Funkcje wyk÷
adnicze
Krzysztof Kisiel, Monika Potyra÷a 5.1.
Oblicz:
a) 2 4;
i) (3 1 + 4 1) 2;
p
3
p
b)
3
3 ;
j) 4 3 5 3;
9
6
c)
3
;
k) (2 + (2 + 2 1) 1) 2;
4
p
p
p
d) 25 2 4;
l)
3 + 2 2
(1 +
2);
e) (2 3 3 3) 1;
p
m) (2
4 ) 1
( 3 512)
;
f ) [(2 + 3 2) 1 + 2] 2;
p
p
2
3 8 16 2
7
3 5
4 2
n)
2 12 ;
2
p
g)
:
;
4
4
3
8
4 6
7 3
p
7
4
2
h) (4 + 4 1) 2;
o) 4
9 3
1
9
2
3
1
:
81
27
4 6
p3
5.2.
Wstaw znak = albo 6= tak, ·
zeby uzyskać zdanie prawdziwe.
q
1
2
p
a)
16
: : :
3
;
p
3
9
4
k)
3
3 3 : : : 3 4 ;
1
2
b)
36
: : :
7
;
49
6
pp
1
1
1
3
l)
5
: : : 5 4 ;
c)
9
: : :
2
;
8
3
q
2
d) 2 1 + 4 1
: : :
6 1;
pp
1
m)
7
: : : 7 8 ;
e) 2 1 + 4 1
: : :
3 2 2;
pp p
p
f ) 2 2 + 3 2 : : : 6 2;
n)
3 4 3 2 : : :
2;
g) (2 2 + 3 2) 1 : : : 2 32 5 1; 1
o)
1
qp
: : : 2 8 ;
h) 2 3 + 2 4 + 2 7 : : : 2 14;
p2
i) 2 2 3 + 2 1 + 2 2 : : : 270;
q
p) 23 + 2 1 + 2 2 : : : 20;
p p
3
j)
2
2 2 : : : 2 4 ;
q) 2 1 + 2 2 + 2 3 : : : 20:
Krzysztof Kisiel, Monika Potyra÷a 5.3.
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a) f (x) = 2x
1;
h) f (x) =
2x 1
1;
b) f (x) =
3x + 2;
i) f (x) =
3 x;
x 1
c) f (x) = 1
;
2
j) f (x) =
( 1 )x + 2;
d) f (x) = 2 x + 2;
3
x+1
e) f (x) = 1
;
k) f (x) = 2x + 3x + 2 x + 3 x;
3
x 1
f ) f (x) = 1
+ 1;
1
2
l) f (x) =
:
2x + 4x + 2 x + 4 x
g) f (x) = 2 x+1 + 2;
5.4.
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a) f (x) = 1 jxj ;
e) f (x) = 2jxj
3jxj;
2
x
b) f (x) =
1
1 ;
1
3
f ) f (x) = 2 jxj+1 ;
c) f (x) = 2 jxj+1;
d) f (x) = 3jx+1j
4;
g) f (x) =
1
jxj :
2
5.5.
Naszkicuj wykres funkcji:
x 1
a) f (x) = 2x + 1;
f ) f (x) = 1
+ 1;
3
b) f (x) = 3x
2;
g) f (x) = 2 x+1 + 2;
c) f (x) = 2 x + 1;
h) f (x) = 2x 1
1;
x
d) f (x) = 1
;
i) f (x) =
2x;
2
x
x
e) f (x) = 1
1;
j) f (x) =
1
+ 1:
3
2
5.6.
Naszkicuj wykres funkcji:
a) f (x) = 1 jxj ;
d) f (x) = 2jx+1j + 1;
3
x
b) f (x) =
1
1 ;
e) f (x) = 4 jxj+1
1 ;
3
c) f (x) = 3 jxj+1
1;
f ) f (x) =
3jxj 1 + 2 + 1:
5.7.
Rozwi ¾
a·
z równanie:
a) 42x+1 = 4x2+2x 1;
g) 167x+5 = 42x 1;
b) 34x 1 = 96x;
h) 5 6x
36 =
6x;
p
2 x
c) ( 4)x+1 = 2x2;
i)
1
= 25 x;
4
p x+3
x
d) ( 9)
j) 4 22x 1 + 16 22x 3 = 22x+1 + 1; x
1 =
1
2 ;
81
k) 10 53x 1 + 53x+1
2 = 53x+1;
e) 22x 7 = 43 x;
p
p
3x 1
1
f ) 6x2 1 = ( 3
2)x;
l) 7
1
+ 81 3 3x 1 =
:
3
33x 3
adnicze
3
5.8.
Rozwi ¾
a·
z równanie:
a) 2 25x
7 5x
15 = 0;
h) 16x+ 12 + 15 4x
4 = 0;
b)
9x + 3x =
6;
i) 9 x+1 + 3 x+2
4 = 0;
c) 49x + 4 7x + 5 = 0;
j) 9x+ 12
10 3x + 3 = 0;
d) 4x+1
2x+2 + 1 = 0;
k) 3 4x 1
5 2x + 8 = 0;
x
x
e)
9x + 2 3x+1
9 = 0;
l) 3
169
4
13
39 = 0;
9
3
f ) 49x + 8 7x + 12 = 0;
m) 2 9x 12
1; 6 3x
1; 2 = 0;
g) 64x + 6 8x
7 = 0;
n) 16x+ 12
17 4x =
4:
5.9.
Rozwi ¾
a·
z równanie:
a) 2x
2 x = 15 ;
163x
4
h)
= 16x;
162x
16x + 2
b) 2x + 2 (x+2) = 1;
1
3 4x
5
c) 3x+1
2 3 x+1 = 79 ;
i)
=
;
3
1 + 4x
1
42x
d) 4x+ 32
4 x+ 14 = 16
1
p ;
1 + 2 6x
2
j)
= 0;
1
1
6x
e) 2x
= 0;
k) 9x = 6x + 4x;
2x
3 2x
1
l) 16x+ 12 = 15 8x + 4x+1;
f )
= 1;
22x + 1
m) 2 25x+ 12 = 21 10x + 5 4x+ 12 ; 4
g)
= 1;
72x + 3 7x
n) 9 16x+1 = 337 12x
16 9x+1:
5.10.
Rozwi ¾
a·
z nierówność:
1
a) 3x2 < 1;
h) 3x+1 > 1 x ;
9
b) 3x2 < 27;
p
q 1 3 x
c) 4x2 > 16;
i) 4 5x 2
3
> 256x 3;
5
2+2x
d) 5
x
2
556;
x+3
p x 2
2x
1
x+3
x
j) 6
6
;
e)
1
> 6x;
36
x 2
1
x2+x+6
5
x
25
f )
1
> 1;
k)
3
;
5
3
9
3
x2
g) 2x
1
> 2;
l)
1 j6 xj > 814 x:
2
2
9
5.11.
Rozwi ¾
a·
z nierówność:
x
a) 8 5x + 8 < 2 25x + 8 5x + 6; x
f )
1
5
1
p
104 > 0;
13
13
b)
4x+1 + 8
3 16x + 5 4x + 2;
g) 4x
2x > 2x 1 + 1;
c) 49x + 2 7x
8 > 3 7x
8;
p
h) 9x+ 14
4 3x +
3 < 0;
d)
4x + 3 2x+1
5
3 2x
3;
x
x
i)
1
+ 3
1
2 > 0;
16
4
e) 9x
8 3x + 15 > 0;
j) 1 36x + 6x
15
0;
4
Krzysztof Kisiel, Monika Potyra÷a x
x
k) 9
25
12
5
5 < 0;
m) 4x
4 < 16x
4x+ 12 + 1:
9
3
l) 81x
2 9x
3 > 0;
5.12.
Rozwi ¾
a·
z nierówność:
x 2
x 2
a)
1
+ 1
> 82;
2x+1
5
3
3
g)
<
1;
22x
3 2x+1 + 8
b) 4x+ 14
4 x+ 14 > 1;
1
2 5x
1 + 5x
c) 2 3x 3 + 3 2x < 3 x;
h)
> 1;
1 + 5x
1 + 2 5x
d) 2x+4
3 2 x+2
61;
3
7
6
2 3x
6
i)
+
<
;
e)
< 0;
1 + 5x
2 + 5x
5x
1
32x
3x + 1
p x
9x + 1
2x + 7
2
p x
f )
> 0;
j)
p x
>
2 :
92x
9x
6
2
2
5.13.
Wyznacz dziedzin ¾
e funkcji:
1
1
a) f (x) =
;
c) (x) =
:
22x+1
3 2x + 1
22x + 33x + 44x
3
1
b) f (x) =
;
2x 1
24 2x
1
4
2
5.14.
Wyznacz dziedzin ¾
e funkcji:
1
p
p
a) f (x) = p
;
k) f (x) =
22x
2x +
4x
3 2x
4;
22x+3
2x+1
1
p
q
4x
2x
2x
x
l) f (x) =
;
b) f (x) =
8
3
30
3
+ 27;
p
2
2
32x+1 + 5 3x
2
p
p
c) f (x) =
22x+1
3 2x+3 + 64;
m) f (x) =
6x
6j5x 3j;
1
d) f (x) = p
;
p16x + 3 4x + 2
52x+1
6 5x+2 + 625
p
n) f (x) = p
;
3 9x + 5 3x
2
e) f (x) =
42x
4x+1;
p
q
f ) f (x) =
2x + 4;
o) f (x) =
4x+1
16x
( 1
p ) 8x;
p
2
g) f (x) = 3 3x
61
p
1
h) f (x) =
22x+3
2x 1 + 8;
p) f (x) = p
;
p
22x 4 + 32
5(2x 2 + 1)
i) f (x) =
3x2
81;
p
p
p
2x
1
j) f (x) =
32x+1
4 3x + 1
22x + 2x;
q) f (x) =
:
2x
2
5.15.
Wyznacz dziedzin ¾
e funkcji:
p
a) f (x) =
f1(x
2)
f2( x ), gdzie f
3
1(x) = 4x+3
7 3x+2; f2(x) = 33x+2
5 43x;
p2x t
b) f (x) = p
, gdzie para liczb u i t jest rozwi ¾
azaniem uk÷
adu równań:
3x
u
3
3t 2u = 576
p
u
t = ( 2)4
adnicze
5
Odpowiedzi
5.1.
a) 1
g) 65536
m) 0
16
83349
b) 0
h) 16
289
n)
1
256
c) 4096
i) 144
729
49
o) 1
d) 2
j)
1
8000
e) 216
k) 25
144
f ) 361
l) 0
2209
q
1
2
p
5.2.
a)
16
= 3
;
p
3
9
4
k)
3
3 3 6= 34 ;
1
2
b)
36
= 7
;
p
49
6
p
1
1
1
3
l)
5
= 5 4 ;
c)
9
;
8
6= 23
q
2
d) 2 1 + 4 1 6= 6 1;
pp
1
m)
7
6= 7 8 ;
e) 2 1 + 4 1 = 3 2 2;
pp p
p
f ) 2 2 + 3 2 6= 6 2;
n)
3 4 3 2 =
2;
g) (2 2 + 3 2) 1 6= 2 32 5 1;
1
o)
1
qp
8 :
p 6= 2
h) 2 3 + 2 4 + 2 7 6= 2 14;
2
i) 2 2 3 + 2 1 + 2 2 = 270;
q
p) 23 + 2 1 + 2 2 6= 20;
p p
3
j)
2
2 2 6= 24 ;
q) 2 1 + 2 2 + 2 3 6= 20:
5.3.
a) ( 1; +1);
g) (2; 1);
b) ( 1; 2);
h) ( 1; 1);
c) (0; +1);
i) ( 1; 0);
d) (2; +1);
e) (0; +1);
j) ( 1; 2);
f ) (1; +1);
k) ( 4; +1);
5.4.
a) [0; +1)
d) (1; 2];
b) (0; +1);
c) ( 1; 0];
e) (0; +1):
Krzysztof Kisiel, Monika Potyra÷a 5.5.
a)
y
f )
y
4
2
2
1
1
1
x
1
x
b)
y
g)
y
6
4
1
3
2
1
x
−1
1
−2
−1
1
x
c)
y
h)
y
5
3
3
2
1
1
1 2 3
x
−1
−2 −1
1
x
d)
y
i)
y
4
1
1 2
x
2
−1
1
−2
−2 −1
1
x
−4
e)
y
j)
y
1
2
1
−2
1
x
−1
−1
1
x
−1
−3
5.6.
a)
y
b)
y
2
1
1
−1
1
x
−1
1
x
adnicze
7
c)
y
e)
y
1
1
−1
1
x
−1
−1
1
x
d)
y
f )
y
5
3
2
2
1
1
−2
−1
1
2
x
−3
−1
1
x
p
p
5.7.
a) x =
2; x =
2
g) x =
11 ;
12
b) x =
1 ;
8
h) x = 1;
p
p
c) x = 1
5 ; x = 1+ 5;
i) x = 3;
2
2
d) brak pierwiastków;
j) x =
1 ;
2
e) x = 13 ;
4
k) x = 0;
p
p
f ) x = 1
17 ; x = 1+ 17;
l) x =
1 :
4
4
3
5.8.
a) x = 1;
h) x =
1;
b) x = 1;
i) x = 1;
c) brak pierwiastków;
j) x =
1; x = 1;
d) x =
1;
k) x = 2; x = log 8
2
;
3
e) x = 1;
l) x = 1;
f ) brak pierwiastków;
m) x = 1;
g) x = 0;
n) x =
1; x = 1;
5.9.
a) x = 2;
h) x = 1 ;
4
b) x =
1;
i) x = 1 ;
2
c) x = 2;
j) brak rozwi ¾
azań;
p
d) x = 1 ;
k) x = log 1+ 5 ;
2
3
2
2
e) x = 0;
l) x = 2;
f ) x = 0, x = 1;
m) x = 1;
g) x = 0;
n) x =
2, x = 2:
Krzysztof Kisiel, Monika Potyra÷a 5.10.
a) brak rozwi ¾
azań;
g) x 2 ( 1; 2) [ (1; +1);
b) x 2 ( 3; 3);
h) x 2 (0; +1);
p
p
c) x 2 ( 1; 2) [ ( 2; 1);
i) x 2 ( 1; 54 );
137
d) x 2 ( 1; 8] [ [7; +1);
j) x 2 ( 3; 1]
; +
2 [ ( 1
2
1);
e) x 2 ( 1; 0);
k) x 2 [ 1; 0) [ [1; +1);
f ) x 2 ( 1; 2) [ (3; +1);
l) x 2 (2; +1);
5.11.
a) x 2 (0; +1);
h) x 2 ( 1; 1);
2 2
b) x 2 [0; 1];
2
i) x 2 ( 1; 0);
2
c) x 2 (0; +1);
j) x 2 ( 1; 1];
d) x 2 [0; 1];
k) x 2 ( 1; 1);
e) x 2 ( 1; 1) [ (log3 5; +1);
f ) x 2 ( 1; 2);
l) x 2 (1; +
2
1);
g) x 2 (1; +1);
m) x 2 R;
5.12.
a) x 2 ( 1; 2) [ (2; +1);
f ) x 2 (1; +
2
1);
b) x 2 (1; +
g) x
4
1);
2 (0; 1) [ (log2 3; 2);
p
c) x 2 (1 + log
3 1
h) brak rozwi ¾
azań;
3
; 1);
2
d) x 2 ( 1; 2];
i) x 2 (0; 1);
e) x 2 ( 1; 1);
j) x 2 (2; +1);
5.13.
a) x 2 ( 1; 1) [ ( 1; 0) [ (0; +1); b) x 2 ( 1; 1) [ ( 1; +1);
c) x 2 ( 1; 0) [ (0; +1) (wskazówka: dla x = 0 mamy 22x + 33x + 44x = 3, dla x < 0 dostajemy 22x + 33x + 44x < 1 + 1 + 1 = 3; a dla x < 0 otrzymujemy 22x + 33x + 44x > 1 + 1 + 1 = 3) 5.14.
a) x 2 ( 1; +1);
j) x 2 ( 1; 1] [ [0; +1);
b) x 2 ( 1; 1] [ [2; +1);
k) x 2 [2; +1);
c) x 2 ( 1; 2] [ [3; +1);
l) x 2 [0; +1);
d) x 2 ( 1; 1] [ [2; +1);
m) x 2 [1; 3];
2 4
e) x 2 [1; +1);
n) x 2 ( 1; +1);
f ) x 2 R;
g) x 2 R;
o) x 2 [ 1; 1];
2
h) x 2 R;
p) x 2 ( 1; 2) [ (4; +1);
i) x 2 ( 1; 2] [ [2; +1);
q) x 2 [0; 1) [ (1; +1);
5.15.
a) x 2 [2; +1);
b) x 2 (2; +1);