mgr Wojciech Grąziewicz
Semestr I Informatyka ETI
Wykład II - 2010.10.05
Zagadnienia:
Podstawowe struktury algebraiczne: pierścień, ciało. Elementy arytmetyki modularnej. Ciało Zp. Ciało C liczb zespolonych.
1. Pierścień
(P, ⊕, ) nazywamy pierścieniem z jedynką jeżeli działania binarne ⊕, w zbiorze P: a) ⊕ jest łączne ∀a,b,c∈P ( a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c) b) ⊕ posiada element neutralny ∀a∈P ∃ 0 ∈P a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a c) ⊕ posiada element symetryczny ∀a∈P ∃( −a) ∈P a ⊕ ( −a) = ( −a) ⊕ a = e d) ⊕ jest przemienne ∀a,b∈P a ⊕ b = b ⊕ a e) jest łączne ∀a,b,c∈P ( a b) c = a ( b c) f) posiada element neutralny ∀a∈P ∃ 1 ∈P a 1 = 1 a = a g) ∀a,b,c∈P a ( b ⊕ c) = a b ⊕ a c h) ∀a,b,c∈P ( a ⊕ b) c = a c ⊕ b c Jeżeli dodatkowo:
i) jest przemienne ∀a,b∈P a b = b a To taki pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym Przykłady pierścieni:
Z - pierścień liczb całkowitych
(R(x),+,*,0,1) - pierścień wielomianów o współczynnikach rzeczywistych 2. Ciało
Pierścień (P, ⊕, ) nazywa się ciałem jeżeli dodatkowo: a) posiada element symetryczny ∀a∈P \{ 0 }∃( a− 1) ∈P a a− 1 = a− 1 a = 1
Przykłady ciał:
(Q,+,*,0,1) - ciało liczb wymiernych
(R,+,*,0,1) - ciało liczb rzeczywistych
ciało funkcji wymiernych
ciało nieskończone - ma nieskończenie wiele elementów 3. Arytmetyka modularna i ciało Zp
Ciało reszt modulo m:
Zm=0,1,2,...,m-1
Zm, ⊕m, m
⊕m - dodawanie modulo
m - mnożenie modulo
R - reszta z dzielenia
Pierścienie reszt ⊕m, m: a ⊕mb = R( a+ b ) m
a mb = R( a∗b )
m
Np. Z5 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4
{Z5 , ⊕ 5 , 5 }
⊕
1
2
3
4
1
2
3
4
0
2
3
4
0
1
3
4
0
1
2
4
0
1
2
3
1
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Zm jest ciałem tylko jeżeli m=p, gdzie p to liczba pierwsza np. Z2 , Z 3 , Z 5
Ciało Zp - ciało, które ma p elementów, gdzie p to liczba pierwsza 4. Podciała i rozszerzanie ciał
Podzbiór ciała, który ze względu na te same działania jest ciałem nazywamy podciałem.
Ciało liczb wymiernych jest podciałem ciała liczb rzeczywistych Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych x2 − 2 = 0
√
j
k2
2
= 2
√
√
Q[ 2]={a+b 2, a,b ∈ Q}
x2 − 3 = 0
√
j
k2
3
= 3
√
√
Q[ 3]={a+b 3, a,b ∈ Q}
x2 − 2 = 0 ∧ x2 − 3 = 0
√
√
√
√
√
Q[ 2 ,
3]={a+b 2+c 3+d 6, a,b,c,d ∈ Q}
5. Ciało C liczb zespolonych x2 + 1 = 0
i2 = − 1 ∧ i /
∈ R
R[i]={a+bi, a,b ∈ R}
R[i= C - ciało liczb zespolonych z=a+bi - liczba zespolona i - jednostka urojona
a=Re(z) - (realis) część rzeczywista
b=Im(z) - (imaginis) część urojona
Działania na liczbach zespolonych:
a) z1 + z 2 ∈ C
b) z1 ∗ z 2 ∈ C
c) z1 − z 2 = z 1 + ( −z 2) ∈ C
d) z 1 =z
∈ C, z 6= 0
z
1 ∗ z− 1
2
2
2