Elektrodynamika
Część 7
Zasady zachowania
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas
Spis treści
8 Zasady zachowania 3
8.1 A
adunek i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.2 Pęd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 Zasady zachowania
8.1 A
adunek i energia
8.1.1 Równanie ciągłości

Q(t) = �(r, t) d� ładunek w obszarze V
V
8 Zasady zachowania
8.1 A
adunek i energia
8.1.1 Równanie ciągłości

Q(t) = �(r, t) d� ładunek w obszarze V
V

dQ
= - J � da zasada zachowania ładunku
dt
S
8 Zasady zachowania
8.1 A
adunek i energia
8.1.1 Równanie ciągłości

Q(t) = �(r, t) d� ładunek w obszarze V
V

dQ
= - J � da zasada zachowania ładunku
dt
S

"�
d� = - " � J d�
"t
V V
8 Zasady zachowania
8.1 A
adunek i energia
8.1.1 Równanie ciągłości

Q(t) = �(r, t) d� ładunek w obszarze V
V

dQ
= - J � da zasada zachowania ładunku
dt
S

"�
d� = - " � J d�
"t
V V
"�
= -" � J równanie ciągłości
"t
8.1.2 Twierdzenie Poyntinga
0
We = E2 d�
2
8.1.2 Twierdzenie Poyntinga
0
We = E2 d�
2

1
Wm = B2 d�
2�0
8.1.2 Twierdzenie Poyntinga
0
We = E2 d�
2

1
Wm = B2 d�
2�0


całkowita energia zmagazynowana
1 1
Uem = 0E2 + B2 d�
2 �0
w polu elektromagnetycznym
8.1.2 Twierdzenie Poyntinga
0
We = E2 d�
2

1
Wm = B2 d�
2�0


całkowita energia zmagazynowana
1 1
Uem = 0E2 + B2 d�
2 �0
w polu elektromagnetycznym
Ogólniejsze wyprowadzenie:
F � dl = q(E + v � B) � v dt = qE � v dt
8.1.2 Twierdzenie Poyntinga
0
We = E2 d�
2

1
Wm = B2 d�
2�0


całkowita energia zmagazynowana
1 1
Uem = 0E2 + B2 d�
2 �0
w polu elektromagnetycznym
Ogólniejsze wyprowadzenie:
F � dl = q(E + v � B) � v dt = qE � v dt
q = � d�, �v = J

dW
= (E � J) d�
dt
V

dW
= (E � J) d�
dt
V
1 "E
E � J = E � (" � B) - 0E � z prawa AmpŁre a-Maxwella
�0 "t

dW
= (E � J) d�
dt
V
1 "E
E � J = E � (" � B) - 0E � z prawa AmpŁre a-Maxwella
�0 "t
" � (E � B) = B � (" � E) - E � (" � B) pochodne iloczynów

dW
= (E � J) d�
dt
V
1 "E
E � J = E � (" � B) - 0E � z prawa AmpŁre a-Maxwella
�0 "t
" � (E � B) = B � (" � E) - E � (" � B) pochodne iloczynów
"B
" � E = - prawo Faradaya
"t

dW
= (E � J) d�
dt
V
1 "E
E � J = E � (" � B) - 0E � z prawa AmpŁre a-Maxwella
�0 "t
" � (E � B) = B � (" � E) - E � (" � B) pochodne iloczynów
"B
" � E = - prawo Faradaya
"t
"B
E � (" � B) = -B � - " � (E � B)
"t

dW
= (E � J) d�
dt
V
1 "E
E � J = E � (" � B) - 0E � z prawa AmpŁre a-Maxwella
�0 "t
" � (E � B) = B � (" � E) - E � (" � B) pochodne iloczynów
"B
" � E = - prawo Faradaya
"t
"B
E � (" � B) = -B � - " � (E � B)
"t
"B 1 " "E 1 "
B � = (B2), E � = (E2)
"t 2 "t "t 2 "t

1 " 1 1
E � J = - 0E2 + B2 - " � (E � B)
2 "t �0 �0

1 " 1 1
E � J = - 0E2 + B2 - " � (E � B)
2 "t �0 �0


dW d 1 1 1
= - 0E2 + B2 d� - (E � B) � da
dt dt 2 �0 �0
V S
Twierdzenie Poyntinga: praca wykonana nad ładunkami przez siły
elektromagnetyczne jest równa ubytkowi enegii zmagazynowanej w
polach, pomniejszonemu o energię, która wypłynęła przez powierzchnię
ograniczającą obszar

1 " 1 1
E � J = - 0E2 + B2 - " � (E � B)
2 "t �0 �0


dW d 1 1 1
= - 0E2 + B2 d� - (E � B) � da
dt dt 2 �0 �0
V S
Twierdzenie Poyntinga: praca wykonana nad ładunkami przez siły
elektromagnetyczne jest równa ubytkowi enegii zmagazynowanej w
polach, pomniejszonemu o energię, która wypłynęła przez powierzchnię
ograniczającą obszar
1
S a" (E � B) wektor Poyntinga
�0

dW dUem
= - - S � da
dt dt
S

dW dUem
= - - S � da
dt dt
S

praca wykonana nad ładunkami
dW d
= umech d�
dt dt
zwiększa ich energię mechaniczną
V

dW dUem
= - - S � da
dt dt
S

praca wykonana nad ładunkami
dW d
= umech d�
dt dt
zwiększa ich energię mechaniczną
V

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii pola
2 �0

dW dUem
= - - S � da
dt dt
S

praca wykonana nad ładunkami
dW d
= umech d�
dt dt
zwiększa ich energię mechaniczną
V

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii pola
2 �0

d
(umech + uem) d� = - S � da = - (" � S) d�
dt
V S V

dW dUem
= - - S � da
dt dt
S

praca wykonana nad ładunkami
dW d
= umech d�
dt dt
zwiększa ich energię mechaniczną
V

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii pola
2 �0

d
(umech + uem) d� = - S � da = - (" � S) d�
dt
V S V
"
(umech + uem) = -" � S
"t
8.2 Pęd
8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = (E + v � B)� d� = (�E + J � B) d�
V V
8.2 Pęd
8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = (E + v � B)� d� = (�E + J � B) d�
V V
f = �E + J � B gęstość siły
8.2 Pęd
8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = (E + v � B)� d� = (�E + J � B) d�
V V
f = �E + J � B gęstość siły

1 "E
f = 0(" � E)E + " � B - 0 � B
�0 "t
8.2 Pęd
8.2.2 Tensor napięć Maxwella

F = (E + v � B)� d� = (�E + J � B) d�
V V
f = �E + J � B gęstość siły

1 "E
f = 0(" � E)E + " � B - 0 � B
�0 "t

" "E "B
(E � B) = � B + E � tożsamość
"t "t "t
"B
= -" � E prawo Faradaya
"t
"B
= -" � E prawo Faradaya
"t
"E "
� B = (E � B) + E � (" � E)
"t "t
"B
= -" � E prawo Faradaya
"t
"E "
� B = (E � B) + E � (" � E)
"t "t
f = 0[(" � E)E - E � (" � E)]
1 " 1
- [B � (" � B)] - 0 (E � B) + (" � B) B

�0 "t �0
=0
"B
= -" � E prawo Faradaya
"t
"E "
� B = (E � B) + E � (" � E)
"t "t
f = 0[(" � E)E - E � (" � E)]
1 " 1
- [B � (" � B)] - 0 (E � B) + (" � B) B

�0 "t �0
=0
"(A � B) = A � (" � B) + B � (" � A)
+ (A � ")B + (B � ")A pochodne iloczynów
"B
= -" � E prawo Faradaya
"t
"E "
� B = (E � B) + E � (" � E)
"t "t
f = 0[(" � E)E - E � (" � E)]
1 " 1
- [B � (" � B)] - 0 (E � B) + (" � B) B

�0 "t �0
=0
"(A � B) = A � (" � B) + B � (" � A)
+ (A � ")B + (B � ")A pochodne iloczynów
"(E2) = "(E � E) = 2(E � ")E + 2E � (" � E)
1
E � (" � E) = "(E2) - (E � ")E
2
1
B � (" � B) = "(B2) - (B � ")B
2
1
E � (" � E) = "(E2) - (E � ")E
2
1
B � (" � B) = "(B2) - (B � ")B
2
1
f = 0[(" � E)E + (E � ")E] + [(" � B)B + (B � ")B]
�0

1 1 "
- " 0E2 + B2 - 0 (E � B)
2 �0 "t
1
E � (" � E) = "(E2) - (E � ")E
2
1
B � (" � B) = "(B2) - (B � ")B
2
1
f = 0[(" � E)E + (E � ")E] + [(" � B)B + (B � ")B]
�0

1 1 "
- " 0E2 + B2 - 0 (E � B)
2 �0 "t

1 1 1
tensor napięć
Tij a" 0 EiEj - �ijE2 + BiBj - �ijB2
2 �0 2
Maxwella
1
E � (" � E) = "(E2) - (E � ")E
2
1
B � (" � B) = "(B2) - (B � ")B
2
1
f = 0[(" � E)E + (E � ")E] + [(" � B)B + (B � ")B]
�0

1 1 "
- " 0E2 + B2 - 0 (E � B)
2 �0 "t

1 1 1
tensor napięć
Tij a" 0 EiEj - �ijE2 + BiBj - �ijB2
2 �0 2
Maxwella
ńł
�ł
�ł
1 dla i = j
�ij = delta Kroneckera
�ł
ół
0 dla i = j

1 1
2 2 2 2 2 2
Txx = 0(Ex - Ey - Ez ) + (Bx - By - Bz )
2 2�0
1
Txy = 0(ExEy) + (BxBy) itd.
�0
1 1
2 2 2 2 2 2
Txx = 0(Ex - Ey - Ez ) + (Bx - By - Bz )
2 2�0
1
Txy = 0(ExEy) + (BxBy) itd.
�0

�! �!

(a � T )j = aiTij iloczyn wektora a z tensorem T
i=x,y,z
1 1
2 2 2 2 2 2
Txx = 0(Ex - Ey - Ez ) + (Bx - By - Bz )
2 2�0
1
Txy = 0(ExEy) + (BxBy) itd.
�0

�! �!

(a � T )j = aiTij iloczyn wektora a z tensorem T
i=x,y,z

�! 1

(" � T )j = 0 (" � E)Ej + (E � ")Ej - "jE2
2

1 1
+ (" � B)Bj + (B � ")Bj - "jB2
2�0 2
1 1
2 2 2 2 2 2
Txx = 0(Ex - Ey - Ez ) + (Bx - By - Bz )
2 2�0
1
Txy = 0(ExEy) + (BxBy) itd.
�0

�! �!

(a � T )j = aiTij iloczyn wektora a z tensorem T
i=x,y,z

�! 1

(" � T )j = 0 (" � E)Ej + (E � ")Ej - "jE2
2

1 1
+ (" � B)Bj + (B � ")Bj - "jB2
2�0 2
�! "S

f = " � T - 0�0
"t

�! d

F = T � da - 0�0 S d�
dt
S V

�! d

F = T � da - 0�0 S d�
dt
S V
8.2.3 Zasada zachowania pędu
dpmech
F =
dt

�! d

F = T � da - 0�0 S d�
dt
S V
8.2.3 Zasada zachowania pędu
dpmech
F =
dt


dpmech d �!
= - 0�0 S d� + T � da zasada zachowania pędu
dt dt
V S

�! d

F = T � da - 0�0 S d�
dt
S V
8.2.3 Zasada zachowania pędu
dpmech
F =
dt


dpmech d �!
= - 0�0 S d� + T � da zasada zachowania pędu
dt dt
V S

pem = 0�0 S d� pęd pola elektromagnetycznego
V
!em = 0�0S gęstość pędu pola
!em = 0�0S gęstość pędu pola

" �!
(!mech + !em) = " � T
"t
!em = 0�0S gęstość pędu pola

" �!
(!mech + !em) = " � T
"t
�!

T  gęstość strumienia pędu
8.2.4 Moment pędu

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii
2 �0
8.2.4 Moment pędu

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii
2 �0
!em = 0�0S = 0(E � B) gęstość pędu
8.2.4 Moment pędu

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii
2 �0
!em = 0�0S = 0(E � B) gęstość pędu
= r � !em = 0[r � (E � B)] gęstość momentu pędu
em
8.2.4 Moment pędu

1 1
uem = 0E2 + B2 gęstość energii
2 �0
!em = 0�0S = 0(E � B) gęstość pędu
= r � !em = 0[r � (E � B)] gęstość momentu pędu
em
Nawet statyczne pola mogą mieć pęd i moment pędu!