Macierze. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 6.1. Policzyć:



i

1

1 + i

0 

1

2

3

cos α

− sin α n

(a)

·

0

2

0

i

−1 1 5





(b)

sin α

cos α

1

0

0

0



n

1

λ

0 

1

1 n

(c)

α

(d)

0

1

λ

− 1

1





α

0

0

1



n

2

1

0 

1

1 n

(e)

0

2

0





(h)

0

1

0

0

−3

Zadanie 6.2. Sprowadzić następującą macierz do postaci wierszowo zredukowanej:



1

2

3

4 

2

0

0

1





3

2

3

5

Zadanie 6.3. Wyznaczyć bazę i wymiar powłoki liniowej następującego układu wektorów S: (a) S = ((1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3)) w 4

R nad R,

(b) S = ((1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, −1, −1, −1), (2, 2, 0, 0, −1), (1, 1, 5, 5, 2), (1, −1, −1, 0, 0)) w 5

R nad R.

Zadanie 6.4. Macierz A wymiaru n × n nazywamy symetryczną jeśli AT = A oraz skośnie symetryczną jeśli AT = −A. Pokazać, że ka żdą kwadratową macierz A o wyrazach w zbiorze C da się zapisać jako sumę macierzy symetrycznej i skośnie symetrycznej.

Zadanie 6.5. Jaka macierz powstanie przez przemno żenie macierzy

• diagonalnych,

• trójkątnych górnych,

• trójkątnej dolnej z trójkątną górną.

Zadanie 6.6. Znaleźć wszystkie macierze A wymiaru 2 × 2 nad R takie, że A2 = −I.

Zadanie 6.7. Niech D = diag(d1, d2, . . . , dn) dla di ∈ C oraz niech A będzie dowolną macierzą wymiaru n × n nad C. Znaleźć DA oraz AD.

Zadanie 6.8. Niech A i B będą kwadratowymi macierzami wymiaru n × n o wyrazach w C oraz niech A będzie macierzą odwracalną. Pokazać, że jeśli B · A = 0 to B = 0.

Zadanie 6.9. Macierz kwadratową A nazywamy nilpotentną jeśli Ak = 0 dla pewnej liczby naturalnej k.

Pokazać, że jeśli A jest nilpotentna, to I + A jest odwracalna.

Zadanie 6.10. Niech A, B, C i D będą macierzami kwadratowymi n × n nad R. Załó żmy, że ABT oraz CDT

są symetryczne oraz ADT − BCT = I. Pokazać, że AT D − CT B = I.

Zadanie 6.11. Niech A będzie macierzą n × n o wyrazach w C. Śladem macierzy A nazywamy wszystkich elementów znajdujących się na diagonali macierzy A, tj.

X

tr(A) = a1,1 + . . . + an,n =

ai,i.

i=1,...,n

Pokazać, że dla dowolnych dwóch macierzy kwadratowych A, B tych samych wymiarów oraz stałej c mamy:

1

Macierze. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

• tr(A) = tr(AT ),

• tr(A + B) = tr(A) + tr(B),

• tr(c · A) = c · tr(A),

• tr(A · B) = tr(B · A)

Zadanie 6.12. Pokazać, że dla żadnych dwóch kwadratowych macierzy A, B tego samego wymiaru nad C

nie zachodzi następująca równość:

AB − BA = I.

Zadanie 6.13. Niech A, B będą macierzami n × n o wyrazach w C. Mówimy, że macierze A, B są podobne, jeśli istnieje macierz odwracalna S wymiaru n × n taka, że A = S−1 · B · S. Pokazać, że relacja podobie ństwa jest relacją równowa żności na zbiorze macierzy n × n.

Zadanie 6.14. Niech A będzie macierzą kwadratową. Pokazać, że jeśli A3 − A + I = 0, to A jest odwracalna.

Zadanie 6.15. Niech A będzie macierzą kwadratową n × n o wyrazach w C, gdzie n jest liczbą nieparzystą.

Załó żmy, że A jest macierzą skośnie symetryczną, tj. AT = −A. Pokazać, że A nie jest odwracalna.

Zadanie 6.16. Niech A i B będą kwadratowymi macierzami podobnymi. Pokazać, że tr(A) = tr(B).

2