UMCS Lublin
Zestaw zaliczeniowy - dr Agnieszka Kozak
Zadanie 1.
√
√
1. Znaleźć wszystkie dzielniki elementu a = 5 + i 3 w pierścieniu Z[ i 3].
√
2. Czy element a jest rozkładalny w pierścieniu Z[ i 3]?
√
3. Czy element a jest odwracalny w pierścieniu Z[ i 3]?
√
4. Czy rozkład tego elementu jest jednoznaczny w pierścieniu Z[ i 3]?
√
5. Wyznaczyć element b który jest stowarzyszony z elementem a w pierścieniu Z[ i 3].
Zadanie 2.
Sprawdzić, czy zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych pierścienia Z8 jest ide-
ałem tego pierścienia. Wyznacz dzielniki zera w tym pierścieniu.
Zadanie 3.
Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów f ( x) = x 4 + 1 i g( x) = 3 x 3 +
3 x + 4 w pierścieniu Z5[ x].
Zadanie 4.
Niech x 1 , x 2 , x 3 będą pierwiastkami wielomianu x 3 − 3 x 2 + 5 ∈ Q[ x]. Obliczyć ( x 1 + x 2)( x 1 + x 3)( x 2 + x 3) .
Zadanie 5.
Suma dwóch pierwiastków wielomianu 2 x 3 − x 2 − 7 x + c ∈ Q[ x] wynosi 1. Wyznaczyć c.
Zadanie 6.
Przez Z6[ x] oznaczamy pierścień wszystkich wielomianów o współczynnikach z pier-
ścienia Z6. Znaleźć wszystkie pary a, b ∈ Z6 takie, że wielomian f = 2 x 4+5 x 3+4 x 2+ ax+ b przy dzieleniu przez x + 1 dawał resztę 5, a przy dzieleniu przez x + 3 resztę 1. Dzielenia te wykonujemy zgodnie z regułami działań w Z6[ x].
Niech x 1 , x 2 , x 3 będą pierwiastkami wielomianu x 3 − 3 x 2 + 5 ∈ Q[ x]. Obliczyć x 1
x
x
x
x
x
+ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 .
x 2
x 3
x 1
x 3
x 1
x 2
Zadanie 8.
Znaleźć ogólny wzór na rozwiązania w liczbach całkowitych równania
827 x + 131 y = 1 .
Zadanie 9.
Niech x 1 , x 2 , x 3 będą pierwiastkami wielomianu 5 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 2. Obliczyć 1
1
1
+
+
.
x 1
x 2
x 3
Zadanie 10.
Dla jakich p, q, r ∈ R wielomian f = x 3 + px 2 + qx + r dzieli się przez ( x − 1)3?
Zadanie 11.
Znaleźć permutację x ∈ S 5 taką, że w grupie S 5 zachodzi równość
(
)
(
)
1 2 3 4 5 ◦
1 2 3 4 5
x =
.
5 4 1 3 2
4 1 2 5 3
Zadanie 12.
Niech G = {( x, y) ∈ R2 : x ̸= 0 }. Sprawdzić, czy zbiór G z działaniem ∗ określonym wzorem
( x 1 , y 1) ∗ ( x 2 , y 2) = ( x 1 x 2 , x 1 y 2 + y 1) jest grupą.
Zadanie 13.
Dla każdego elementu a grupy (Z6 , ⊕) wyznaczyć podgrupę ( a) i znaleźć rz a Zadanie 14.
Niech R ∗ = R \ { 0 } i G będzie grupą wszystkich wzajemnie jednoznacznych funkcji z R ∗ na R ∗ z działaniem złożenia. Oznaczamy
1
f 1( x) = x,
f 2( x) = −x,
f 3( x) =
,
f 4( x) = − 1
x
x
dla x ∈ R ∗. Sprawdzić, czy zbiór H = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 } z działaniem złożenia jest podgrupą grupy G.
W zbiorze liczb całkowitych określamy działanie
a ◦ b = a + b + 2
Czy zbiór liczb całkowitych stanowi grupę ze względu na to działanie?
Zadanie 16.
W zbiorze liczb rzeczywistych należących do przedziału A = [ − 1; ∞) określamy dzia-
łanie
a ∗ b = a · b + a + b
Sprawdzić, czy zbiór A wraz z działaniem ∗ stanowi grupę abelową.
Zadanie 17.
Sprawdzić, że zbiór wszystkich macierzy postaci
[
]
1,
a
,
0,
1
gdzie a ∈ Z, tworzy grupę względem mnożenia macierzy?
Zadanie 18.
Niech f ∈ Z[ x] będzie wielomianem, dla którego reszty z dzielenia przez x − 1 i x + 2
wynoszą odpowiednio − 5 i 1. Znaleźć resztę z dzielenia f przez ( x − 1)( x + 2).
Zadanie 19.
Niech S będzie grupą wszystkich wzajemnie jednoznacznych funkcji f : Z → Z z działaniem złożenia i H = {f ∈ S : f ( − 1) = − 1 }. Sprawdzić, że H jest podgrupą grupy S.
Zadanie 20.