Strona
Politechniki Białostockiej
1
Mechanika teoretyczna
Zadanie nr 2
W tym zadaniu naszym celem jest wyznaczenie reakcji podporowych tarczy.
Wiadomości ogólne
1) Co to jest tarcza ???
Def. tarczy:
Tarcza (tarczownica) jest to element konstrukcyjny płaski obciąŜony w płaszczyźnie, np.
ściana; tak obciąŜona tarcza znajduje się w płaskim stanie napręŜenia; 2) Rodzaje podpór
Podpora przegubowa ruchoma (rys. 1a) – w podporze tej mamy do czynienia z jedną niewiadomą reakcją R, której prosta działania jest prostopadła do kierunku moŜliwego ruchu.
Przykładem tego rodzaju więzów są połączenia ślizgowe bez tarcia (idealnie gładkie powierzchnie).
Podpora przegubowa stała (rys. 1b) – prosta działania reakcji R jest nieznana. Reakcję układu rozkłada się na dwie niezaleŜne składowe Rx i Ry. Przykładem tego rodzaju więzów są połączenia przegubowe.
Utwierdzenie (rys. 1c) – prosta działania reakcji jest nieznana. W przypadku utwierdzenia oprócz siły reakcji R rozłoŜonej na dwie składowe Rx i Ry naleŜy przyłoŜyć tzw. moment utwierdzenia M. Przykładem tego rodzaju więzów są połączenia przegubowe.
a)
R
b)
Rx
Ry
c)
M
Rx
Ry
Rys. 1. Rodzaje podpór
a) podpora przegubowa przesuwna, b) podpora przegubowa stała, c) utwierdzenie
Strona
Politechniki Białostockiej
2
3) Rodzaje obciąŜeń
W zadaniu mamy do czynienia z trzema rodzajami obciąŜenia:
- siłą skupioną (rys. 2a),
- siłą ciągłą o stałym natęŜeniu (rys. 2b),
- siłą ciągłą o zmiennym natęŜeniu (rys. 2c).
a)
b)
c)
q
W
W
q
P
a
a
a 2
a 2
2 3 a
a 3
Rys. 2. ObciąŜenia konstrukcji
a) siłą skupioną, b) siłą ciągłą o stałym natęŜeniu q, c) siłą ciągłą o zmiennym natęŜeniu.
W przypadku sił ciągłych w celu uproszczenia obliczeń reakcji dokonujemy redukcji tych sił do wypadkowej:
- dla siły ciągłej o stałym natęŜeniu q wypadkowa W ma wartość:
W = q ⋅ a (natęŜenie· długość odcinka oddziaływania siły)
oraz umiejscowiona jest w środku cięŜkości obciąŜenia jak na rys. 2b,
- dla siły ciągłej o zmiennym liniowo natęŜeniu (q oznacza wartość maksymalną) wypadkowa W ma wartość:
1
W =
⋅ q ⋅ a (1/2· natęŜenie maksymalne· długość odcinka oddziaływania siły) 2
oraz umiejscowiona jest w środku cięŜkości obciąŜenia jak na rys. 2c, 4) Równania równowagi układu sił
Dowolny płaski układ sił pozostaje w równowadze, gdy zamyka się jednocześnie: wielobok sił i wielobok sznurowy. Są to tzw. wykreślne warunki równowagi płaskich układów sił niezbieŜnych.
Analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił są następujące: a) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x równa jest zeru (równanie [1]), b) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y równa jest zeru (równanie [2]), c) suma algebraiczna momentów statycznych wszystkich sił względem dowolnego punktu leŜącego na płaszczyźnie działania sił równa się zeru (równanie [3]),
n
∑ Pix Σ
= X = 0
[1]
i =1
∑n Piy Σ
= Y = 0
[2]
i=1
n
∑ Pi ⋅ ri Σ
= M = 0
[3]
i =1
Strona
Politechniki Białostockiej
3
5) Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalności
Zagadnienie statycznej wyznaczalności jest ściśle związane z równaniami równowagi układu sił. Stopień (krotność ) statycznej niewyznaczalnoś ci jednej tarczy (jednego pręta, belki prostej) określa się ze wzoru:
n = r − 3
s
gdzie:
ns – stopień statycznej niewyznaczalności
r – liczba prętów reakcyjnych (reakcji podporowych)
W zaleŜności od wartości stopnia statycznej niewyznaczalności moŜemy mówić:
- dla ns < 0 – o układzie geometrycznie zmiennym, mechanizmie,
- dla ns = 0 – o układzie statycznie wyznaczalnym,
- dla ns > 0 – o układzie statycznie niewyznaczalnym.
Przykład
Dana jest tarcza płaska o geometrii i obciąŜeniu jak na schemacie. Wyznacz reakcje podporowe metodą analityczną.
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN
m1
α = 45ο
m1
1m
3m
2m
Rozwiązanie:
- Pierwszą czynnością powinna być identyfikacja reakcji zewnę trznych oraz ich oznaczenie.
HA
R
R
A
B
W układzie mamy dwie podpory – jedną podporę przegubową stałą (A) o reakcji poziomej HA i reakcji pionowej RA oraz jedną podporę przegubową ruchomą (B) o reakcji pionowej RB.
Strona
Politechniki Białostockiej
4
- Następnie dokonujemy sprawdzenia stopnia statycznej niewyznaczalnoś ci.
W układzie mamy trzy (3) reakcje podporowe, podstawiając do wzoru uproszczonego na stopień statycznej niewyznaczalności dla tarcz otrzymujemy:
n = r − 3 = 3 − 3 = 0
s
Mamy więc do czynienia z układem statycznie wyznaczalnym.
- Kolejnym krokiem jest załoŜ enie zwrotów reakcji, przyję cie konwencji znaków.
ZałóŜmy zwroty reakcji jak na rysunku poniŜej
HA
RA
RB
oraz przyjmijmy następującą konwekcje zapisu znaków
-
+
-
+
Ze znakiem + (wartości dodatnie) będziemy oznaczać siły pionowe o zwrocie do
„góry”, oraz siły poziome skierowane w prawo. W przypadku momentów ze znakiem +
(wartości dodatnie) będziemy zapisywać takie momenty wywołujące obrót względem punktu rozpatrywania o ruchu przeciwnym do wskazówek zegara.
- Ostatnią czynnością jest wyznaczenie reakcji podporowych.
W celu ułatwienie obliczeń reakcji podporowych obciąŜenia siłą ciągłą zostały sprowadzone do wypadkowych W1 i W2, zaś siła skupiona została rozłoŜona na dwie składowe Px i Py, co zostało pokazane na rysunku poniŜej.
1
W = 4 3 = 6 [kN/m m = kN]
1
2
W = 2 2 = 4 [kN/m m = kN]
2
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN
m1
α = 45ο
m1
HA
RA
RB
1m
1m
2m
1m
1m
1m
3m
2m
Strona
Politechniki Białostockiej
5
a) wyznaczenie reakcji HA
Do wyznaczenia tej reakcji posłuŜymy się [1] równaniem równowagi X
Σ = 0
Px – HA = 0
P· cosα – HA = 0
4 kN· 2 – HA = 0 => HA = 2 2
2
b) wyznaczenie reakcji RA
Do wyznaczenia tej reakcji posłuŜymy się [3] równaniem równowagi (względem podpory B) M
Σ
= 0
B
- Px· r1 + Py· r2 - W1· r3 + W2· r4 + RA · r5 = 0
- P· cosα· r1 + P· sinα· r2 + W1· r3 - W2· r4 + RA · r5 = 0
- 4 kN· 2 · 1m + 4 kN· 2 · 4m + 6kN· 2m - 4kN· 1m + RA · 3m = 0
2
2
- 2 2 kNm + 8 2 kNm + 12kNm - 4kNm + RA · 3m = 0
(8+ 6 2 )kNm + RA · 3m = 0
RA · 3m = - (8 + 6 2 )kNm => RA= - (8/3+ 2 2 )kN
UWAGA: Znak „minus” przy wartości reakcji informuje nas o tym, Ŝe przyjęty zwrot jest błędny – reakcja ma zwrot przeciwny do załoŜonego.
1
W = 4 3 = 6 [kN/m m = kN]
1
2
W = 2 2 = 4 [kN/m m = kN]
2
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN
1m
r4
m1
α = 45ο
r2
r
m
r
m1
3
1
1
HA
RA
r
R
5
B
1m
1m
2m
1m
1m
1m
3m
2m
Strona
Politechniki Białostockiej
6
c) wyznaczenie reakcji RB
Do wyznaczenia tej reakcji równieŜ posłuŜymy się [3] równaniem równowagi (względem podpory A)
M
Σ
= 0
A
- Px· r1 + Py· r2 - W1· r3 - W2· r4 + RB · r5 = 0
- P· cosα· r1 + P· sinα· r2 - W1· r3 - W2· r4 + RB · r5 = 0
- 4 kN· 2 · 1m + 4 kN· 2 · 1m - 6kN· 1m - 4kN· 4m + RB · 3m = 0
2
2
- 2 2 kNm + 2 2 kNm - 6kNm - 16kNm + RB · 3m = 0
-22kNm + RB · 3m = 0
RB · 3m = 22kNm => RB = 22/3 kN
UWAGA: ZałoŜony zwrot reakcji jest prawidłowy.
1
W = 4 3 = 6 [kN/m m = kN]
1
2
W = 2 2 = 4 [kN/m m = kN]
2
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN
r
1m
4
m1
α = 45ο
r
r
2
3
r
m
m1
1
1
HA
RA
r
R
5
B
1m
1m
2m
1m
1m
1m
3m
2m
d) Sprawdzenie
Sprawdzenia reakcji dokonamy posługując się [2] równaniem równowagi Y
Σ = 0
- Py - W1 - W2 + RA + RB = 0
- 2 2 - 6 - 4 + 22/3 + 8/3 + 2 2 = 0
0 = 0
Reakcje zostały poprawnie obliczone
Opracował: mgr inŜ. Andrzej Leonczuk