Siła a energia potencjalna Siła a energia potencjalna
2. Ruch 3D
Wpola = -"U (x, y, z)
1. Ruch wzdłuż osi OX
Ć
"r = "rx� + "ry 5
+ "rzk
Wpola = -"U
"U (x, y, z)
Fx �" "x = -"U (x, y, z) �! Fx = -
"U
"x
Fpola �" "x = -"U �! Fpola = -
"x
"U (x, y, z)
"U (x, y, z)
F (x) = -
Fx (x) = -
"x
dU (x)
Przy "t 0 otrzymujemy Fpola (x) = -
dx
"U (x, y, z) "U (x, y, z)
Fy (x) = - ; Fz (x) = -
"y "z
1
Siła a energia potencjalna
Zastosowanie krzywej energii potencjalnej
"U (x, y, z) "U (x, y, z) "U (x, y, z)
Fx (x) = - ; Fy (x) = - ; Fz (x) = -
Ep (x)
"x "y "z
�ł "U (x, y, z) "U (x, y, z) "U (x, y, z) �ł
Ć
F = -�ł � + 5
+ k
E0
�ł
"x "y "z
�ł łł
Ek (x)
k
F = -"U
x
położenie
3
Siły niezachowawcze
Środek masy
droga
W = mgf �"
5
Środek masy Punkty ułożone wzdłuż prostej Środek masy
m1r1 + ...+ mnrn
rcm =
m1 +...+ mn
xŚM
m1x1 + m2x2 + m3x3
5

ŚM  środek masy xcm = =
3.4kg
iĆ
m1 + m2 + m3
ŚM
1.2 �"0 + 2.5�"140 + 3.4 �"70
= 83 cm
7.1
m1x1 + m2x2
xŚM =
ŚM
m + m
m1 + m2
m1y1 + m2 y2 + m3y3
m1r1 + m2r2
ycm = = 58 cm
xŚM =
m1 + m2 + m3
m1 + m2
1.2kg 2.5kg
Środek masy
rk
"mk
W którym miejscu należy umieścić podpórkę aby układ k
rŚm =
wyglądał tak jak na rysunku?
"mk
k
y
�ł �ł �ł �ł
xk yk
"mk "mk
�ł �ł �ł �ł
k k
�ł �ł �ł �ł
rŚm = iĆ + 5

M
�ł �ł �ł �ł
x "mk "mk
�ł �ł �ł �ł
�ł k łł �ł k łł
m
"m xk
k
k
xsm =
ML M
"m
k
xsm = = L
k
M + m M + m
"m yk
k
k
ysm =
"m
k
k
Środek masy   układ rozciągły
Środek masy  jednorodnych ciał symetrycznych
Środek masy jednorodnego ciała znajduje się w jego środku
symetrii
ri CM
" i
""mi i
i
rCM =
=
M
xi
yi
""mi ""mi
i
i
xCM =
yCM =
M
M
Ruch środka masy Zmiana pędu układu
rk
"mk
k
rŚm ==
"mk
Pukadu = pk = mkvk = mk �ł
( )
" " "�ł drk łł
�ł �ł
k
dt
k k k �ł
drk
"mk
dr
dt
k 1
vŚm = = = pk
M "
2
�ł
dt dP d rk2 �ł
k
= mk �ł = = Fwyp
= mk 2 �ł = = Fwyp
"mk �ł "F
"mk �ł "F
"
" k
dt
k dt
dt2 łł k k
k
�ł
1
vŚm = Pukadu
M
dP
= Fwyp
dt
dv dpk 1
1
aŚm = = =
M " "F
dt dt M
k
Zasada zachowania pędu układu Zasada zachowania pędu układu
Wpływ sił wewnętrznych
Pęd układu
P = pi =p1 + p2 + �"�"�" + pn
dP
"
= Fwyp
dt
Dla dwu ciał
P = p1 + p2
dP
= Fwyp = 0 �! P = const
"P = "p1 + "p2
dt
dt
Założenie : suma sił zewnętrznych równa się zeru.
"p1 = F21"t "p2 = F12"t
"P = (F21 + F12)"t = 0
"F = 0 �! "P = 0
zew
Zderzenia doskonale sprężyste
v1
v2
vL
m1 m2
W czasie zderzeń doskonale sprężystych zachowany zostaje
1. pęd układu
2. energia kinetyczna układu.
Pc = 0 m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
2 2 2 2
MvL + vp i3M = 0
m1v1 m2v2 m1u1 m2u2
{
{
+ = +
2 2 2 2
vL = 3vp
m1 v1 - u1 = m2 u2 - v2
( ) ( )
{
m1 v1 - u1 v1 + u1 = m2 u2 - v2 u2 + v2
( )( ) ( )( )
Jak zmieni się ruch ciał gdy pozostaną one połączone po
zerwaniu wiązania ?
v1 + u1 = u2 + v2
Zderzenia doskonale sprężyste Zderzenia doskonale sprężyste
m1 v1 - u1 = m2 u2 - v2
( ) ( )
{ v1 + u1 = u2 + v2
u2 = v1 + u1 - v2
m1
( - m2 v1 + m2v2
)
u1 =
m1 + m2
Zderzenia
m v = m v + m v
1 1 p 1 1k 2 2 k
m1v1p = m1v1k,x + m2v2k ,x
0 = m1v1k , y + m2v2k , y
m v = m v cos� + m v cos�
1 1 p 1 1k 1 2 2 k 2
m v sin� + m v sin� = 0
1 1k 1 2 2 k 2
Dla zderzeń doskonale sprężystych:
2
2 2
m1v1p m1v1k m2v2k
�
= +
2 2 2
v2kx = vk 2 cos�