Macierze i wyznaczniki
zad. 1 Obliczyć iloczyn macierzy A i B:
− 8
2
3
3
2 −8 1
− 2
4
− 4
2 − 2 7 3
4
a) A = 4
3 − 3
B =
3 − 2
b) A =
B = 6
1
2 1 1 −
1
4
2
1
1
5
1
− 2 −1 0
0
zad. 2 Obliczyć:
2
3 1
2
−1
1 2
3
− 2
5
3 −1
3 − 3 4 − 2 − 3
4 2 − 2 −1
a)
2 − 2
1
b)
c) 5
7 2 − 6
7
4 5
2
− 3
4 − 3 − 4
2 − 3 2
4 − 4
4 2
2
− 3
3
2 1 − 2
3
zad. 3 Rozwiązać równania i nierówność: 1
2
3
2
x
3
2
3 x − 5 x − 2
x − 3
a) det 1
3 − x
3 = 0
b) det x
−1 1 = 0
c) 2 x +1 x −1
x + 2 > 0
1
2
5 + x
0
1
4
3 x + 2 x −1 2 x + 3
zad. 4 Znaleźć macierze odwrotne do danych macierzy:
1 1
1
1
2
1− i
2 + i
1
2
2
1
1
−1 −1
A =
i
− 3 2 + 3 i B = 2
1
− 2 C =
1 −1 1 −
1
2 − i 4 − i
− 2 i
2 − 2
1
1 −1 −1 1
zad. 5 Wyznaczyć rzędy macierzy:
1
3
2
3
− 5
7
12
7
1
3
2 - 4 5 -
3
1 2 − 3 4
2
3 − 6 − 9
2
2
- 8 2
3
4
9
A = − 5 9
4 3 −1 B =
C =
−1 13 14 − 5
4
2
2
4
7
3
3 2
1 4
3
2 − 3 − 5
3
- 2 1 4 5 1 4
4
2 − 2
3
zad. 6 Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnić podane wzory: 5 1 0 K 0 0
4 5 1 K 0 0
n 1
+
K
−
a)
0 4 5
0 0
4
1
W =
=
n
M M M O M M
3
0 0 0 K 5 1
0 0 0 K 4 5
2 cos x
1
0
K
0
0
1
2 cos x
1
K
0
0
0
1
2 cos x K
0
0
sin (
[ n + )1 x]
b)
W =
=
n
M
M
M
O
M
M
sin x
0
0
0
K 2 cos x
1
0
0
0
K
1
2 cos x
zad. 7 Obliczyć następujące wyznaczniki stopnia , n n ≥ 2 (wyprowadzone wzory udowodnić indukcyjnie).
1 2 0 K 0 0
1
1
1
K 1
1
1 1 2 K 0 0
−1 0
1
K 1
1
1 1 1 K 0 0
−1 −1 0
K 1
1
a)
b)
M M M O M M
M
M
M
O M
M
1 1 1 K 1 2
−1 −1 −1 K 0
1
1 1 1 K 1 1
−1 −1 −1 K −1 0
zad. 8 Wyprowadzić wzory na n A i udowodnić je indukcyjnie.
1
1
2 −1
cosα
sinα
a)
A =
b)
A =
c)
A =
, gdzie α ∈ R
0
1
3 − 2
− sinα cosα
d)
A = 0 1 0
1 0 0
zad. 9 Rozwiązać podane równania macierzowe i układy równań macierzowych:
1 1 00 2 1 T
2 2
T
1
2
a)
X =
b)
X = X
0 1 01 1 0
1 2
− 2 −
3
1 2
3
2 1
2
T
4 i
0
c)
X − iX =
d) 2 1
1 X =
1 1 −1
6 − 2 i − 2
3 1 − 4
− 2 3 −
1
2
1
3 4
e)
X
=
1
3
1 2
2 0 0
X + Y = 0 2 0
1 −
1
1 0
X +
Y =
0 0 2
−1
3
0 1
f)
g)
0 0 2
3
1
2
1
X + Y =
X − Y = 0 2 0
1
1
1
1
2 0 0