Niech funkcja f posiada skończoną pochodną
'
f na przedziale ( a, b).
POCHODNĄ II RZĘDU lub drugą pochodną funkcji f nazywamy pochodną funkcji
'
"
f przy założeniu, że pochodna ta istnieje. Oznaczamy ją symbolem f .
Ogólnie, pochodna n-tego rzędu lub n-tą pochodną, gdzie n ∈ {
,
3
,
2
}
..
4 funkcji f
nazywamy pochodną skończonej ( n − ) 1 pochodnej funkcji f . Przy założeniu że ta pochodna istnieje.
'
"
'
"
(4)
( n− )
1
( n )
Kolejne pochodne funkcji f oznaczamy f , f , f , f
… f
, f
WZÓR LEIBNIZA Jeżeli funkcja f , g posiadają skończoną pochodną do rzędu n n
n
( n)
włącznie w otoczeniu x to ( f ⋅ g ) ( x) = ∑
( n− k
f
) ( x) ⋅ ( k
g ) ( x) gdzie
0
0
k
k =
(0)
f
( x) = f ( x) , (0)
f
( x) = f ( x) dla x z otoczenia x .
0
TWIERDZENIE WZÓR TAYLORA
Jeżeli funkcja f o wartościach rzeczywistych jest określona w otoczeniu x ∈ ℜ oraz 0
posiada w x skończona pochodna n-tego rzędu to dla dostatecznie małych h zachodzi 0
wzór.
WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ W POSTACI PEANA
2
n 1
h
h
h −
−
hn
n
n
hn
f ( x + h) = f ( x )
'
+
f ( x )
"
+
f ( x ) + ...
1
( )
+
f
x
+
f
x
+
ε x h
0
0
!
1
0
!
2
0
( n − )
(
)
(
)
(
, )
1 !
0
!
0
n
!
0
n
gdzie ε ( x , h) → 0 przy h → 0
n
0
hn
r ( x , h) =
f n x
+ ε x h Reszta w postaci Peana n
0
( ( )( )
(
, )
0
n
0
)
!
n
EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJ ZMIENNEJ
Dana jest funkcja f : ( a, b) → ℜ niech x ∈
0
( a, b)
Mówimy, że funkcja f posiada w x MAKSIMUM LOKALNE (MINIMUM
0
LOKALNE) jeżeli istnieje takie otoczenie ( x − h, x + h ⊂
0
0
) ( a, b)
∀
f ( x) ≤ f ( x ) (
∀
f ( x) ≥ f ( x ) 0
)
0
x (
∈
x − h, x + h)
∈
−
+
0
0
x ( x
h, x
h)
0
0
Wspólna nazwa dla maksimum i minimum lokalnego to ekstrema lokalne.
1
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIE EKSTREMUM
Jeżeli funkcja f określona na przedziale a, b , posiada w punkcie x ∈
skończoną
0
( a, b)
pochodną
'
f ( x ) oraz posiada w x ekstremum lokalne to
'
f ( x ) = 0
0
0
0
Dowód : Niech np. w x funkcja f ma maksimum lokalne.
0
Ponieważ istnieje skończona pochodna
'
f ( x ) więc istnieje pochodna jednostronna 0
f ( x + h) − f ( x ) f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x ) = lim
0
0
= lim
0
0
, dla dostatecznie małych h > 0
0
+
−
h→0
h
h→0
h
f ( x + h) − f ( x ) mamy
0
0
≤ 0 czyli
'
f ( x )
'
= f ( x ) ≤ 0 , dla dostatecznie małych co do h
p
0
0
f ( x + h) − f ( x ) wielkości bezwzględnych h < 0 mamy 0
0
≥ 0 czyli
h
'
f ( x )
'
≥ f ( x ) ≥ 0 zatem '
f ( x ) = 0 .
l
0
0
0
Punkt x , w którym zeruje się pochodna
'
f nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f .
0
Jeżeli '
f ( x ) = 0 to x nie zawsze istnieje ekstremum.
0
0
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO
Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu x skończoną pochodna
'
f przy czym
'
f ( x ) = 0 ,
0
0
oraz istnieje pochodna
"
"
f ( x ) to:
0
a) w x funkcja f osiąga maksimum właściwe gdy
"
"
f ( x ) < 0
0
0
b) w x funkcja f osiąga minimum właściwe gdy
"
"
f ( x ) > 0
0
0
Dowód: Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peana dla n=2
2
2
h
h
h
f ( x + h) = f ( x )
'
+
f ( x )
'
+
f ( x ) +
ε ( x , h)
0
0
!
1
0
!
2
0
!
2
2
0
dla dostatecznie małych ( h) gdzie ε x h → przy h → 0
2 (
,
0
) 0
2
h
ponieważ '
f ( x ) = 0 więc f ( x + h) − f ( x ) =
f
x
+ ε x h
0
0
( ""( )
(
, )
0
2
0
)
0
2
znak prawej strony powyższej równości jest przy małym ( h) jest taki sam jak znak pochodnej
"
"
f ( x ) zatem, jeżeli
"
"
f ( x ) > 0 , to f ( x + h) > f ( x ) czyli w x istnieje minimum 0
0
0
0
0
właściwe. Analogicznie jeżeli
"
"
f ( x ) < 0 to w x istnieje maksimum właściwe.
0
0
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO
Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu x skończoną pochodną do ( n − ) 1 − go rzędu
0
włącznie, przy czym
'
f ( x ) = ...
( n− )
1
= f
( x ) = 0 oraz istnieje skończona pochodna 0
0
( )
f n ( x ) ≠ 0 to
0
a) nie występuje ekstremum lokalne funkcji f , gdy n jest liczbą nieparzystą 2
b) występuje maksimum lokalne właściwe, gdy n jest liczba parzystą, oraz gdy ( )
f n ( x ) < 0
0
c) występuje minimum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą oraz gdy
( )
f n ( x ) > 0
0
3