Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 1.1.

Zapisać poni ższe liczby zespolone w postaci algebraicznej.

(a) 3+2i

(b) i5

(c) (4 + i)(1 − i) 5 − 12i

5+i

3−4i

√

√

(d)

3 − 4i

(e)

8+6i

(f ) Re[(1 + i)2] + 2+i (5 − 2i)

|−3−4i|

3+i

Zadanie 1.2.

Zapisać poni ższe liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

√

√

√

(a) 3 + 3i

(b)

6 − i 2

(c) −

3 + 3i

(d) cos α − i sin α

(e) i cos α

(f ) 2 sin α cos α + i(2 cos2 α − 1)

(g) cos α + sin α + i(sin α − cos α)

(h) 1 − cos α + i sin α

W podpunktach (d) − (h) mamy α ∈ R.

Zadanie 1.3.

Obliczyć

√

√

2013

30

√

(a) (i − 1)25

(b)

3+i

(c)

1+i 3

(d) [sin α + i(1 + cos α)]n , n ∈

1

2

1+i

N

(e) 6

√

√

√

q

q

(f ) 3 −i

(g) 4

p−8 + 8 3i (h) 6 1−i

√

(i) 3

p(1 + i)6

(j) 4 (i −

3)12

3+i

Zadanie 1.4.

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania: (a) z2 − 2z + 5 = 0

(b) z8 − 17z4 + 16 = 0

(c) z2 − 3z − 5i = 3iz

(d) 2z + z = 6 + 5i

(e) 4z2 + 8|z|2 = 8

(f ) |z| − 2z = 3 − 4i

(g) (iz)4 = (1 − 2i)4

(h) (z − 1 + i)3 = 8z3

(i) Re (z(1 + i)) + zz = 0 (j) Re(z2) + iIm (z(1 + 2i)) = −3 (k) z3 = z (l) |z|2z5 = z

Zadanie 1.5.

Udowodnić, że je żeli wielomian M (z) zmiennej zespolonej ma wszystkie współczynniki rzeczywiste oraz je żeli liczba z0 jest pierwiastkiem tego wielomianu, to równie ż z0 jest pierwiastkiem.

Czy zało żenie o tym, że współczynniki wielomianu M (z) są liczbami rzeczywistymi jest istotne?

Zadanie 1.6.

Wiedząc, że jednym z pierwiastków wielomianu M (z) = z4 − 6z3 + 15z2 − 18z + 10 jest liczba z1 = 2 − i, wyznaczyć pozostałe pierwiastki.

Zadanie 1.7.

Znaleźć wielomian M (z) o współczynnikach rzeczywistych, stopniu równym n (n ∈ {3, 4}), dla którego zachodzą następujące równości: M (2) = M (3 − i) = 0 oraz M (3) = 2013.

Zadanie 1.8.

Udowodnić, że je żeli liczby ε1, ε2, . . . , εn są ró żnymi pierwiastkami n-tego stopnia z 1, to: (a) ε1 + ε2 + . . . + εn = 0

(b) ε1 · ε2 · . . . · εn = (−1)n+1

Zadanie 1.9.

Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej te liczby z, które spełniają: (a) 4Re(z) − 3Im(z) = 2

(b) |z + i| = 3

(c) |2z − 6 + 4i| = 3

(d) |z|2 − 4Re(z) + 6Im(z) = 17

√

(e) |z − 3 − 5i| = |z + 2 − i|

(f ) z+3 > 1 (g) |z − 1| + |z + i| =

2

(h) z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0

z−2i

(i) |z|2z = z3

(j) Im(z6) < 0 (k) 0 < Arg z3

6 π

(l) Arg(z + 2 − i) = π

i

2

(k) |z − 3| + |z + 3| = 10

(m) z−1 = 2

(n) Arg z−1 = π

(o) Arg z−a = θ, a, b ∈ C, θ ∈ (0; π)

z+1

z+1

2

z−b

1

Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 1.10.

√

Niech z1, z2 będą takimi liczbami zespolonymi, dla których zachodzi |z1 + z2| =

3 oraz |z1| = |z2| = 1.

Obliczyć |z1 − z2|.

Zadanie 1.11.

Udowodnić, że zachodzą poni ższe równości:

(a)|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2 |z1|2 + |z2|2

(b)|z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z1 + z2 + z3|2

(c) 1 − |z1|2 1 − |z2|2 = |1 − z1z2|2 − |z1 − z2|2

(d) |z1 + z2 + z3|2 + | − z1 + z2 + z3|2 + |z1 − z2 + z3|2 + |z1 + z2 − z3|2 = 4(|z1|2 + |z2|2 + |z3|2) Jaką interpretację geometryczną ma równość w podpunkcie (a)?

Zadanie 1.12.

z

Udowodnij, że je żeli |

1 + z2

z1| = |z2| = 1 oraz z1z2 6= −1, to

∈ R.

1 + z1z2

Zadanie 1.13.

Udowodnić, że dla ka żdej liczby z ∈ C zachodzi co najmniej jedna z poni ższych nierówności: 1

|z + 1| > √

|z2 + 1| > 1

2

Zadanie 1.14.

Niech z1, z2, z3 będą liczbami zespolonymi takimi, że |z1| = |z2| = |z3| = r > 0 oraz z1 + z2 + z3 6= 0.

Udowodnij, że:

z

1z2 + z1z3 + z2z3

= r

z1 + z2 + z3

Zadanie 1.15.

Niech z1, z2, . . . , zn będą liczbami zespolonymi o takim samym, dodatnim module. Udowodnij, że:





n

n

n

X X z

X

Re

i



 = 0

⇐⇒

zi = 0

zj

i=1 j=1

i=1

n

X

Uwaga: Zapis

ai oznacza a1 + a2 + a3 + . . . + an.

i=1

Zadanie 1.16.

Udowodnić, że sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sin t oraz cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cos t.

Zadanie 1.17.

Przy pomocy liczb zespolonych znaleźć wartość sin π oraz cos π .

12

12

Zadanie 1.18.

1

√

1

Wiedząc, że z +

=

3 oraz |z| = 1 wyznaczyć wartość zn +

, gdzie n ∈ N.

z

zn

Zadanie 1.19.

Znaleźć wszystkie liczby zespolone z takie, że |z| = 1 oraz z

z

+

= 1

z

z

2

Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 1.20.

Niech z1, z2, z3 będą takimi liczbami zespolonymi, że zachodzi: z1 + z2 + z3 = z1z2 + z1z3 + z2z3 = 0

Pokazać, że wówczas |z1| = |z2| = |z3|.

Zadanie 1.21.

Udowodnić, że je żeli z jest liczbą zespoloną taką, że |z| = 1, to zachodzą nierówności:

√2 6 |1 − z| + |1 + z2| 6 4

Zadanie 1.22.

Udowodnić, że:

(a) cos π + cos 3π + cos 5π + cos 7π + cos 9π = 1

11

11

11

11

11

2

(b) cos π cos 2π cos 4π = 1

9

9

9

8

Zadanie 1.23.

1 + z + z2

Znaleźć wszystkie liczby zespolone z dla których

∈ R.

1 − z + z2

Zadanie 1.24.

Udowodnić, że je żeli dla ró żnych liczb zespolonych z1, z2 zachodzi |z1| = |z2|, to równie ż 1 |z 2

1 + z2| < |z1|.

Spróbować nadać interpretację geometryczną.

Zadanie 1.25.

Niech z będzie taką liczbą zespoloną, dla której |z| = 1 oraz Re(z) ∈ Q, Im(z) ∈ Q.

Udowodnić, że dla ka żdej liczby n ∈

+

N

równie ż z2n − 1 jest liczbą wymierną.

Zadanie 1.26.

Udowodnić, że liczba z = 2+i nie będzie nigdy pierwiastkiem n-tego stopnia z 1 (n ∈

2−i

N), pomimo tego, że

jej moduł wynosi 1.

Zadanie 1.27.

Niech M (z) będzie wielomianem stopnia 2n (n ∈ N) o zespolonych współczynnikach. Dodatkowo niech wszystkie pierwiastki wielomianu M (z) są liczbami zi takimi, że |zi| = 1 oraz zi ∈ C−R dla i = 1, 2, . . . , 2n.

Pokazać, że:

M (1) ∈ R ⇐⇒ M (−1) ∈ R

Zadanie 1.28.

Liczba ε = cos 2π + i sin 2π jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z 1. Wyznaczyć iloczyn: 3

3

(1 + ε) · 1 + ε2 · . . . · 1 + ε2013

Zadanie ze Zwierzem

Pewien Zwierz zaczyna swoją podró ż w lesie, dajmy na to w punkcie M . Jego podró ż składa się z 2013

etapów. Ka żdy etap podzielony jest na trzy odcinki, ka żdy o długości równej 100 metrów, a po ka żdym zako ńczonym odcinku Zwierz skręca o 60◦ w prawo, z wyjątkiem skrętu oddzielającego etapy, wtedy skręca w lewo o 60◦. Jak daleko od punktu M będzie znajdował się Zwierz na ko ńcu swojej podró ży?

3

Liczby zespolone. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 1.30

Zapisać w postaci wykładniczej poni ższe liczby zespolone:

√

√

(a)

5 − i 15

(b) (−2 + 2i)18

(c) sin π

+ i cos π

2013

2013

(d) 1+i

(e) [cos α + i(1 + sin α)]n , n ∈

1−i

N

Zadanie 1.31.

Udowodnij, że ∀z∈ ez 6= 0.

C

Zadanie 1.32.

Udowodnij, że:

(a) ez = ez

(b) sin z = sin z

(c) cos z = cos z

Zadanie 1.33.

Udowodnij, że funkcja M (z) = ez jest funkcją okresową.

Stąd wyciągnąć wniosek, że funkcje cosh z, sinh z, tgh z, cothz równie ż są okresowe.

Zadanie 1.34.

Rozwiązać równania:

√

(a) ez = i

(b) eiz = 2i − 2i 3

(c) sin z = 2

√

(d) tg 3iz = 2i + 1

(e) cosh 5z + sinh 5z = sin 2z − i cos 2z

(f ) 2 sinh 2iz =

5

Zadanie 1.35.

Udowodnij, że zachodzą poni ższe równości dla liczb zespolonych: (a) cos2 z + sin2 z = 1

(b) cosh2 z − sinh2 z = 1

(c) cosh 2z = cosh2 z + sinh2 z

(d) sin 2z = 2 sin z cos z

(e) sinh 2z = 2 sinh z cosh z

(f ) tgh 2z = 2 tgh z

1+tgh2 z

(g) cos(x ± iy) = cos x cosh y ∓ i sin x sinh y (h) sin(x ± iy) = cos x sinh y ± i sin x cosh y Zadanie 1.36.

Niech w - pierwiastek n-tego stopnia z jedynki o najmniejszym, dodatnim argumencie.

Pokazać, że w + 1 = 2 cos π ei πn ,

n

oraz, że arg(w − 1) = n+2 π.

2n

4