0+
5.8
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 16. (twierdzenie Rolle’a) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [ a, b] i różniczkowalna na ( a, b) oraz f ( a) = f ( b) , to istnieje taki punkt c ∈ ( a, b) , że f ′( c) = 0 .
Twierdzenie 17. (twierdzenie Lagrange’a) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [ a, b] i różniczkowalna na ( a, b) , to istnieje taki punkt c ∈ ( a, b) , że f ( b) − f ( a)
f ′( c) =
.
b − a
10
Monotoniczność i ekstrema
Twierdzenie 18. Niech X ⊂ R oznacza dowolny przedział. Jeśli dla każdego x ∈ X funkcja f spełnia warunek
• f′( x) = 0 , to jest stała na X,
• f′( x) > 0 , to jest rosnąca na X,
• f′( x) 0 , to jest niemalejąca na X,
• f′( x) < 0 , to jest malejąca na X,
• f′( x) ¬ 0 , to jest nierosnąca na X.
Uwaga. Jeśli f ′( x) 0 dla każdego x ∈ X, a równość f ( x) = 0 zachodzi tylko dla skończonej liczby argumentów z X, to funkcja jest rosnąca na X.
Przykład 36 . Wyznaczymy przedziały, w których funkcja f ( x) = xex jest rosnąca oraz przedziały monotoniczności funkcji g( x) = x 2+3 .
x+1
Definicja 30. Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą na przedziale [ a, b] i niech x 0 ∈ ( a, b) . Jeśli
∃δ> 0 ∀x∈S( x 0 ,δ) f( x 0) > f( x) to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne właściwe. Podobnie jeśli
∃δ> 0 ∀x∈S( x 0 ,δ) f( x 0) < f( x) to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 19. (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 i ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne, to
• albo f′( x 0) istnieje i f′( x 0) = 0
• albo pochodna funkcji f w punkcie x 0 nie istnieje.
Przykład 37 . Wyznaczymy punkty, w których funkcje f ( x) = xex, g( x) = x 2+3 , h( x) = |x| mogą mieć x+1
ekstrema.
Twierdzenie 20. (warunek wystarczający) Jeśli funkcja f spełnia warunki 1. f ′( x 0) = 0 ,
2. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 −δ,x 0) f′( x) > 0 , 3. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 ,x 0+ δ) f′( x) < 0 , to w punkcie x 0 funkcja ma maksimum lokalne właściwe. Jesli
1. f ′( x 0) = 0 ,
2. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 −δ,x 0) f′( x) < 0 , 3. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 ,x 0+ δ) f′( x) > 0 , to w punkcie x 0 funkcja ma minimum lokalne właściwe.
Przykład 38 . Wyznaczymy ekstrema funkcji f ( x) = xex i g( x) = x 2+3 .
x+1
Twierdzenie 21. (II warunek wystarczający) Jeśli funkcja f spełnia warunki 11
1. f ′( x 0) = f ”( x 0) = . . . = f ( n− 1)( x 0) = 0 , 2. f ( n)( x 0) ̸= 0 ,
to
• jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum, gdy f ( n)( x 0) < 0 oraz minimum, gdy f ( n)( x 0) > 0 ,
• gdy n jest liczbą nieparzystą, to w x 0 nie ma ekstremum.
Przykład 39 . Wyznaczymy ekstrema funkcji f ( x) = xex, g( x) = 3 x 4 + 4 x 3 + 7.
Przykład 40 . Znajdziemy wymiary prostokątnej działki o powierzchni 200 m 2 położonej nad rzeką takiej, by do jej ogrodzenia zużyć jak najmniej siatki.
Przykład 41 . Znajdziemy wymiary puszki do konserw w kształcie walca o objętości V = 250 πcm 3, do sporządzenia której zużyje się najmniej blachy.
5.10
Wklęsłość i wypukłość
Definicja 31. Załóżmy, że funkcja f ma ciągłą drugą pochodną.
Krzywą będącą wykresem funkcji y = f ( x) nazywamy wypukłą w przedziale ( a, b) , jeśli dla każdego x 0 ∈
( a, b) styczna do tej krzywej poprowadzona w punkcie x 0 leży pod tą krzywą.
Krzywą nazywamy wklęsłą w przedziale ( a, b) , jeśli dla każdego x 0 ∈ ( a, b) styczna do tej krzywej poprowadzona w punkcie x 0 leży nad tą krzywą.
Twierdzenie 22. Warunkiem wystarczającym na to, aby krzywa będąca wykresem funkcji y = f ( x) była w przedziale X ⊂ R wypukła jest
∀x∈X f”( x) > 0 .
Warunkiem wystarczającym na to, aby krzywa będąca wykresem funkcji y = f ( x) była w przedziale X wklęsła jest
∀x∈X f”( x) < 0 .
Definicja 32. Punkt P ( x 0 , f ( x 0)) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji y = f ( x) , jeśli istnieje δ > 0 taka, że wykres jest wypukły w przedziale ( x 0 − δ, x 0) i wklęsły w ( x 0 , x 0 + δ) albo na odwrót.
Twierdzenie 23. (warunek konieczny)
Jeśli funkcja f ma w punkcie x 0 punkt przegięcia, to
• albo f”( x 0) istnieje i f”( x 0) = 0
• albo druga pochodna funkcji f w punkcie x 0 nie istnieje.
Twierdzenie 24. (warunek wystarczający)
Jeśli f ”( x 0) = 0 oraz
1. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 −δ,x 0) f”( x) > 0 , 2. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 ,x 0+ δ) f”( x) < 0 , albo
1. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 −δ,x 0) f”( x) < 0 , 2. ∃δ> 0 ∀x∈( x 0 ,x 0+ δ) f”( x) > 0 , to ( x 0 , f ( x 0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f .
12
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Analiza funkcji
(a) dziedzina,
(b) punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych,
(c) parzystość, nieparzystość, okresowość,
(d) granice na krańcach dziedziny (asymptoty).
2. Analiza I pochodnej
(a) dziedzina,
(b) przedziały monotoniczności i ekstrema.
3. Analiza II pochodnej
(a) dziedzina,
(b) przedziały wklęsłości, wypukłości i punkty przegięcia.
4. Tabelka
5. Wykres
Przykład 42 . Zbadamy przebieg zmienności funkcji f ( x) = ( x − 1)2( x + 2), g( x) = x + 1 , h( x) = x ln x.
x
5.12
Zadania
1. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 2, g( x) =
1
oraz h( x) = xex.
1+ x 2
2. Płotem i długości 120 m należy ogrodzić przylegający do domu prostokątny teren o największym polu.
Wyznacz wymiary tego terenu.
3. Rozłóż liczbę 10 na dwa składniki tak, by ich iloczyn był największy.
4. Z kwadratowej kartki papieru o boku 30 cm wycięto na rogach jednakowe kwadraty i z pozostałej części sklejono prostokątne pudełko (dno + boki, bez góry). Jaki powinien być bok wyciętego kwadratu, żeby objętość pudełka była największa?
5. Wyznacz wymiary odkrytego basenu o dnie kwadratowym i pojemności 32 m3 tak, żeby na wykonanie jego ścian i dna zużyć jak najmniejszą ilość materiału.
13