1 −
1
5 0
Zad 1 a) Oblicz macierz A, jeżeli: A = XT X + ( Y – I2) – 1 , zaś: XT =
; Y =
;
−1 1
2
2 3
I2 – macierz jednostkowa st. II – go
−1 1 1
0 2
b) Oblicz macierz X, jeżeli: X = A AT + ( I2 +B ) – 1 , zaś: A =
; B =
;
−1 0 0
3 3
−1 1 −
1
3 0
c) Oblicz macierz X, jeżeli: X = B BT + (A – I2) – 1 , zaś: B =
; A =
;
1
0
0
2 2
1
1
−
1
2 0
d) Oblicz macierz X, jeżeli: X = AT A + ( B – I2 ) – 1 , zaś: AT =
; B =
;
−1 0
0
2 3
1
1 −
1
4 0
e) Oblicz macierz A, jeżeli: A = XT X + ( Y – I2) – 1 , zaś: XT =
; Y =
;
−1 1
2
2 3
1
1
−
1
5 0
f) Oblicz macierz X, jeżeli: X = AT A + ( B – I2 ) – 1 , zaś: AT =
; B =
;
−1 0
2
4 3
−1 1 − 2
3 2
g) Oblicz macierz X, jeżeli: X = B BT + (A – I2) – 1 , zaś: B =
; A =
;
3
0
0
1 0
1
0
−
1
3 0
h) Oblicz macierz A, jeżeli: A = XT X + ( Y – I2) – 1 , zaś: XT =
; Y =
;
−1 1
2
8 3
− 3 5
−1 2 −
1
i) Wyznacz macierz Y = BBT + (I2-2A)–1, gdy A=
; B=
−1 2
2
1
1
1
1
−
1
5 1
j) Oblicz macierz X = AT A + ( B – I2 ) – 1 ,jeżeli: AT =
; B =
−1 0
2
4
3
−1 1 1
0
2
k) Oblicz macierz X = A AT + ( I2 + B ) – 1 jeżeli: A =
; B =
−1 2 0
−1 3
−1 1 1
0 2
m) Oblicz macierz X = A AT + ( I2 +B ) – 1,gdy:A =
; B =
−1 0 0
3 3
1
1 −
1
1 0
n) Oblicz macierz A = XT X + ( Y – 2I2) – 1 , gdy: XT =
;Y =
−1 1
2
2 3
− 3 5
−1 2 −
1
o) Wyznacz macierz Y = BBT + (I2-2A)–1, gdy A=
; B=
−1 2
2
1
1
1
2
−
1
2 −
3
p) Wyznacz macierz Y = ATA + (3I2 – B)–1, gdy AT=
; B=
− 1 1 −
1
2 12
4 5
−1 2
Zad 2 Niech A =
oraz B =
. Znaleźć taką macierz X, że A•X = BT.
3 4
3
6
4
1
−1 2
Zad 3 Niech A =
oraz B =
. Znaleźć taką macierz X, że A•X = BT.
3
1
3
6
1
4
−1 2
Zad 4 Niech A =
oraz B =
. Znaleźć taką macierz X, że X • A = BT.
1
3
3
6
Zad 5 Wyznacz ogólne rozwiązanie układów równań Wyznacz rozwiązania bazowe i szczególne.
2 x
x
x
2 x
x
x
x
x
x
1 − 3 2
+ 4 = 4
1 −
2 +
3 = 6
1 +
2 + 3 3 = 6
2 x
x
x
− x
x
x
− x
x
x
x
1 +
2 +
3 + 3 4 = 8
1 +
2 + 2 3 = 2
1 + 2
2 −
3 = 4
x
x
x
3 x
x
x
x
x
x
1 +
2 +
3 = 4
1 +
3 +
4 = 6
1 + 2
2 +
3 = 0
x
x
x
x
3 x
x
x
x
x
x
x
1 +
2 + 4 3 +
4 = 8
1 + 2
2 + 6 3 = 12
1 +
2 +
3 +
4 = 1
−
+ 2x − 3x + 4x = 2
1
x
2
3
4
Zad 6 Dla układu równań:
2 − x + x − x = 1
1
x
2
3
4
a) wyznacz ogólne rozwiązanie tego układu
b) wyznacz rozwiązanie bazowe względem zmiennych x2 i x4.
+ 3x − 2x − x = 1
1
x
2
3
4
7 Dla układu równań:
− 2 + x − x + 4x = 2
1
x
2
3
4
a) wyznacz ogólne rozwiązanie tego układu
b) wyznacz rozwiązanie bazowe względem zmiennych x2 i x4.
− 2
+ 2x − 4x = −2
1
x
2
4
8 Dla układu równań:
− x + 3x + x = −1
1
x
2
3
4
a) wyznacz ogólne rozwiązanie tego układu
b) wyznacz rozwiązanie bazowe względem zmiennych x2 i x3
− 3
+ 2x − 4x + 5x = 2
1
x
2
3
4
9 Dla układu równań:
−
+ x − x + x = 1
1
x
2
3
4
a) wyznacz ogólne rozwiązanie tego układu
b) wyznacz rozwiązanie bazowe względem zmiennych x2 i x3
Zad 10 Ustal ekstrema lokalne funkcji:
1. f ( x, y) = 2 x 2 − xy + y 2 − 2 x − 3 y odp. F. posiada minimum w punkcie (1,2)
2. f ( x, y) = 3 2
2
x + y − 2 xy + 4 x − 8 y −12 odp. F. posiada minimum w punkcie (1,5) 3. f(x,y) = 3x2 – xy+ 2y2 – x + 4y –5 odp. F. posiada minimum w punkcie (0,-1)
2 2
4. f(x,y) = x2 + xy +y2 – 6x – 4y +5 odp. F. posiada minimum w punkcie 2 ,
3 3
5. f(x,y) = x2 + xy +y2 – 6x – 6y +5
odp. F. posiada minimum w punkcie (2,2)
6. f(x,y) = 3x2 – xy + 2y2 + x – 4y – 6 odp. F. posiada minimum w punkcie(0,1)
4 1
7. f ( x, y)
2
2
= x − xy + y + 3 x − 2 y +1
−
odp. F. posiada minimum w punkcie
,
3 3
8. f ( x, y) = 2 2
x + 3
2
xy + y − 2 x − y + 1 odp. F. nie posiada ekstremum ale punkt stacjonarny to (-1,2)
9 Sprawdź, czy w punktach (0,1), (2,0) funkcja f ( x, y) = 3 x 2 − xy + 2 y 2 + x − 4 y ma ekstrema lokalne, jeśli tak to jakie? odp. F. posiada minimum w punkcie (0,1) 3
10 Sprawdź, czy w punktach (0,2), (
,0 ) funkcja f ( x, y) = 2 x 2 + y 2 − x 3 y 2 − 3 x 4
ma ekstrema lokalne, jeśli tak to jakie?
5
11. Sprawdź, czy w punktach (1,2), ,0 funkcja f ( x, y) = − x 2 − x 3 y 2 + 3 y 2 + 5 x
2
5
ma ekstrema lokalne, jeśli tak to jakie?
odp. F. posiada maksimum w punkcie ,0
2
12. Sprawdź, czy w punktach (1,2), (2,0) funkcja f ( x, y) = −2 x 2 − 2 x 3 y 2 + 3 y 2 + 8 x ma ekstrema lokalne, jeśli tak to jakie? odp. F. posiada maksimum w punkcie (2,0) 13 Sprawdź, czy w punktach (1,2), (1,0) funkcja f ( x, y) = 3 x 3 + 3 x 2 y − y 3 − 9 x − 3 y ma ekstrema lokalne, jeśli tak to jakie? odp. F. nie posiada ekstremum, punkt stacjonarny to(1,0)
14. Sprawdź, czy w punktach (2,-1), (1,1) funkcja 4
2
2
4
f ( x, y) = x − 2 xy − y − x + y ma ekstrema lokalne, jeśli tak to jakie? odp. F. posiada minimum w punkcie (1,1)