Ernest Aleksy Bartnik
Ryszard Paweł Kostecki
Ewa Słomińska
Mechanika Kwantowa I
Skrypt
oparty na notatkach z wykładów dr hab. E. A. Bartnika
4 paz
dziernika 2002  17 stycznia 2003
wersja skryptu:0.75
data ostatniej rewizji:24 stycznia 2004
najnowsza wersja dostępna jest na stronie:http://www.rysieq.prv.pl
komentarze do skryptu prosimy przesyłać pod adres:[e-mail]
2
Spis treści
1 Wstęp 7
1.1 Równania mechaniki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Procedura kwantowania układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Interpretacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Ruch cząstki swobodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Równanie Schr�dingera dla cząstki swobodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Równanie Schr�dingera 9
2.1 Unormowanie funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Wartości średnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Techniki rozwiązywania zagadnień w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 13
3.1 Wstęp (przepięknej urody) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Dygresja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Równania Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Studnia potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 17
4.1 Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Kwantowe rozwiązania problemów klasycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.3 Układ dwóch cząstek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.4 Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.1 Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.2 Baza w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Twierdzenie spektralne 23
5.0.3 Operator pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3
5.0.4 Operator położenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1 Równoczesność pomiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Uogólniona zasada Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Oscylator harmoniczny 26
6.1 Jak wytwarzać funkcje falowe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiązanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Rozwiązanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów
(bez konieczności całkowania) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 Tworzenie funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 Notacja  bra i  ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.6 Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.6.1 Degeneracja stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 Atom wodoru 31
7.1 Zapis w układzie sferycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Wielomiany Legendre a, harmoniki sferyczne i moment pędu 33
8.1 Krótkie powtórzenie, tytułem wstępu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Wielomiany Legendre a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.3 Harmoniki sferyczne i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.4 Operator momentu pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.4.1 Wektor momentu pędu we współrzędnych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Atom wodoru - ciąg dalszy 37
9.1 Radialne równanie Schr�dingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.2 Poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.3 Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10 Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej 39
10.1 Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.1.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.1.2 Macierze hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
10.1.3 Funkcja od macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
10.2 Macierze i bra-kety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
10.3 Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10.4 Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10.4.1 Wypisy z Schiffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10.5 Operatorowe rozwiązanie równania Schr�dingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
11 Symetrie 44
11.1 Tradycyjne jak gdyby przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.2 Najgłębsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Grupa obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12 Rachunek zaburzeń 47
12.1 Trochę z tego, co już było . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.2 Metody rachunków przybliżonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.2.1 Metoda wariacyjna Ritza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.2.2 Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.3 Rachunek zaburzeń niezależny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13 Rachunek zaburzeń  ciąg dalszy 50
13.1 Ciąg dalszy z poprzedniego wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.2 Znoszenie degeneracji przez zaburzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.2.1 Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
14 Przybliżenie półklasyczne 53
14.1 Przybliżenie WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14.2 Warunek na kwantyzację półklasyczną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.3 Interpretacja graficzna przybliżenia WKB dla cząstki w potencjale . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.4 Rozpad promieniotwórczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.5 Rachunek zaburzeń zależny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15 Rachunek zaburzeń 55
5
15.1 Przypomnienie wraz z kontynuacją materiału z wykładu poprzedniego . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.2 Zaburzenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15.3 Przybliżenie adiabatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16 Przybliżenie nagłej zmiany, fermiony i bozony 58
16.1 Rachunek zaburzeń - dalszy ciąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.1.1 Przybliżenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.1.2 Nieciągła zmiana wartości H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.1.3 Przybliżenie nagłej zmiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.2 Problem dwóch ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
17 Bozony i fermiony 61
17.1 Symetryczność i antysymetryczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
17.2 Izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
18 Bozony, fermiony i układ okresowy 62
18.1 Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
18.2 Problem cząstek symetrycznych jeszcze raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.2.1 Jak antysymetryzować funkcje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.2.2 Hamiltonian dla układu n elektronów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18.3 Układ okresowy pierwiastków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
18.3.1 Z czego wynika okresowość pierwiastków? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
18.4 Model atomu Thomasa-Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
19 Metoda Hartreego-Focka 66
20 Obraz Heisenberga, Diraca i Schr�dingera 69
20.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
20.2 Obrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
20.2.1 Przykład pierwszy: cząstka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
20.2.2 Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
20.2.3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z siłą wymuszającą . . . . . . . . . . . . . . 71
6
21 Jeszcze raz problem oscylatora 71
22 Stany mieszane 73
23 Rozpraszanie 74
23.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
23.2 Rozpraszanie: ściślejsze rozważania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
23.3 Funkcje Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
24 Rozpraszania ciąg dalszy 76
24.1 Postulaty, na dobry początek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
24.2 Rozpraszanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
24.3 Rozpraszanie na sferycznym potencjale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
24.4 Całkowity przekrój czynny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
25 Kwantyzacja układu złożonego z N oscylatorów 80
25.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
25.2 Skończona transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
26 Podsumowanie wykładu  Mechanika kwantowa 81
26.1 Jako rzecze Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
26.2 Od kronikarzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
26.3 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 1: Wstęp. 7
1 Wstęp
Mechanika kwantowa1 jest podstawową teorią zjawisk skali atomowej. Jest ona nieintuicyjna, czasem wręcz  ab-
surdalna . Jednak jedynym kryterium poprawności teorii jest jej zgodność z doświadczeniem, a mechanika kwan-
towa jest najdokładniej potwierdzoną teorią fizyczną.
Zauważalny jest duży związek między mechaniką klasyczną i kwantową. Jeżeli dla układu da się zapisać lagranż-
jan (a zatem i hamiltonian), to problem można rozwiązać zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej. Natomiast
przy pomocy równań Hamiltona-Jacobiego można jednoznacznie stwierdzić, czy postawiony tak problem da się
rozwiązać analitycznie. Są jednak zjawiska dla których zapisanie lagranżjanu jest niemożliwe, bądz
trudne (np.
zjawiska gdzie występuje tarcie).
W mechanice relatywistycznej nie występuje pojęcie siły. Występują pola.
1.1 Równania mechaniki klasycznej
"L
Pęd kanoniczny to (z definicji) lagranżjan zróżniczkowany po prędkości (uogólnionej): pi := . Odpowiedni-
"qi
Ł
d
kiem newtonowskiej zasady dynamiki ( p = F ) w języku lagranżjanu jest równanie Eulera-Lagrange a:
dt

d "L "L
= . (1)
dt "qi "qi
Ł
Energię układu można wyrazić za pomocą pędów i położeń - otrzymuje się hamiltonian:

H = (piqi) - L. (2)
Ł
i
Dla każdego hamiltonianu spełnione są równania Hamiltona:
"H
qi = , (3)
Ł
"pi
"H
Wi = - . (4)
"qi
Dla jednego wymiaru równania te mają postać:

"H(p,x,t)
� =
"p
"H(p,x,t)
W = - .
"x
x(t+ t)-x(t)
dx "x
Wykorzystując definicję różniczki: = = i wzory (3) i (4), otrzymuje się następujące wzory:
dt "t t

"H(x,p,t)
x(t+ t) = x(t)+ t
"p
"H(x,p,t)
p(t+ t) = p(t)+ t ,
"x
1
Właściwszą nazwą dla tej mechaniki byłoby określenie jej jako mechaniki operatorowej := mechaniki falowej + mechaniki kwantowej.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 1: Wstęp. 8
co umożliwia numeryczne wyznaczanie ewolucji układu dla dowolnych czasów.
1.2 Procedura kwantowania układu
1. Hamiltonian we współrzędnych kartezjańskich przekształca sie w operator kwantowy:
H(r, p, t) - $
(r, -i ", t). (5)
Poszukajmy jednostek stałej 2, tak, by we wzorze (5) zgadzały się jednostki (czyli: dokonajmy analizy
kg�m [ ] [m][x]2
J�s J�s " 1
wymiarowej): [p] = = = , [p] = , [ ] = . Zatem: [ ] = = [p][x] = [E][t].
s m m m "x m [t]
Analiza wymiarowa nie jest w stanie podać nam wartości zmiennej, którą to wartość trzeba wyznaczyć
eksperymentalnie. Dziś wiemy, iż = 1.054573 � 10-34J � s 6.58 � 10-16eV � s.
2. Energii i składowym pędu przypisane są następujące operatory, działające na funkcję falową �(r, t):
"
E - i , (6)
"t
"
px - -i , (7)
"x
"
py - -i , (8)
"y
"
pz - -i . (9)
"z
1.3 Interpretacja
Funkcja falowa �(r, t) określa w mechanice kwantowej stan fizyczny układu. Podanie tej funkcji dla pewnej
chwili czasu opisuje wszystkie własności układu, nie tylko w danym momencie, ale również w przyszłości, oraz
w przeszłości. Funkcja falowa � koduje całą informację o układzie. Nie czyni tego jednak w postaci dyskretnej
zbioru sześciu liczb (x, y, z, px, py, pz), tak jak to było w mechanice klasycznej, lecz w bardziej wyrafinowanej
postaci funkcyjnej. Mechanika kwantowa jest teorią deterministyczną i probabilistyczną.
Działanie hamiltonianu $
na funkcję falową: przesuwa on naszą wiedzę o układzie w czasie:
"
$
(r, -i ", t)�(r, t) = i �(r, t). (10)
"t
Interpretacja funkcji falowej �: iloczyn funkcji falowej � i funkcji do niej sprzężonej �" jest gęstością praw-
dopodobieństwa położenia:
(r, t) = |�(r, t)|2. (11)
Oznacza to, że (r, t)dxdydz jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w elemencie objętości dxdydz
wokół punktu r w chwili t. Funkcja � musi być unormowana zgodnie z warunkiem normalizacji:

1 = d3r (r, t) = d3r|�(r, t)|2. (12)
2
to taki kwantometr
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schr�dingera. 9
1.4 Ruch cząstki swobodnej
klasycznie:
m�2
" energia kinetyczna: L = ,
2
"L
" pęd: px = = m�,
"�
p2 p2 p2
m�2 m 1
" hamiltonian H = p� - = - = = (p2 + p2 + p2).
x y z
2 m 2 m2 2m 2m
kwantowo:

- 2 "2 "2 "2 2
" $
= + + = - (")2.
2m "x2 "y2 "z2 2m
1.5 Równanie Schr�dingera dla cząstki swobodnej

"� 2 "2� "2� "2�
i = - + + . (13)
"t 2m "x2 "y2 "z2
Postulując rozwiązania w postaci fali płaskiej:
�(x, y, z, t) = exp(-i�t + ik1x + ik2y + ik3z),
otrzymuje się:
ńł
"2�
2
�ł = (-k1)�
�ł
"x2
�ł
�ł
"2�
2
= (-k2)�
"y2
"2�
2
�ł
�ł = (-k3)�
�ł "z2
ół
"�
= -i� exp(-i�t) = (-i�)�.
"t
Po wstawieniu do równania (13) mamy:
2 2(k)2
(i )(-i�)� = (k)2� �� = �.
2m 2m
Z powyższych równań wynika zależność na częstość rozchodzenia się paczki falowej (związek dyspersyjny):
(k)2
� = . (14)
2m
2 Równanie Schr�dingera
2.1 Unormowanie funkcji falowej
"�
i = $
�. (15)
"t
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schr�dingera. 10
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja falowa �(r, t), która dostarcza pełnego opisu zachowania cząstki.
Ponieważ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek wynosi 1, to mamy warunek normalizacji:

d3r�"� = 1. (16)
Współczynnik przy funkcji � - norma - jest niezależny od czasu. Potwierdzają to obliczenia:

P (t) = d3r�"� = 1.

dP d
Ł Ł
= d3r (�"�) = d3r(�"� + �"�).
dt dt
1 1
Ł Ł
Wstawiamy � = ($
�) oraz �" = - ($
�)":
i i


dP 1
= d3r -�($
�)" + �"($
�) .
dt i
2
Przyjmując, że H = H0 + V (r), natomiast $
= - (")2 + V (r):
2m
"
dP 1 2 2
= d3r -� - "2� + V (r)� + �" - "2� + V (r)� .
dt i 2m 2m
Ostatecznie mamy:


dP
= - d3r -("2�")� + �""2� . (17)
dt 2mi
Problem można rozwiązać dwoma sposobami:
"2 "2 "2
1. Skorzystać z definicji laplasjanu ("2 = + + ) i przekształcić równanie (17) do postaci:
"x2 "y2 "z2

+" +" +"
"2�" "2�
- dz dy dx -� + �" = 0. (18)
2mi "x2 "x2
-" -"
-"

+" "� "�" "�" "�
dx + =0
[-
]
-" "x "x "x "x
dP
Z tego równania wynika = 0.
dt
2. Zmiana w czasie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym obszarze (nie w całej objętości):

d d
P (t) = d3r (�"�) = - d3r[-("2�")� + �"("2�)].
dt dt 2mi
&! &!
Na mocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego całka powierzchniowa zamienia się w całkę po konturze
obszaru:

d
P (t) = - d2�[-�("�") + �"("�)].
dt 2mi
d&!
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schr�dingera. 11
Na podstawie otrzymanego wyniku można zdefiniować prąd prawdopodobieństwa (gęstość prądu prawdopodobieństwa)
S:

S := [�"("�) - ("�")�]. (19)
2mi
Obowiązuje wówczas równanie ciągłości:
"
+ "S = 0. (20)
"t
Strumień prawdopodobieństwa wypływa, gdy funkcje falowe są zespolone:
irp
�(r, t) = N exp(-i�(p)t + ),

p2
�(p) = . (21)
2m
2.2 Wartości średnie
Ogólny wzór na wartość średnią funkcji f(x):

f(x) = dx (x)f(x), (22)
gdzie (x) jest gęstością prawdopodobieństwa. Dla cząstek danych pewnym rozkładem prawdopodobieństwa is-
totne są dwie wartości: �-odchylenie standardowe, �-średnia rozkładu. Znając gęstość prawdopodobieństwa
można obliczyć średnie położenie cząstki x :

� = dx (x)x = x dla (x) 0 i dx (x) = 1,

�2 = dx (x)[x - �]2 = (x - �) 2 = x2 - x 2.
Każdej wielkości fizycznej można przypisać operator:
Ć
np. kwantowy operator momentu pędu: L = r � p.
Ć Ć
Wzór na średnią wartość dowolnego operatora:

Ć Ć
Ś = d3r�"Ś�. (23)
Operatory mechaniki kwantowej - operatory hermitowskie - w działaniu na dowolną funkcję falową dają wynik
rzeczywisty.
Przykładowe obliczenia:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schr�dingera. 12
" Średnie położenie cząstki x :

x = d3r�"(r)x�(r) = d3r�"�x = d3r (r, t)x,
x : �(x, t) - x�(x, t).
Ć
" Średnia składowej pędu px :
x-owej

"� "�
px = d3r�"(-i ) = -i dz dy dx�" "� = -i dydz dx �",
"x "x "x
sprzężenie średniej wartości x-owej składowej pędu px ":

"�" d�"
px " = d3r�(-i ) = i dz dy dx� = px ,
"x dx
zatem, gdy funkcja falowa jest rzeczywista (�" = �), wtedy px = 0.
2.3 Techniki rozwiązywania zagadnień w mechanice kwantowej
Istnieje tylko jedna analityczna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych: przez separację zmi-
ennych. Potrafimy rozwiązywać w ten sposób tylko zagadnienia o dużej symetrii.
Dany jest hamiltonian:
2
$
= - "2 + V (r), (24)
2m
gdzie V (r) nie zależy od czasu. Rozwiązując równanie Schr�dingera można je rozseparować na część zależną i
niezależną od czasu, a funkcję falową zapisać następująco: �(r, t) = ą(t)�E(r).
Rachunki:
"�
i = $
�
"t
dą
i �E(r) = ą(t)$
�(r) : ą(t)�E(r)
dt
dą 1 $
�(r)
i = = E.
dt ą(t) �E(r)
E jest stałą separacji oraz, jak się póz
niej okaże, energią. Separacja równania udaje się tylko dla potencjałów
niezależnych od czasu. Końcowym efektem separacji są dwa równania:
" Proste równanie różniczkowe zależne od czasu:
dą
i
dt
= E. (25)
ą(t)
" Równanie Schr�dingera niezależne od czasu:
2
- "2�E + V (r)�E = E�E. (26)
2m
Szukana postać rozwiązania równania (25): ełt = ą(t).
dą iEt

i = Eą(t) i łą(t) = Eą(t) �! ą(t) = e- .
dt
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna. 13
iEt "
Zatem: �(r, t) = exp(- )�E(r); �"(r, t) = exp(+iEt )�E(r).

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki nie zależy od czasu:3
= �"� = |�E(r)|2.
3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna
3.1 Wstęp (przepięknej urody)
Każdej wielkości fizycznej przypisujemy operator kwantowy:
Ć
Ś(r, p) - Ś(r, -i ").
Przepis ten czasami nie sprawdza się. Dla przykładu zbadajmy kwantowy odpowiednik klasycznej równości
xpx = pxx:
"�
xpx� = x( ) , (27)
Ć Ć
i "x
"�
pxx� = ( )[� + x ]. (28)
Ć Ć
i "x
Oczywiście (27) = (28). Okazuje się, że w mechanice kwantowej dopuszczone są jedynie takie operatory, które są

1
hermitowskie. Ani (27) ani (28) hermitowskie nie są. Natomiast (xpx + pĆ x) w pełni poprawnym hermitowskim
Ć Ć Ć
x
2
operatorem już jest.
Mechanika kwantowa jest statystyczna. W jej warstwie interpretacyjnej myślimy w terminach funkcji falowej,
wartości oczekiwanych, prawdopodobieństwa. Jest ona deterministyczna, bo potrafi przesuwać naszą wiedzę w
"�
czasie: i = $
� to nic innego, jak równanie liniowe ewolucji. Była ona sprawdzana w warunkach ekstremal-
"t
nych i nigdy nie zostało zaobserwowane żadne odstępstwo od liniowości.
Funkcję falową często separujemy na część zależną tylko od czasu oraz część zależną tylko od położenia:
iEt

�(r, t) = A(t)�E(r) = e- �E(r), (29)
gdzie �E(r) spełnia równanie Schr�dingera niezależne od czasu:
$
�E = E�E. (30)
Udowodnimy teraz, że stała separacji E rzeczywiście jest energią:

iEt iEt

$
= d3r�"$
� = d3re �" (r)$
e- �E(r) = (31)
E
3
Z dokładnością do fazy funkcji falowej, która to zmienia się w czasie, jednak gęstość prawdopodobieństwa - |�|2 - skutecznie wpływu
ewolucji nie zauważa.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna. 14

= d3r�" $
�E = d3r�" E�E = E d3r�" �E = E.
E E E
Zatem �E to funkcje własne, zaś E to wartości własne operatora $
.
3.2 Dygresja
Miarą rozrzutu rozkładu prawdopodobieństwa jest wariancja:
2
�Ń = (Ń - Ń )2 . (32)
Zatem:

2
�E = ($
- E)2 = d3r�" (r) ($
- E)2�E(r) = 0. (33)
E

($
-E)�($
- E)�E

=0
Okazuje się, że w specyficznych sytuacjach specyficzne wielkości mają w mechanice kwantowej dokładnie określone
wartości.4
3.3 Równania Ehrenfesta
W jakim znaczeniu mechanika kwantowa odtwarza mechanikę klasyczną?
1 1 2
Ł
� = ($
�) = [- ("2�) + V �],
i i 2m
1
Ł
� = - ("2�) + V �,
2mi i
1
Ł
�" = ("2�") - V �".
2mi i

d d
Ł Ł
x = d3r�"x� = d3rx[�"� + �"�] =
dt dt

V V
= d3rx[�"(- )("2�) + �" � + ("2�") - � �"] =
2mi i 2mi i
Człony zależne od potencjału skróciły się!

"� "2� "2�
= d3rx[�("2�") - �"(""�)] = d3r[�"(2 + x ) - �"x ].
2mi 2mi "x "x2 "x2
4
Znikanie wariancji energii jest faktem oczywistym, gdy zauważy się, że stosując równanie Schr�dingera zakładamy, że mamy do czynienia
z dokładnymi pomiarami energii (por. Haken). Dokładnymi, czyli o wariancji równej zero. (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna. 15

"2�" "�"
d d2
Rachunek pomocniczy: dx(x�) = - dx (x�) = dx[ (x�)]�".
"x2 dx "x dx2
Zatem:

" px px
Ć
d3r � = d3r�" � = .
mi "x m m
Uzyskaliśmy równanie:
d px
x = . (34)
dt m
Analogicznie liczy się:
d "V
px = - . (35)
dt "x
Zestaw równań (34) i (35) nazywa się równaniami Ehrenfesta.
Niech x = x0. W przypadku, gdy paczka falowa jest bardzo wąska w porównaniu z potencjałem, mamy:

"V "V "V "V
- = d3r�"�(- ) H" (- ) d3r�"� = - .
"x "x "x0 "x0
Nie jest tak jednak wówczas, gdy paczka falowa jest rozmyta.
3.4 Studnia potencjału
2 d2
Rozważmy hamiltonian H = - + V (x), oraz wez
my cząstkę związaną w studni potencjału o pewnej
2m dx2
energii E. Klasycznie mamy:
p2
E = + V (x), (36)
2m
czyli:

p(x) = ą (E - V (x))2m. (37)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna. 16
V(X)
OBSZAR KLASYCZNIE OBSZAR KLASYCZNIE
OSCYLACJE
ZABRONIONY ZABRONIONY
E <------------->
V(X)
p
p
w tym oszarze pedy,
brane sa ze znakiem
Vmin
"+" i "-"
OBSZAR KLASYCZNIE
DOSTEPNY
Natomiast kwantowo:
2 d2�E
- + V (x)�E(x) = E�E(x). (38)
2m dx2
Spróbujmy rozwiązać uproszczone równanie (V = const):
2 d2�E
- + V �E(x) = E�E(x). (39)
2m dx2
Podstawiając �E = ex mamy:
2m
2 = (V - E). (40)
2
Przypadki:

1
" V > E �!  = ą 2m(V - E)

jest to rozwiązanie klasycznie zabronione!

i i
" V < E �!  = ą 2m(E - V ) = ą p

jest to rozwiązanie oscylacyjne.
V>E - obszar klasycznie
V < E - obszar oscylacji
zabroniony
Okazuje się, że � (dla różnych energii E) ucieka do +" lub do -". Rozwiązania fizyczne istnieją tylko dla
wybranych energii. Zatem energia jest skwantowana.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 17
Trzy głowne fakty różniące mechanikę kwantową od klasycznej:
" to funkcja falowa, a nie cząstka, ma własności falowe,
" energia może przyjmować jedynie skwantowane wartości,
" cząstkę kwantową można znalez
ć w obszarze klasycznie niedostępnym.
4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta.
4.1 Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej
1. Mechanika kwantowa jest mechaniką operatorów:
Ć
Ś(r, p) Ś(r, -i "). (41)
2. Operatory działają na zespoloną funkcję falową:
�(r, t). (42)
3. Gęstość prawdopodobieństwa wyraża się następująco:
(r, t) = |�|2 = �"�. (43)
4. Wartość średnią wielkości fizycznej liczy się ze wzoru:

Ć Ć
Ś = d3r�"Ś�. (44)
5. Hamiltonian dla pojedynczej cząstki w potencjale niezależnym od czasu:
2
$
= - "2 + V (r). (45)
2m
6. Równaniem opisującym ewolucję czasowo-przestrzenną funkcji falowej w przypadku nierelatywistycznym
jest równanie Schr�dingera:
"� 2
i = (- "2 + V )�. (46)
"t 2m
7. Dla potencjału niezależnego od czasu wiele problemów ulega uproszczeniu. Wówczas możliwy jest zapis
funkcji falowej w postaci:
iEt

�(r, t) = e- �E(r). (47)
8. Otrzymujemy wówczas równanie Schr�dingera niezależne od czasu:
$
�E = E�E, (48)
gdzie E jest wartością własną operatora energi, czyli hamiltonianu.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 18
Anatomia funkcji falowej
V(x)
Stany zwiazane:
symetryczne
antysymetryczny
x
4.2 Kwantowe rozwiązania problemów klasycznych
Istnieją tylko dwa klasyczne przykłady, które można skwantować otrzymując pełne rozwiązanie w sposób jawny.
Jest to oscylator harmoniczny i potencjał kulombowski (atom wodoru).
4.2.1 Oscylator harmoniczny
Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego (jednowymiarowego):
p2 kx2
H = + . (49)
2m 2
Szukane rozwiązanie ma postać: x(t) = ei�t. Zatem: � = i�ei�t, ć = -�2x. Częstość drgań nie zależy od
amplitudy i w klasycznym podejściu wynosi:

k
�kl = . (50)
m
4.2.2 Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny
Hamiltonian dla oscylatora kwantowego:
2 d2 k
$
= - + x2. (51)
2m dx2 2
Z działania hamiltonianu na funkcję ($
�E = En�E) otrzymujemy następujące równanie:
2 k
- � (x) + x2�(x) = E�(x). (52)
2m 2
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 19
Chcemy znalez
ć rozwiązanie wskazujące na stan o najniższej energii. Postulujemy rozwiązanie postaci: � =
ąx2 ąx2 ąx2
e- 2
. Stąd: � = e- 2
(-ąx), � = e- 2 - ą). Po wstawieniu �, � i � do równania (52) otrzymu-
(ą2x2
jemy równanie:
2 k
- (ą2x2 - ą) + x2 = E. (53)
2m 2
Z tego równania otrzymujemy wyrażenie na najniższą energię:
2ą
E = , (54)
2m
gdzie czynnik ą wyraża się następująco:
"
2ą2 k km
= �! 2ą2 = km �! ą = .
2m 2
Szukając związku między oscylatorem kwantowym i klasycznym wykonujemy następujące przekształcenia:

" "
2 km km km
E = = = = �kl.
2m 2m 2 m2 2
Czyli energia oscylatora kwantowego wyrażona za pomocą częstości drgań oscylatora klasycznego wynosi:

E = �kl. (55)
2
Cała klasa rozwiązań równania (52) wyrażona jest następująco:
ą
2
�n(x) = Wn(x)e- x2 (56)
Wówczas dla:
ą
x2
n=0: �0(x) = N0e- 2 - mamy stan podstawowy,
ą
x2
n=1: �1(x) = N1xe- 2 - mamy pierwszy stan wzbudzony.
Klasyczne prawdopodobieństwo P (x) znalezienia cząstki w punkcie x jest proporcjonalne do odwrotności jej
prędkości:
1 m m
P (x) <" = = .
v(x) p(x)
2m(E - V (x))
Kwantowomechaniczne prawdopodobieństwo, jak widać na poniższym rysunku, uśrednia się do klasycznego
rozkładu prawdopodobieństwa.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 20
V(x)
- funkcja falowa
.
wyzszego stanu
(nieznormalizowana)
Obszar x
klasyczny Obszar
klasyczny
4.2.3 Układ dwóch cząstek
Dla układu dwóch cząstek dana jest funkcja falowa �(r1, r2, t). Zastanawiamy się nad tym, jakie jest praw-
dopodobieństwo znalezienia pierwszej cząstki w r1, a drugiej cząstki w r2. Funkcję falową zapisujemy jako
iloczyn dwóch funkcji, z których każda związana jest z pojedynczą cząstką:
�(r1, r2, t) = �1(r1, t)�2(r2, t).
Odpowiada to separacji gęstości prawdopodobieństwa:
(r1, r2) = 1(r1) 2(r2).
Hamiltonian dla układu dwóch cząstek:
Ć Ć
$
= H1(r1, -i "1) + H2(r2, -i "2). (57)
Można teraz równanie (48) zapisać tak, by było spełnione dla układu dwóch cząstek:
Ć Ć
(H1 + H2)�1(r1)�2(r2) = E�1(r1)�2(r2), (58)
Ć Ć
(H1�1)�2 + �1(H2�2) = E�1(r1)�2(r2).
Ć Ć
(H1�1) (H2�2)
+ = E.
�1 �2
Z powyższej równości wynikają zależności na energię każdej z cząstek:
Ć
(H2�2)
E1 = E - , (59)
�2
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 21
Ć
(H1�1)
E2 = E - . (60)
�1
4.2.4 Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny
Hamiltonian dla układu trójwymiarowego:


2 kr2 2 "2 "2 "2 k
$
= - "2 + = - + + + x2 + y2 + z2 . (61)
2m 2 2m "x2 "y2 "z2 2
Funkcja własna dla układu trójwymiarowego wygląda następująco:
�E(x, y, z) = �E (x)�E (y)�E (z). (62)
1 2 3
Energia układu wynosi zatem:
E = E1 + E2 + E3, (63)
wobec czego drgania w każdym kierunku są od siebie niezależne.
4.3 Przestrzeń Hilberta
Abstrakcyjną geometryczną ilustracją funkcji falowej �ą może być wektor stanu wą w nieskończenie wymi-
arowej przesterzeni Hilberta. Przestrzeń Hilberta stanowi matematyczną bazę mechaniki kwantowej. Jest ona
nieskończoną przestrzenią wektorową, o elementach będących funkcjami. Wielkości fizyczne są reprezentowane
jako operatory działające w tej przestrzeni, a stany fizyczne jako wektory (funkcje) stanu.
Dla przykładu wez
my jakąś dowolną funkcję �(x). Graficznie można ją przedstawić w następujący sposób:
Widać, że na drugim rysunku funkcja �(x) jest kombinacją liniową odpowiednich wektorów własnych, czyli
elementów bazy (w tym przypadku: ciągłej bazy położeń) pomnożonych przez odpowiednie współczynniki.
4.3.1 Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta
Wez
my wektor o skladowych rzeczywistych u i wektor transponowany uT :
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 22

x1
u = , uT = (x1, x2).
x2
Norma wektora wynosi: ||u||2 = uT u = x2 + x2. Wykonując to samo dla wektora w o składowych zespolonych
1 2
otrzymujemy:

z1
w = , wT = (z1, z2),
z2

z1 " "
" "
(wT )"w = (z1, z2) = z1z1 + z2z2 = ||z1||2 + ||z2||2.
z2
Oznaczenie: w := (wT)" definiuje sprzężenie hermitowskie.
Można dowieść, iż ogólna postać macierzy hermitowskiej M jest następująca:

a c + id
M = . (64)
c - id b
Wynik działania macierzy M na wektor u:
Mu = u. (65)
Dane są następujące macierze M i M :

a + ib c + id a c + id
M = , M = .
f + ig r + is c - id b
Szukamy rozwiązania zagadnienia własnego:

a c + id z1 0
= . (66)
c - id b z2 0
Chcemy, żeby szukane rozwiązania były niezerowe, więc:
det(M - ) = 0 :

a -  c + id z1 0
= (67)
c - id b -  z2 0
det(M - ) = 0 �! (a - )(b - ) - (c2 + d2) = 0 (68)
2 - (a + b) - c2 - d2 = 0.
Ponieważ chcemy, by rozwiązania na  były rzeczywiste, to wyróżnik musi być większy od zera:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 5: Twierdzenie spektralne. 23
= (a + b)2 + 4ab + 4c2 + 4a2 = (a - b)2 + 4(c2 + d2) 0 (69)
4.3.2 Baza w przestrzeni Hilberta
W przestrzeni Hilberta istnieje zbior funkcji cn(x) spełniających następującą zależność:

1 m = n
dx c" (x)cm(x) = (70)
n
0 n = m

Funkcje cn(x) są bazą przestrzeni Hilberta:
"

�(x) = en(x)cn. (71)
n=0



||�||2 = dx �"(x)�(x) = dx ( e" (x)c" )( e" (x)c" ) =
n n m m
n m

" " " "

= c" cm dxe" (x)e" (x) = c" cn = |cn|2.
n n m n
n=0 m=0 n=0 n=0

m=n
" N
Zatem funkcję �(x) = en(x)cn en(x)cn stanowią szeregi ortogonalne.
n=0 n=0
5 Twierdzenie spektralne
Równanie własne pokazuje jak funkcja falowa koduje informację:
Ć
Ś� = �. (72)
Jedyne możliwe wyniki pomiaru to wartości . Operatory hermitowskie spełniają (72) tak, że  " R. Spektrum to
zbiór wszystkich .
Przypadki:
1. Spektrum dyskretne: 1, 2, . . . (np. dla cząstki w studni potencjału). Wówczas � jest normalizowalna:

d3r�" � = �nm.
n m
2. Spektrum ciągłe: stanowi ono pewien kłopot. Funkcje własne istnieją, ale nie należą do przestrzeni Hilberta,
nie są normalizowalne. Są normowalne dopiero do delty Diraca5 (będącej nie funkcją, lecz dystrybucją):

d3r�(r)�(r ) = �(r - r ).

+"
5
Uwaga: Delta Diraca posiada następujące podstawowe własności: dxf(x)�(x - x0) =: f(x0), dxeikx = 2Ą�(k) = {0 : k =

-"
0, " : k = 0}.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 5: Twierdzenie spektralne. 24
3. Spektrum mieszane - np. dla dodatnich energii w studni potencjału występuje spektrum ciągłe (fale płaskie,
zaburzone nieco przez istnienie studni), zaś dla energii ujemnych mamy dyskretną kwantyzację poziomów
energetycznych.
5.0.3 Operator pędu
"
px := -i ,
Ć
"x
px�(x) = �(x),
Ć
Rozwiązanie:
ip0x

�p = e ,  = p0,
0
ip0
-i ( )�p = �p = p0�p .
0 0 0

Fala płaska jest idealizacją - mówimy o niej jako o dobrej funkcji falowej, mimo że nią nie jest. �p nie jest
0
funkcją z przestrzeni Hilberta, a jednak:

|�p |2 = 1.
0
5.0.4 Operator położenia
x := x,
Ć
x�(x) = �(x).
Rozwiązanie:
x�(x - x0) = x0�(x - x0),

dx�x (x)�x (x) = dx�(x - x0)�(x - x1) = �(x1 - x0).
0 1
Funkcje własne są ortogonalne, tworzą bazę w przestrzeni Hilberta:

f(x) = cn� (x).
n
n
5.1 Równoczesność pomiaru
Ć Ć
" Rozważmy operatory Ś1, Ś2, oraz funkcję charakteryzującą układ: � 2. Mamy:
1

Ć
Ś1� 2 = 1� 2
1 1
Ć
Ś2� 2 = 2� 2
1 1

Ć Ć Ć
Ś1Ś2� 2 = Ś12� 2 = 12� 2
1 1 1
Ć Ć
Ś2Ś1� 2 = . . . = 12� 2
1 1
Ć Ć Ć Ć
Zatem: (Ś1Ś2 - Ś2Ś1)� 2 = 0.
1
" Jeśli operatory nie są przemienne, to nie można zbudować funkcji falowej, która koduje dokładną informację
o obydwu wartościach wielkości fizycznych, które te operatory reprezentują.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 5: Twierdzenie spektralne. 25
" Operatory są przemienne =: komutują:
[A, B] = AB - BA
[x, px] = xpx - pxx =?
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
"� " "� "�
[x, px]� = x(-i ) - (-i )(x�) = -i x + i (� + x ) = i �
Ć Ć
"x "x "x "x
[x, px] = i
Ć Ć
"  Cała mechanika kwantowa została stworzona po to, by mieć relację komutacji.
" Fakt: [ą + �A, B] = [ą, B] + �[A, B] = �[A, B].
" Fakt: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, oraz analogicznie: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C.
" Przykład: czy da się zmierzyć jednocześnie położenie i energię kinetyczną cząstki?
2
pĆ 1 1 1
x
[x, ] = [x, pĆ px] = (pĆ [x, px] + [x, px]px) = (pĆ (i ) + (i )px),
Ć Ć Ć Ć Ć
x x x
2m 2m 2m 2m
2
pĆ i
x
[x, ] = pĆ = 0,

x
2m m
zatem nie da się dokonać jednoczesnego pomiaru tych wielkości.
5.2 Uogólniona zasada Heisenberga
Niech:
�
[A, B] = iC, � := A - A , B := B - B .
Wówczas:
2
� � �
A = B = 0, �A = (A - A )2 = A2 ,
analogicznie:
2
�
�B = B2 .
Stąd:
�
[�, B] = iC.
Fakt: Dla każdego operatora hermitowskiego zachodzi:

Ć Ć
d3r�"(Ś�) = d3r(Ś�")�. (73)
�
Korzystając z (73) i z powyższych definicji � oraz B, mamy:

� � �
d3r�"(z� - iB)(zA + iB)� e" 0
� � � � � � � � � � �
(ponieważ: z2A2 + B2 + z(AiB - iB�) = z2A2 + iz[A, B] + B2 = z2A2 - zC + B2),

� �
z2 d3r�"A2� - z d3r�"C� + d3r�"B2� e" 0.
Otrzymujemy równanie kwadratowe i obliczamy jego wyróżnik :
�
z2 �2 - z C + B2 e" 0,
= C 2 - 4 A2 B2 d" 0,
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny. 26
C 2
A2 B2 e" . (74)
4
Powyższe równanie jest właśnie uogólnioną zasadą Heisenberga.
2 2 2
Przykład: A = x, B = px, C = =�! �x�p e" . Dolną granicę tej nierówności daje się osiągnąć dla paczki
Ć
x 4
gaussowskiej.
6 Oscylator harmoniczny
6.1 Jak wytwarzać funkcje falowe?
Załóżmy, iż dany jest hamiltonian dla którego rozwiązania przyjmują wartości: E2, . . . , E" i tworzą spektrum
E1,
"
dyskretne. Wtedy wiemy, że dowolną funkcję można zapisać jako: �(x) = an�E (x). Wówczas:
n=0 n
"

dla t = 0 : �(x, t = 0) = �0(x) = an�E (x),
n
n=0
natomiast ogólna postać funkcji falowej zależnej od czasu wygląda następująco:
"

-iEnt
�(x, t) = an exp( )�E (x). (75)
n

n=0
Żeby znalez
ć współczynnik an należy wykonać następujące całkowanie:

" "

" " "
�E �(x) = dx�E (x) an�E (x) = an dx �E (x)�E (x) = am.
n n
m m m

n=0 n=0
=0: n =m
6.2 Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiązanie zagadnienia
Większość układów dynamicznych można rozpatrywać jako układy wykonujące małe drgania - oscylatory har-
moniczne. Hamiltonian dla klasycznego oscylatora harmonicznego wyraża się wzorem:
p2 k
H = + x2. (76)
2m 2
Pomocne obliczenia:
p W k
� = ; W = -kx; ć = = - x; x = ei�t; ć = -�2ei�t.
m m m
Częstość drgań układu klasycznego:

k
�cl = . (77)
m
Hamiltonian dla kwantowego oscylatora harmonicznego:
2 d2 k
$
= - + x2. (78)
2m dx2 2
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny. 27
Rozważamy równanie własne:
$
�E(x) = E�E(x),
2 d2�E(x) k
- + x2�E(x) = E�E(x). (79)
2m dx2 2
Żeby uprościć równanie (79) wprowadzamy nowe zmienne:
x = aX .
Stąd:
d 1 d
= ,
dx a dX
czyli:
2 d2 ka2
2
$
= - + X .
2
2ma2 dX 2
Chcemy żeby podkreślone człony były sobie równe:
2 ka2 2
"
= �! a4 = �! a2 = ,
2ma2 2 km
mk

ka2 k
"
= = = �cl.
2 2 m 2
2 mk
Zatem, ostatecznie:
1 d2
2
$
= �cl (- + X ). (80)
2
2 dX
Żeby rozwiązać równanie (80) trzeba je najpierw uprościć. Najlepiej jest doprowadzić je do postaci iloczynu:
(a2 + b2) = (a - ib)(a + ib). Pierwszym krokiem będzie zdefiniowanie następujących operatorów:
d
P := -i (jest to operator hermitowski),
dx
1
"
A := (X + iP) (zaś operator A nie jest operatorem hermitowskim),
2
1
"
A := (X - iP) (co nie przeszkadza sprząc go hermitowsko).
2
1 1
2
A A = (X - iP)(X + iP) = (X + iX P - iPX +P2),

2 2
i[X ,P]=i(i)=-1
1 1
2
A A = (X + P2) - . (81)
2 2
Po wstawieniu tego zestawu zmiennych do hamiltonianu, jego postać jest następująca:
1
$
= �cl(A A + ). (82)
2
Istotne obliczenia komutatorów:
1.
1 1 1
" "
[A, A ] = [ (X + iP), (X - iP)] = ([X , X ] + [X , -iP] + [iP, X ] + [iP, iP]) =
2
2 2
=0 -i[X ,P] i[P,X ]
=0
i i
= (- [X , P] + [P, X ]) = (-i - i) = 1.
2 2
=i =-i
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny. 28
2.
1
[A, $
] = �cl[ A, A A + ] = A �cl.

2
A [A,A]+[A, A ] A

1
3.
[A , H] = - �clA .
Pomiary w mechanice kwantowej opierają się głównie na wyliczeniach wartości średnich i określeniu odstępstw
od tych wartości dla poszczególnych pomiarów. Wartość średnia operatora energii (hamiltonianu) jest zawsze
dodatnia, co można sparawdzić na podstawie obliczeń:

k k
Epot = x2 = dx|�(x)|2 e" 0.
2 2

2 d2�(x) 2 2
Ekin = - = - dx�"(x)� (x) = dx(� (x))"(� (x)) =
2m dx2 2m 2m

2
= dx|� |2 e" 0.
2m
Epot + Ekin = H e" 0. (83)
6.3 Rozwiązanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów
(bez konieczności całkowania)
Wybieramy funkcję własną i działamy na nią operatorem: �1 = A �
$
�1 = E1�1
$
A � = EA �
A H - HA = -A �cl
HA = A H + A �cl
A H� + �clA � = E1A �
(E + �cl)A � = (E + �cl)�1
Operator A nazywa się operatorem kreacji,6 ponieważ w działaniu na funkcję tworzy stan o energii wyższej.
Wstawiając do równania własnego funkcję �2 = A� otrzymamy:
$
�2 = $
A� = (AH - A �cl)� = A H� -A �cl� = (E - �cl)A� = (E - �cl)�2.

E�
Prawdopodobnie istnieje stan �0 o najniższej energii, wtedy:
A�0 = 0. (84)
6
W terminologii wprowadzonej przez Grzesia Pełkę operator ten nazywa się operatorem kremacji. (przyp. R.K.) Chodziłam z Grześkiem
do klasy w podstawówce (przyp. E.S.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny. 29
6.4 Tworzenie funkcji falowej
1 1 d
" "
Bierzemy operator A = (X + iP) = (X + ) i wstawiamy do równania (84):
dX
2 2
1 d
" (X + )�0 = 0,
dX
2
d�0
X �0 + = 0.
dX
Rozwiązujemy równanie różniczkowe:
d�0
= -xdx,
�0

d�0
= - xdx,
�0
x2
�0 = Ne- 2
Z działania hamiltonianu na funkcję �0 otrzymamy wyrażenie na energię stanu podstawowego:
1 �cl
H�0 = �cl(A A + )�0 = �0 + �clA A�0,
2 2
�cl
E0 = . (85)
2
Spektrum energii oscylatora harmonicznego - spektrum stanów równoodległych - przedstawia poniższy rysunek:
Spektrum energii
oscylatora harmonicznego

En = �cl(n + 1/2)
�cl
2

�cl
Widać, że stan podstawowy jest zaznaczony na poziomie E0 = , a kolejne stany różnią się od siebie o czynnik
2
�cl, czyli n-ty poziom energetyczny określony jest wzorem:
1
En = �cl(n + ), gdzie n = 0, 1, 2, . . . (86)
2
6.5 Notacja  bra i  ket
Dla znacznego uproszczenia zapisu można wprowadzić notację  bra i  ket . Funkcję stanu �ą można zapisać w
następującej konwencji:
|ą ket - funkcja stanu (wektor stanu),
ą| bra - stan hermitowsko sprzężony (wektor z przestrzeni dualnej).
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny. 30
Funkcję stanu podstawowego oscylatora harmonicznego zapisuje się następujająco: �0 = |0 , natomiast funkcja
stanu �n = |n . Zachodzi fakt:
|n = Cn(A )n|0 . (87)
Teraz należy obliczyć n|n :
0|(A)n(A )n|0 = 0| A . . A A . . A |0 = n 0| A . . A A . . A |0 = n n - 1|n - 1 =
. . . .
n n n-1 n-1
operacje wykonujemy aż do uzyskania 0|0 = 1, wtedy:
= n!
Postać funkcji falowej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze:
1
|n = " (A )n|0 . (88)
n!
6.6 Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej
Zapisujemy trójwymiarowy hamiltonian:
1 1 1
$
= �cl (A A1 + ) + �cl (A A2 + ) + �cl (A A3 + ).
1 1 2 2 3 3
2 2 2
Za pomocą trzech liczb kwantowych opisać można dowolny stan trójwymiarowego oscylatora harmonicznego:
1 2 3
|n1n2n3 = C(A )n (A )n (A )n |000 , (89)
1 2 3
1 1 1
E = �cl (n1 + ) + �cl (n2 + ) + �cl (n3 + ). (90)
1 2 3
2 2 2
Przedstawione na poniższym rysunku spektrum energii pokazuje, że nie jest to już prosty rozkład, a poszczególne
poziomy energetyczne różnią się od siebie i od stanu podstawowego o czynnik �cl . Pewnego uproszczenia
1,2,3
można się dopiero spodziewać, gdy rozpatrywany układ będzie oscylatorem symetrycznym.
Spektrum energii trójwymiarowego
oscylatora harmonicznego


�3
2

�2
2

�1
2
(�1 + �2 + �3)
2

6.6.1 Degeneracja stanów
Rozpisanie trzech pierwszych stanów energetycznych w przestrzeni trójwymiarowej:
1. stan podstawowy:
|0 0 0 .
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 7: Atom wodoru. 31
2. I stan wzbudzony:
|1 0 0 |0 1 0 |0 0 1 .
Cała podprzestrzeń stanów zdegenerowanych opisanych w tej bazie:
ą|1 0 0 + �|0 1 0 + ł|0 0 1 .
Jest to stan trzykrotnie zdegenerowany.
3. II stan wzbudzony:
|2 0 0 |0 2 0 |0 0 2
|1 1 0 |1 0 1 |0 1 1 .
Jest to stan sześciokrotnie zdegenerowany.
7 Atom wodoru
Koronnym argumentem za poprawnością mechaniki kwantowej jest istnienie7 atomu wodoru. Rozważmy kwan-
towo oddziaływanie dwóch cząstek o różnych masach w polu wzajemnego potecjału:
p2 p2
1 2
H = + + V (r1 - r2), (91)
2m1 2m2
zatem kwantowo mamy:
2 2
$
= - "2 - "2 + V (r1 - r2). (92)
2m1 1 2m2 2
"�
Rozwiązanie równania Schr�dingera (i = $
�(r1, r2; t)):
"t
-iEpott

�(r1, r2; t) = e �E (r1, r2). (93)
pot
Potencjał kulombowski dwóch oddziałujących elektrostatycznie cząstek:
1 e2 ą
V (r1 - r2) = =: - . (94)
4Ą 0 |r1 - r2| |r1 - r2|
Podstawiając to do równania (92) mamy:
2 "2 "2 "2 2 "2 "2 "2 ą
$
= - ( + + )- ( + + )- . (95)
2 2 2 2
2m1 "x2 "y1 "z1 2m2 "x2 "y2 "z2 (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2
1 2
Teraz wprowadzimy nowe zmienne, tak, aby umożliwić dokonanie separacji zmiennych:
r := r1 - r2,
m1r1 + m2r2
R := ar1 + br2 = .
m1 + m2
ą ą
Zatem w nowych zmiennych: Vc = - = - .
|r| r

ir1p1 ir2p2 irp
iRP
Chcemy mieć równość: exp + = exp + , czyli:

RP + rp = r1p1 + r2p2,
stąd:
m1r1 + m2r2 m1P m2P
P( ) + p(r1 - r2) = r1( + p) + r2( - p)
m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2
m1P m2P
p1 = + p, p2 = - p,
m1 + m2 m1 + m2
7
i funkcjonowanie (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 7: Atom wodoru. 32
m1 + m2
p1 + p2 = P = P,
m1 + m2
Czyli:
P = p1 + p2,
oraz:
m2P m1(p1 + p2) m1 + m2 m2p1 - m1p2
p = - p2 = - p2 = .
m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2
Niech M := m1 + m2, wtedy:
2
p2 p2 1 m1P 1 m2P P p2
1 2
+ = ( + p)2 + ( - p)2 = + ,

2m1 2m2 2m1 M 2m2 M 2M 2�
1 1 1
gdzie masa zredukowana: := + . Ostatecznie, nowy hamiltonian wyraża się wzorem:
� m1 m2
2 "2 "2 "2 2 "2 "2 "2 ą
$
= - ( + + ) - ( + + ) - . (96)
2M "X2 2 "Z2 2� "x2 "y2 "z2 |r|
"Y

ruch środka masy
ruch względny
2
PR P
Zatem: �E = exp{i }�E(r), Epot = E + .
pot
2M
7.1 Zapis w układzie sferycznym
Przechodząc do sferycznego układu współrzędnych8 i do układu odniesienia środka masy, mamy:
2 1 " " 1 1 " " 1 "2 ą
H = - [ (r2 ) + (sin � ) - ( )] - . (97)
2� r2 "r "r r2 sin � "� "� "�2 r
r2 sin2 �
Postulujemy separację zmiennych: �E(r, �, �) = f(r)Y (�, �). Zatem:
2 1 " "f 1 1 " " 1 "2
- [ (r2 )Y (�, �) + f(r)( (sin � ) - ( )]Y (�, �)+
2� r2 "r "r r2 sin � "� "� "�2
r2 sin2 �

ą
+ - f(r)Y (�, �) = Ef(r)Y (�, �), (98)
r
1 " " 1 "2
(r2 )
2 d df 2 [ sin � "� (sin � "� ) + sin2 � ( "�2 )]Y (�, �)
dr dr
- - - ąr = r2E,
2� f 2� Y
2
[. . .]Y
r2
2 d df 2
2�
dr dr
- - ąr - r2E = =: - . (99)
2� f Y 2�
Z separacji otrzymujemy dwa równania:
1.
2 1 d df ą  2
- (r2 ) - f + f = Ef, (100)
2� r2 dr dr r 2�r2
2.
1 " " 1 "2Y
(sin � )Y + + Y = 0. (101)
sin � "� "� "�2
sin2 �
ńł
�ł x = r sin � sin �
8
y = r sin � cos � , gdzie: r " [0, "], � " [0, Ą], � " [0, 2Ą].
ół
z = r cos �
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 8: Wielomiany Legendre a, harmoniki i moment pędu. 33
Z rownania (101) mamy:
"2Y
" "
-
sin � (sin � )Y
"�2
"� "�
+  sin2 � = ,
Y Y
postulując Y = A(�)B(�):
dB(�) d2A
d
-
sin � (sin � )
d�2
d� d�
+  sin2 � = =: m2. (102)
B(�) A
d2A
Separacja tego równania ze względu na � daje: = -m2A �! eim� = A, a ponieważ A(� = 0) = A(� =
d�2
2Ą), to m musi być całkowite. Ostatecznie mamy:
eim�
"
Y (�, �) = B(�). (103)
2m
Natomiast równanie (102) rozseparowane ze względu na � daje:
1 d dB m2
(sin � ) + ( - )B = 0.
sin � d� d�
sin2 �
d dw d d
Podstawiając w := cos �, = ( ) = - sin � :
d� d� dw dw
1 d dB m2
[(- sin �) (sin �(- sin �) )] + ( - )B = 0,
sin � dw dw
sin2 �
d dB m2
((1 - w)2 ) + ( - )B = 0. (104)
dw dw 1 - w2
Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego są stowarzyszone wielomiany Legendre a (harmoniki kuliste):
Ylm(�, �) Plm(cos �)eim�, (105)
przy czym: l = 0, 1, 2, 3, . . ., zaś m = -l, -l + 1, . . . , l. Natomiast:
|m|
d|m|
2
Plm(w) = (1 - w2) Pl(w), (106)
dw|m|
gdzie Pl(w) to już normalne wielomiany Legendre a.
8 Wielomiany Legendre a, harmoniki sferyczne i moment pędu
8.1 Krótkie powtórzenie, tytułem wstępu
1. W mechanice kwantowej obserwable ( wielkości fizyczne9) wyrażamy za pomocą pędów i położeń, a
następnie przekształcamy je w operatory:
Ć
Ś(r, p) - Ś(r, -i "). (107)
Ć
2. Jedyne możliwe do uzyskania wartości () pomiarów wielkości fizycznych opisywanych operatorem Ś
otrzymuje się z rozwiązania równania własnego:
Ć
Ś� = �. (108)
3. Funkcja falowa dostarcza informacji o stanie układu. Gdy podziałamy na nią hamiltonianem, będziemy
"�
wiedzieli jak funkcja zachowuje się w dowolnej chwili. Hamiltonian przesuwa funkcję w czasie: i =
"t
iEt
$
�. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja �(r, t) = e-
�E(r), gdzie �E(r) otrzymuje się z rów-
nania własnego.
9
te, które daje się zmierzyć :)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 8: Wielomiany Legendre a, harmoniki i moment pędu. 34
4. W przypadku gdy rozważamy problem w potencjale sferycznie symetrycznym, hamiltonian przyjmuje
postać:
2 1 " " 1 " " 1 "2
$
= - [ (r2 ) + (sinŚ ) + ]. (109)
2� r2 "r "r r2sinŚ "Ś "Ś r2sin2Ś "�2
Z rozwiązania równania własnego otrzymujemy funkcję postaci:
�E(r) = f(r)Ylm(Ś, �),
gdzie:
Ylm(Ś, �) = NlmPlm(cosŚ)eim�. (110)
8.2 Wielomiany Legendre a
Na wykładzie (7) wyprowadzono następujące równanie różniczkowe:
d dP m2
((1 - w)2 ) + ( - )P = 0. (111)
dw dw 1 - w2
Fizyczne rozwiązania równania (111) dostajemy dla niezerowego m, gdy  = l(l + 1), |m| l. Otrzymane
rozwiązania zwane są stowarzyszonymi funkcjami Legendre a i wyrażają się przez wielomiany Legendre a Pl(w):
|m|
d|m|
2
Plm(w) = (1 - w2) Pl(w). (112)
dw|m|
Można określić funkcję tworzącą:
"

1
T (w, s) = " = Pl(w)sl. (113)
1 - sw - s2
l=0
Zbadamy teraz własności wielomianów Legendre a przy użyciu funkcji tworzącej (113):
+"

dT d
|s=0 = Pl(w) sl|s=0 = P1(w), (114)
ds ds
l=0
+"

dnT dn
|s=0 = Pl ( sl) |s=0 = n!Pn(w). (115)
n
dsn
ds

l=n
=n!sl-n
Wielomiany te są do siebie ortogonalne, na odcinku [-1, 1] stanowią one bazę w przestrzeni funkcyjnej, czyli
każdą funkcję opisaną na sferze da się przedstawić w postaci nieskończonego szeregu wielomianów f(w) =
+"
clPl(w):
l=0


1 (l+|m|)!
2
[ ][ ] dla l = l
2l+1 (l-|m|)!

dwPl(w)Pl (w) = (116)
0 dla l = l

-1
8.3 Harmoniki sferyczne i ich własności
Dowód ortogonalności harmonik sferycznych: gdy powyższą całkę zastąpimy całką po kątach, to otrzymamy:

1 2Ą
"
d cos Ś d�Ylm(Ś, �)Y� (Ś, �) = �l��mm. (117)
�
lm l
�
-1 0
Część kątowa Ylm(Ś, �) pełnej funkcji falowej, będąca rozwiązaniem równania kątowego dla  = l(l + 1):
1 " "Y 1 "2Y
(sinŚ ) + + Y = 0, (118)
sinŚ "Ś "Ś sin2Ś "2�
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 8: Wielomiany Legendre a, harmoniki i moment pędu. 35
nazywa się harmoniką sferyczną. Harmoniki sferyczne tworzy się według następującego wzoru:
(2l + 1)(l - |m|)! 1
2
Ylm(Ś, �) = �[ ] Plm(cos Ś)eim�, (119)
4Ą(l + |m|)!

(-1)m dla m > 0
gdzie � = .
1 dla m 0
Przykłady podstawowych funkcyj10 kulistych:
"1
" Y00 = ,
4Ą
1
3
2
" Y10 = ( ) cos Ś,
4Ą
1
3
2
" Y1ą1 = "( ) sin Śeąi�,
8Ą
1
5
2
" Y20 = ( ) (3 cos2 Ś - 1),
16Ą
1
15
2
" Y2ą1 = ( ) sin Ś cos Śeąi�,
8Ą
1
15
2
" Y2ą1 = ( ) sin2 Śeą2i�.
32Ą
8.4 Operator momentu pędu
Klasycznie wektor momentu pędu L jest zdefiniowany następująco:
�ł łł �ł �ł
ex ey ez ypz - zpy
�ł �ł �ł
L = r � p = x y z = ex(ypz - zpy) - ey(xpz - zpx) + ez(xpy - ypx) = -xpz + zpx łł .
px py pz xpy - ypx
Teraz, analogicznie, konstruujemy kwantowy operator momentu pędu:
�ł �ł
" "
z - y
"y "z
" "
Ć �ł łł
L = i x - z . (120)
"z "x
" "
y - x
"x "y
x, y, z można zmierzyć jednocześnie, bo te wielkości ze sobą komutują, natomiast nie komutuje ze sobą x i px, y
i py, z i pz �! [x, px] = [y, py] = [z, pz] = i .
Obliczenie niektórych komutatorów:
[Lx, Ly] = [ypz - zpy, zpx - xpz] = [ypz, zpĆ ] - [ypz, xpz] - [zpy, zpx] + [zpy, xpz]
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć
x

(1) (2) (3) (4)
(1) [ypz, zpĆ ] = (ypz)(zpx) - (zpx)(ypz) = -i (ypx)
Ć Ć Ć Ć Ć
x
(2) [ypz, xpz] = 0
Ć Ć
(3) [zpy, zpx] = 0
Ć Ć
(4) [zpy, xpz] = (zpy)(xpz) - (xpz)(zpy) = i (xpy)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć
[Lx, Ly] = -i (ypx) + i (xpy) = i Lz, (121)
Ć
[Lx, Lz] = -i Ly, (122)
[Ly, Lz] = i Lx. (123)
Ć
Kwadrat operatora momentu pędu: L2 = L2 + L2 + L2. Operator ten komutuje z każdym spośród operatorów:
x y z
Ć Ć Ć
Lx,Ly,Lz:11
Ć Ć Ć
[L2, Lx] = [L2, Ly] = [L2, Lz] = 0. (124)
10
ta dawna i wspaniała forma językowa, używana przez Sierpińskiego, Kaca, Ulama, Leję i innych wielkich bojowników matematyki, nie
może zostać przecież potępiona i skazana na wieczne zapomnienie, nieprawdaż? (przyp. R.K.)
11
Lx, Ly, Lz tworzą algebrę - ich komutatory nie wyprowadzają poza ich zbiór; operatory momentu pędu są generatorami grupy oboru.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 9: Atom wodoru - ciąg dalszy. 36
8.4.1 Wektor momentu pędu we współrzędnych sferycznych
Wyprowadzimy wzór na składową wzdłuż osi z, oraz na kwadrat momentu pędu we współrzędnych sferycznych.
ńł
x = r cos Ś sin �
�ł

y = r sin Ś sin � , r = x2 + y2 + z2,
ół
z = r cos Ś
" "r " "Ś " "� "
= ( ) + ( ) + ( ) ,
"x "x "r "x "Ś "x "�
" " " "
Lz = xpy - ypx = -i [x , -y ] = i [y , -x ].
"y "x "x "y
Z obliczenia poszczególnych różniczek otrzymujemy:
"r x "Ś zx "� - sin �
= , = " , = ,
"x r "x
r2 r2 - z2 "x r sin Ś
"r "Ś cos Ś sin � "� cos �
= sin Ś sin �, = , = .
"y "y r "y r sin Ś
" " cos Ś cos � " sin � "
y = r sin Ś sin �(sin Ś cos � + - ),
"x "r r "Ś r sin Ś "�
" " cosŚ sin � " cos � "
x = r sin Ś cos �(sinŚsin� + + ),
"y "r r "Ś rsinŚ "�
" " " " "
y - x = cos2� + sin2 � = .
"x "y "� "� "�
Zatem składowa z-owa wektora momentu pędu wyrażona we współrzędnych sferycznych przedstawia się następu-
jąco:
"
Ć
Lz = -i . (125)
"�
Tak prosta postać wynika z faktu, że oś z jest osią symetrii. Kwadrat momentu pędu we współrzędnych sfer-
ycznych:
1 " " 1 "2
Ć
L2 = - 2[ (sinŚ ) + ]. (126)
sinŚ "Ś "Ś sin2Ś "2�
Ć Ć
Wynik działania operatorów Lz, L2 na funkcję falową Ylm(Ś, �):
Ć
LzYlm(Ś, �) = mYlm(Ś, �), (127)
Ć
L2Ylm(Ś, �) = 2l(l + 1)Ylm(Ś, �). (128)
Ć
Hamiltonian wyrażony we współrzędnych sferycznych za pomocą operatora L2:
Ć
2 " " L2
$
= - (r2 ) + + V (r). (129)
2�r2 "r "r 2�r2
Gdy podziałamy hamiltonianem (129) na funkcję własną �E(r, Ś, �) = f(r)Ylm(Ś, �), to otrzymamy:

2 d df 2l(l + 1)
$
�E = - (r2 )Ylm(Ś, �) + + V (r) f(r)Ylm(Ś, �) =
2�r2 dr dr 2�r2
= Enlmf(r)Ylm(Ś, �).
Pojawił się dodatkowy (podkreślony) człon, który w fizyce klasycznej jest potencjałem siły odśrodkowej. Zgu-
biona zaś została zależność od m. Oznacza to, że występuje degeneracja stanu (ze względu na m), związana z
faktem symetrii obrotowej.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 9: Atom wodoru - ciąg dalszy. 37
9 Atom wodoru - ciąg dalszy
9.1 Radialne równanie Schr�dingera
Równanie Schr�dingera w postaci radialnej dla każdego potencjału sferycznie symetrycznego przedstawia się
następująco:
2 1 d 2l(l + 1)
- (r2� (r)) + � + V (r)� = E�. (130)
2� r2 dr 2�r2
Równanie (130) możemy zapisać tak, aby uzależnione było od liczby kwantowej l. W tym celu wybieramy sobie
u(r)
pewną funkcję � = (funkcja ta w r = 0 musi być skończona):
r
u u
� = - ,
r r2
r2� = u r - u,
(r2� ) = u r + u - u = u r,
1 d u
(R2� ) = .
r2 dr r
Otrzymujemy równanie (130) zależne od liczby kwantowej l:

2 2l(l + 1)
- u + V (r) + u = Eu. (131)
2� 2�r2
Rozwiązując radialne równanie Schr�dingera dla atomu wodoru chcemy je przepisać tak, by miało postać bezwymi-
d 1 d
arową. Postulujemy = ar ( = ) i przekształcamy poniższe równanie:
d a dr

2 1 d d� ą 2l(l + 1)
- (r2 ) + - + � = E�.
2� r2 dr dr r 2�r2
Musimy tak dobierać a, żeby wyraz z E przeszedł w stałą, dzięki czemu asymptotyczne zachowanie rozwiązania
będzie niezależne od wartości własnej.

2a2 1 d d� ąa a2 2l(l + 1)
- ( 2 ) + - + � = E� || : 4E,
2� 2 d d 2� 2

2a2 1 d d� ąa a2 2l(l + 1) �
- ( 2 ) + - + � = . (132)
8�E 2 d d 4E 8�E 2 4

=:1

1 d d�  l(l + 1) 1
( 2 ) + - - � = 0, (133)
2 d d 2 4
Funkcja falowa będąca rozwiązaniem tego równania przyjmuje postać � = exp(- )F ( ), przy czym F ( ) jest
2
wielomianem. Dodatkowo mamy związki na a2, :
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 9: Atom wodoru - ciąg dalszy. 38
8�|E|
a2 = ,
2

ąa ą �
 = = .
4|E| 2|E|
Energia stanu jest ukryta w . Wyznaczając wartość  znajdziemy też wartość energii dla danego stanu.

Jeżeli do równania (133) wstawimy funkcję � = e- 2
F ( ) to otrzymamy wówczas równanie:

2  - 1 l(l + 1)

F + ( - 1)F + - = 0. (134)
2
9.2 Poziomy energetyczne
Naszym celem jest znalezienie rozwiązań na F . Szukane rozwiązania przyjmują postać szeregu:
"

F = s an n a0 = 0,

n=0
F = sL( ).
Po podstawieniu do równania (134) otrzymujemy:
2L + [2(s + 1) - ]L + [ ( - s - 1) + s(s + 1) - l(l + 1)]L = 0. (135)
Funkcja F jest skończona w punkcie 0. Przyjmujemy, że = 0. Po wstawieniu do równania (135), otrzymujemy:
[s(s + 1) - l(l + 1)] a0 = 0.

L(0)
Jest to równanie kwadratowe na s, po wyliczeniu pierwiastków:
s " {l, -l(l + 1)}.
"
Jak już wcześniej wspomniano, funkcję F wyrażono za pomocą szeregu L = an n. Wstawiając postać L
n=0
do równania (135) otrzymuje się związek rekurencyjny pomiędzy kolejnymi współczynnikami szeregu:
ann(n - 1) + [2(s + 1) - ]ann n-1 + ( - s - 1)an = 0.
W równaniu należy przemianować zmienne ń = n - 1, ostatecznie otrzymując następujące równanie:
� -  + l + 1
a�+1 = a�. (136)
(� + 1)(� + 2l + 2)
Gdy wartości � dążą do ", szereg zbiega do 1/�. Zatem szereg reprezentujący L musi się w pewnym miejscu
urywać. Zachodzi to dla  równego liczbie kwantowej n oraz takiego, że:
 = � + l + 1 � = 0, 1, 2, 3, . . .
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej. 39
9.3 Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne
Powyższe rozważania prowadzą do wzoru na funkcję falową w atomie wodoru:
�(r, �, �) = e-�/2Ln( )Ylm(�, �). (137)
Kolejnym istotnym wzorem jest wyrażenie na energię poziomów energetycznych:
�ą2
|En| = - . (138)
2 2n2
Wzór na energię stanu podstawowego wyraża się następująco:
�ą2
E0 = - = 13.59eV.
2 2
Jak widać, energia stanów zależy tylko od głównej liczby kwantowej n, nie zależy zaś od l. Fakt ten wskazuje na
degenerację stanów w układzie.
10 Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej
10.1 Macierze
10.1.1 Przypomnienie

a11 a12
Przykładowa macierz 2x2 wygląda tak: A = . Element macierzy to aij. Na macierzach dozwolone
a21 a22
są (można zdefiniować) następujące operacje:
" dodawanie: C = A + B, czyli cij = aij + bij,

" mnożenie: C = A " B, czyli cij = aik " bkj.
k
W praktyce często stosuje się konwencję sumacyjną Einsteina, polegającą na tym, iż znak sumy się pomija, zaś
sumowanie przebiega zawsze po powtarzającym się wskaz
niku. W konwencji tej mamy po prostu cij = aik " bkj.
Czy dla macierzy "12 element neutralny? Tak: A =1A = A1, 1= �ij. Mnożenie macierzy jest łączne (A(BC) =
(AB)C) i nieprzemienne (ABC = ACB). Gdyby zatem " element odwrotny, to macierze stanowiłyby grupę.

Ale, niestety, " takie macierze, dla których det A = 0, zatem grupy nie ma!
10.1.2 Macierze hermitowskie
Macierze hermitowskie to takie macierze dla których (A")T = A. Wprowadza się oznaczenie A := (A")T .
Oczywiście zapis A = A równoważny jest zapisowi aij = a" . A
atwa do udowodnienia jest równość: (ABC) =
ji
C B A .
12
symbol  " znaczy tyle co słowo  istnieje , ale jakże przyjemniej się go używa! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej. 40
10.1.3 Funkcja od macierzy
Chcemy zdefiniować dowolną funkcję od macierzy. Np. sin(A).
" Dobry trop: rozwinięcie w szereg Taylora.
Skoro: f(x) = f0 + xf1 + x2f2 + . . ., to może:
f(A) = f0 + Af1 + A2f2 + . . .? Ale co wtedy, gdy funkcja jest nieanalityczna (nierozwijalna w szereg,
"
np. x|x=0)?
�ł �ł
1 0 � � � 0
�ł �ł
0 2 � � � 0
�ł �ł,
" Potrafimy znalez
ć funkcję dla macierzy diagonalnej: A = �ł
. . .
.. . �ł
. .
�ł łł
.
. . .
0 0 � � � n
�ł �ł
2 0 � � � 0
1
�ł �ł
0 2 � � � 0
2
�ł �ł
A2 = �ł
. . .
.. . �ł ,
. .
�ł łł
.
. . .
0 0 � � � 2
n
�ł �ł
f(1) 0 � � � 0
�ł �ł
0 f(2) � � � 0
�ł �ł
f(A)= �ł
. . .
.. . �ł .
. .
�ł łł
.
. . .
0 0 � � � f(n)
" Fakt: każdą macierz hermitowską daje się zapisać w postaci diagonalnej:
�ł �ł
1 0 � � � 0
�ł �ł
0 2 � � � 0
A = U-1 �ł . . .. . �ł U.
�ł �ł
. . .
�ł łł
.
. . .
0 0 � � � n
�ł łł
f(1) 0 � � � 0
�ł śł
0 f(2) � � � 0
" Zatem: f(A) = U-1 �ł . . .. . śł U.
�ł śł
. . .
�ł �ł
.
. . .
0 0 � � � f(n)
10.2 Macierze i bra-kety
13
"
Przestrzeń zespolonych wektorów z normą: ||v||2 = vi vi nazywamy przestrzenią Hilberta. Mamy:
Au = v, aijuj = vi,
�ł �ł
v1
�ł �ł
.
.
|v := ,
�ł łł
.
vn
" "
v| := (v1, . . . , vn) = v ,
13
okazuje się, że Schr�dinger miał swojego kota, zaś Dirac swojego keta (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej. 41
�ł �ł
v1
�ł �ł
v2
�ł �ł
" " " " "
v|v = (v1, v2, . . . , vn) �ł �ł = v1v1 + . . . + vnvn = ||v1||2 + . . . + ||vn||2,
.
.
�ł łł
.
vn
u"aijvj = u|A|v .
i
10.3 Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga
Istnieje ścisły zwiazek: funkcja falowa - wektory, operatory - macierze. Mamy:

(A|v )i = aijvj, (139)
j
narzucając ciągłość wskaz
nika otrzymujemy:

Ć
(Ś�)(r) = d3r W (r, r )�(r ). (140)
Dotychczas używaliśmy wyłącznie operatorów mnożenia i różniczkowania. Warto sobie zadać pytanie: jaka jest
najogólniejsza postać operatora? Odpowiedz
: (140). W (r, r ) utożsamia się zatem z elementem macierzowym
operatora.
1. Operator położenia ( w stylu mnożenia):

14
d3r W (r, r )�(r ) = d3r�3(r - r )V (r)�(r ) = V (r)�(r). (141)
2. Operator pędu ( w stylu różniczkowania):

15
d3r W (r, r )�(r ) = d3r(i )� (x - x )�(y - y )�(z - z )�(r ) =

= dx (i )� (x - x )�(x , y, z) = {całkowanie przez części} =

"�(x , y, z) "�
= - dx (i )�(x - x ) = -i . (142)
"x "x
Uwaga o dystrybucjach: dystrybucje są to uogólnione funkcje. Na przykład dystrybucja daje się wszędzie zróżniczkować
" ilość razy. Wszystkie operacje nielegalne dla funkcji robimy na dystrybucjach.
A co z różniczkowaniem dystrybucji? � (x - x ) =? . . .

dx �(x - x )f(x ) =: f(x),

d�(x - x )
dx � (x - x )f(x ) =: dx f(x ) = - dx �(x - x )f (x) = f (x).
dx
10.4 Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga
Zachodzi tożsamość zapisów:
Au = v �! aijuj = vi �! A|u = |v .
14
jest to równość przez zgadywanie (zapostulowanie)
15
j.w.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej. 42
Dla wektorów z przestrzeni Hilberta o bazie dyskretnej ich iloczyn skalarny jest sumowaniem po wskaz
niku
naturalnym:
u|v = u"vi.
i
Dla wektora z przestrzeni Hilberta o bazie ciągłej ich iloczyn skalarny jest sumowaniem po wskaz
niku ciągłym
(w tym przypadku: po r):

"
�1|�2 = d3r�1(r)�2(r).
Wartość średnia operatora w notacji braketowej wyraża się tak:

Ć Ć Ć
�|Ś|� = Ś = d3r�"Ś�
Każdą funkcję falową daje się rozłożyć na sumę wektorów bazy z odpowiednimi wpółczynnikami:
"

�(x) = cn�n(x).
n=0
W notacji braketowej wygląda to tak (trzeba pamiętać, iż jest to jedynie inna forma zapisu!):

|� = cn|n .
n
Współczynnik cm można wyliczyć z następującego wzoru:

cm = dx�" (x)�(x),
m
co znajduje swoje uzasadnienie, dające się prosto przedstawić w notacji braketowej:

m|� = cn m|n = cn�nm = cm.

n n
= dx�" �n
m
Co to jest wektor bazy położenia |x ? Jest to delta Diraca:
|x := �(x - x ).
Ogólnie mamy:

x|� = cn x|n .
n
Przy korzystaniu z braketów przydatna jest znajomość następującego wzoru (zachodzącego przy sumowaniu po
bazach zupełnych):

1 = |n n|.
n
Przykład (dla := dim H = 2):
N

1 0
|e1 = |1 = , |e2 = |2 = , 1| = (1, 0), 2| = (0, 1).
1
0
1 1 0 0 0 0
Stąd: |1 1| = (1, 0) = , |2 2| = (0, 1) = .
0 0 0 1 0 1

1 0
Zatem: |1 1| + |2 2| = .
0 1
Faktem jest, iż dla bazy dyskretnej mamy: n|m = �nm, zaś dla bazy ciągłej: �(r)|�(r ) = �(r - r ).
Każdy operator daje się zamienić na nieskończoną macierz:

Ć Ć
n|Ś|m = dx � (x)Ś(x, x )�m(x )dx = Śnm.
n
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej. 43
10.4.1 Wypisy z Schiffa
16
Twierdzenie spektralne:
&!|� = ��|� .

Można je zapisać w dowolnej bazie (np. r ):17


S r|&!|r r |� = �� r|� .
r
Tak jak i każdy abstrakcyjny wektor stanu można zapisać w jakiejś konkretnej bazie ą|:
|� = S |ą ą|� .
ą
Ponieważ obowiązuje ogólny wzór:
S |x x| = 1, (143)
x
to można dowolnie bawić się bazami - czy to dyskretnymi, czy to ciągłymi:

S k|� �|l = k|l = S k|r r|l = dr�"(r)�l(r).
� r
k
Twierdzenie spektralne dla pędu wygląda tak:
px|p = p|p , gdzie |p to funkcje własne operatora pędu.
Ć
Można powyższe równanie  uzupełnić bazą położeń:
r|px|p = p r|p .
Ć
Rozwiązaniem powyżego równania, będącego w istocie pytaniem o elementy macierzy przejścia pomiędzy bazą
położeń a bazą pędów, jest następująca równość, wynikająca (w jednym z ujęć18) z własności transformaty Fouri-
era dla położeń i pędów:
ipx
1

�p(r) = e .
(2Ą)3
A teraz nieco drobnych wariacji omówionych już spraw:
�ą(x) = x|ą ,
"

�ą(x) = cn�n(x),
n=0

n|ą = n|1|ą = S n|x x|ą = dx�" (x)�ą(x),
ą
n
<"
|n (a )n|0 .
=
10.5 Operatorowe rozwiązanie równania Schr�dingera
Równanie Schr�dingera w notacji braketowej wygląda następująco:
d
i |ą = $
|ą .
dt
Jego rozwiązanie zaś:
-i$
t

|ą(t) = e |ą(t = 0) .
16
L. J. Schiff - "Quantum Mechanics", rozdział 6: "Matrix Formulation of Quantum Mechanics", str. 148-186

17
S " { , }, w zależności od potrzeb
18
W tym sensie, że istnieje pewna arbitralność konstruowania aksjomatyki mechaniki kwantowej jako teorii matematycznej. (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 11: Symetrie. 44
Przypuśćmy: H|n = Wn|n . Wówczas:
-i$
t -i$
t -i$
t

n|ą(t) = n|e |ą(t = 0) = n|e |ą(t = 0) = e n|ą(t = 0) ,
-i$
t -iEnt

bowiem n|e = n|e . Ostatecznie mamy więc:
-i$
t

|ą(t) = S |n n||ą(t) = S e |n n|ą(t = 0) .
n n
11 Symetrie
11.1 Tradycyjne jak gdyby przypomnienie
Pracujemy na sferze w przestrzeni Hilberta.
�(r) = r|�
� = | r|� |2
� = �|r r|�
Ć Ć
� = �|�|�
Ć
�| = | ,  " R
d
i |ą(t) = $
|ą(t)
dt
11.2 Najgłębsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether
Dla każdej symetrii ciągłej istnieją pewne wartości zachowane. Na przykład: definicją energii jest: stała zachowana
dla układów, które są niezmiennicze względem przesunięć w czasie. W mechanice kwantowej energia jest także
stałą separacji:
|E : H|E = E|E .
r|ą(t) = e-iEt/ r|E = e-iEt/ ĆE(r).
Jak przechodzić z symetrii na r do symetrii na �?
�ą(r) �ą (r),
�ą (r + ) = �ą(r).
Szukamy operatora unitarnego19, który przekształca jedną funkcję falową w drugą, odpowiadając tym samym za
przesunięcie w przestrzeni.
U( )�ą(r) = �ą (r) = �ą(r - ),
dla 1:
�ą (r) = �ą(r - ) �ą(r) - ("�ą) + . . .

to prawie operator pędu
Operator pędu jest generatorem przesunięcia w r:
d 2 d2
�ą(r - ) = �ą(x - , y, z) = �ą(x, y, z) - �ą + �ą + . . . =
1! dx 2! dx2


"

(- )n dn
d i px
dxn
= �ą = exp - �ą = exp - �ą.
n! dx
n=0
19
operator unitarny to taki, dla którego U-1 = U , inaczej mówiąc: UU = U U = 1
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 11: Symetrie. 45

-i px i p
U( ) = exp - H" 1 - .

Fakt: U = eiH, U - operator unitarny, H - operator hermitowski.
Grupa wszystkich dowolnych przesunięć to trójparametrowa grupa przemienna. Operatory odpowiadające małym
(różniczkowym) przesunięciom są proste, zaś operatory odpowiadające dużym przesunięciom są trudne. Pęd jest
zachowany dla układów, które są niezmiennicze względem przesunięcia. Hamiltonian jest generatorem przesunię-
cia w czasie, natomiast pęd jest generatorem przesunięcia w przestrzeni.
�(r1, r2) = eiPR�(r).
11.3 Grupa obrotów
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
xR a b c x
�ł łł �ł łł �ł łł
yR = d e f y
zR g h i z
Obroty nie są przemienne. Mówi się, że grupa obrotów jest nieabelowa. Obracamy teraz funkcję falową... Do
Ć Ć
obrotu wykorzystujemy taki operator R, że dowolny wektor r przechodzi w wektor Rr:
Ć
r Rr,
Ć
�ą (rR) = �ą (Rr) = �ą(r),
dla |�| 1:
rR r + � � r.
To jest właśnie przepis na grupę obrotów dla małych obrotów. Stąd mamy:
�ł �ł �ł �ł
xR 1 -�z �y
�ł łł �ł
yR �z 1 -�x łł
zR -�y �x 1
UR(�)�ą(r) = �ą(R-1r) �ą(r - � � r) �ą(r) - (� � r)("�ą) = �ą(r) - �(r � ")�ą,

i
UR(�) = 1 - �L.

Generatorem obrotów jest moment pędu. Stąd przy obrotach jest on zachowany. Generatory grupy obrotów:
[Jx, Jy] = i Jz, [Jy, Jz] = i Jx, [Jx, Jz] = -i Jy.
Jakie są wartości własne dla J2 i J? ([J2, J] = 0).
Definiujemy dwa nowe operatory niehermitowskie:
J+ = Jx + Jy,
J- = Jx - Jy.
Stąd:
[Ją, J2] = 0, (144)
[Jz, J+] = J+, (145)
[Jz, J-] = - J-, (146)
[J+, J-] = 2 Jz. (147)
Spektrum Jz wyraża się następująco:
Jz|jm = m|jm ,
J2|jm = 2f(j)|jm ,
jm|J2|�m = jm| 2f(�)|�m = 2f(�) jm|�m = 2f(�)�j��mm,
j � j j � j j � j
�
j
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 11: Symetrie. 46
jm|Jz|�m = m�j��mm.
j �
�
j
W reprezentacji jm, ponieważ wystąpiły delty, J2 i Jz są diagonalne. Rozpisujemy teraz komutator (145):
JzJ+ - J+Jz = J+

1 = |ńm �m|
� j �
�
jm
�
� � � � � �
jm|JzJ+|�m - jm|J+Jz|�m = jm|J+|�m =
j � j � j �

� � � �
= ( jm|Jz|�m �m|J+|�m - jm|J+|�m �m|Jz|�m ) =
j � j � j � j � j � j �
�
jm
�
� �
= jm|J+|�m
j �
� � � � � �
m jm|J+|�m - m jm|J+|�m = jm|J+|�m
j � � j � j �
� � �
jm|J+|�m (m - m - 1) = 0
j � �
jm + 1|J+|jm = m
Analogicznie po rozpisaniu komutatora (146) otrzymujemy:
jm|J-|j, m + 1 = " .
m
Widać podobieństwo do operatorów kreacji i anihilacji.
J+J- - J-J+ = 2 Jz,
|m-1|2 - |m|2 = 2m,
|m|2 = |m-1|2 - 2m.
Jest to iloraz różnicowy. Rozwiązaniem tego równania jest:
|m|2 = C - m(m + 1).
Dla małych i dla dużych m to wyrażenie jest bezsensowne.
"
1 1
m1,2 = - ą 1 + 4C,
2 2
m2 = -m1 - 1.
m-y różnią się o liczbę całkowitą. Dozwolone są tylko wartości: -m1, -m1 + 1, . . . , m1.
2
J2 = J+J- + Jz ,
jm|J2|jm = - 2m1(m1 + 1).
Zatem możliwe wartości momentu pędu to m1 " -j, . . . , +j. Jakie są dopuszczalne wartości j?  Dopuszczalne
są:
j = 1/2  wtedy: m = -1/2, 1/2,
j = 3/2  wtedy: m = -3/2, -1/2, 1/2, 3/2.
Jak rozpoznać połówkowe wartości momentu pędu?
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 12: Rachunek zaburzeń. 47
11.4 Spin
Trzeba zbudować operator, który nie wynika z mechaniki klasycznej, bowiem trzeba opisać jakoś wewnętrzny
moment pędu elektronu. Spin - cecha charakterystyczna obiektu, tak jak masa, ładunek. Jego istnienie potwierdził
eksperyment Sterna-Gerlacha20.
Postulujemy operatory s o relacjach:
[sx, sy] = i sz (oraz cykliczne).
Zatem:

/2 �1(r, /2)
�(r, sz = ) = �(r, sz) = ,
- /2 �2(r, - /2)

pę! = d3r|�(r, /2)|2,

p�! = d3r|�(r, - /2)|2.
Trzeba wymyśleć pewną macierz... Na szczęście zrobił to Pauli:

s = �.
2

0 1 0 -i 1 0
�x = �y = �z = .
1 0 i 0 0 -1
Macierze te spełniają relację komutacji.
12 Rachunek zaburzeń
12.1 Trochę z tego, co już było
Od tej pory mówiąc o cząstce będziemy rozpatrywać elektron. W funkcji falowej uwzględnimy istnienie spinu21
1
�(r, sz), gdzie sz = ą :
2

�ę!(r) �1(r, sz = /2)
�(r, sz) = = .
��!(r) �2(r, sz = - /2)
Reprezentacja macierzowa operatora spinu:
1 1
1. dla spinu połówkowego s = � = [�x, �y, �z]:
2 2

0 1 0 -i 1 0
�x = �y = �z = ,
1 0 i 0 0 -1
20
Gerlach potem założyl firmę produkującą bardzo dobre scyzoryki i sztućce... (przyp. R.K.)
21
lub, jak kto woli,  krętu .
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 12: Rachunek zaburzeń. 48
2. dla spinu całkowitego, np: s = 1:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 -1 0 0 1 0 1 0 0
i
�ł łł �ł łł �ł łł
" "
�x = -1 0 1 �y = -1 0 -1 �z = 0 0 0 .
2 2
0 1 0 0 1 0 0 0 -1
Operator spinu jest pierwszym operatorem, dla którego nie ma analogu klasycznego. Działanie operatora spinu na
funkcję falową (zapis formalny):


1 0 �ę!(r) �ę!(r)
sz� = = .
0
2 -1 ��!(r)
2 -��!(r)
Normalizacja funkcji falowej ze spinem:


1 = d3r|�(r, sz)|2 = d3r(|�ę!|2 + |��!|2).
sz=ą /2
Gęstość prawdopodobieństwa:
(r) = |�ę!(r)|2 + |��!(r)|2,

Pę! = d3r|�ę!|2,

P�! = d3r|��!|2.
Wartość średnia operatora sz:




" "
sz = d3r�"(r, �z)sz�(r, �z) = d3r� sz� = d3r �ę! ��! �ę! =
-��!
2
sz


= d3r(|�ę!|2 - |��!|2) = ( d3r|�ę!|2) - ( d3r|��!|2). (22)
2 2 2
12.2 Metody rachunków przybliżonych
Mechanika kwantowa i klasyczna posiada wiele problemów dla których nie da się znalez
ć ścisłego rozwiązania.
Jednak te zagadnienia, które posiadają ścisłe rozwiązania, stanowią punkt wyjścia dla rachunków przybliżonych.
12.2.1 Metoda wariacyjna Ritza
Metoda wariacyjna jest stosowana do przybliżonego wyznaczania najniższego stanu energetycznego. Z rozwiąza-
nia równania własnego:
$
un = Enun,
otrzymujemy funkcje un tworzące bazę. Dodatkowo każdą funkcję falową można zapisać następująco: � =
"
cn�n. Wówczas:
n=0

�|H|� = c" um| H|�n cn = c" Encn um|un = |cn|2En,
m m

n,m n,m n
En|un �nm
�|H|� E0. (148)
Metoda ta wymaga dużej intuicji w wybieraniu funkcji falowej.
22
Czyli całkujemy cały  spin w górę po przestrzeni, a potem odejmujemy od tego cały  spin w dół . Wychodzi z tego średni spin, np. 0 .
(przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 12: Rachunek zaburzeń. 49
12.2.2 Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego
Atom helu składa się z jądra o ładunku +2e otoczonego przez dwa elektrony, jego hamiltonian ma następującą
postać:
2 Zą Zą ą
H = - ("2 + "2) - - + . (149)
1 2
2m r1 r2 r12
Rozwiązanie dla powyższego hamiltonianu wcale nie jest takie trywialne, ale można przeprowadzić pewien
ą
eksperyment myślowy i poczynić pewne założenia. Gdyby w hamiltonianie nie występował człon związany z
r12
odziaływaniem obu elektronów, to wtedy funkcja falowa byłaby iloczynem dwóch funkcji falowych:

Z3 Z
�(r1, r2) = exp (- )(r1 + r2) = u0(r1)u0(r2).
Ąa3 a0
0
Rozpatrując atom wodoru wiemy, że:

ą ą Ą
H H
0
Ek = ; Epot = - ; � = e-r/a .
2a0 a0 a3
0
Powyższe zależności dotyczą jednego elektronu, ale po przeskalowaniu można je zapisać dla dwóch elektronów:
ąZ2 2ąZ
Ek = 2 � ; Epot = 2 � - .
2a0 a0
5Zą
Energia odziaływania dwóch elektronów wynosi: E12 = .
8a0
Średnia wartość Hamiltonianu:
ąZ2 4ąZ2 5ąZ2 ą 27
H = - + = (Z2 - Z).
a0 a0 8a0 a0 8
ą ą
Minimum występuje dla Z = 1.7, czyli H pot = -2.85( ), a energia wiązania helu wynosi EHe = -2.904( ).
a0 a0
Wiadomo, że elektrony muszą poruszać się w sposób skorelowany, a rozpatrywana funkcja falowa tego nie
uwzględnia, jednak i tak dokładność uzyskanego wyniku jest bardzo duża (niepewność rzędu 2 procent).
12.3 Rachunek zaburzeń niezależny od czasu
Działamy hamiltonianem H na funkcję falową � i otrzymujemy odpowiadający jej poziom energetyczy W :
H� = W �; gdzie H = H0 + H .


poprawka
niezaburzony
Zakładamy, że:
H0un = Enun.
Wprowadzamy teraz parametr  i rozwijamy H w szereg Taylora. Poprawka jest analityczną funkcją :
W = W0 + W1 + 2W2 + 3W3 + . . .
� = �0 + �1 + 2�2 + . . .
Funkcję rozwijamy do tego stopnia, do którego chcemy mieć dokładność w obliczeniach:
H� = (H0 + H )(�0 + �1 + 2�2) = (W0 + W1 + 2W2)(�0 + �1 + 2�2) =
H0�0 + H0�1 + H02�2 + H �0 + 2H �1 + 3H �3.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 13: Rachunek zaburzeń  ciąg dalszy. 50
" wyrazy rzędu  0 :
H0�0 = W0�0, (150)
" wyrazy z  (czyli rzędu 1):
(H0 - W0)�1 = (W1 - H )�0, (151)
" wyrazy z 2 (czyli rzędu 2):
(H0 - W0)�2 = (W1 - H )�1 + W2�0. (152)
Załóżmy, że �0 jest jakąś funkcją um:
�0 = um; W0 = Em.
Chcemy teraz uzyskać funkcje ortogonalne, więc odpowiednio przetransponujemy �1 przez dodanie do niej �0,
(�1 �1 + ą�0):
�s|�0 = 0; s = 0,


a następnie rozwiniemy funkcję falową w szereg �1 = anun:
n
(H0 - W0)�1 = (W1 - H )�0,
um|(H0 - Em)|�1 = um|(W1 - H )|�0 = um|um W1 - um|H |um .

0 1
Ostatecznie:
W1 = um|H |um .
Wyznaczenie zmian energii jest zawsze dokładniejsze, niż wyznaczenie zmian funkcji falowej.
13 Rachunek zaburzeń  ciąg dalszy
13.1 Ciąg dalszy z poprzedniego wykładu
H = H0 + H ,
H� = W �,
H0um = emum �! H0|m = Em|m ,
(H0 + H )(�0 + �1 + 2�2 + . . .) = (W0 + W1 + 2W2 + . . .)(�0 + �1 + 2�2 + . . .). (153)
H0�0 = W0�0.
Zakładamy, że �0 = um (konkretne - np. robimy rachunek zaburzeń dla siódmego stanu), W0 = Em. Wypisujemy
człony równania (153) stojące przy tych samych potęgach :
(H0 - W0)�0 = 0, (154)
(H0 - W0)�1 = (W1 - H )�0, (155)
(H0 - W0)�2 = (W1 - H )�1 + W2�0. (156)
Z (155) mamy:
(H0 - W0)�1 = (W1 - H )�0.
Obkładamy to stanem m|:
0 = W1 - m|H |m ,
W1 = m|H |m .
Drugi rząd rachunku zaburzeń:
(H - W1)�1 = W2�0.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 13: Rachunek zaburzeń  ciąg dalszy. 51
m|(H - W1)|�1 = W2,
m|H |�1 = W2,
W2 = m|H S a(1)|un .
n
n
Szukamy a(1): z (155) mamy:
n
(H0 - E0)�1 = (W1 - H )�0.
(H0 - Em)�1 = W1um - H um.
(H0 - Em)S a(1)|n = W1|m - H |m .
n
n
k|:
k|(En - Em)S a(1)|n = W1 k|m - k|H |m .
n
n
k|H |m k|H |m
a(1) = k|S a(1)|n = - = .
n
n
k
En - Em Em - En
Podstawiamy, otrzymując ostatecznie wzór na poprawkę do energii w drugim rzędzie rachunku zaburzeń bez
degeneracji i bez czasu:
n|H |m | m|H |n |2
W2 = m|H S a(1)|n = m|H S |n = S . (157)
n n n,n =m
n
Em - En Em - En
Przyjmujemy, że �0|�s = 0 dla s > 0, czyli, że poprawka do funkcji falowej jest do niej ortogonalna. Dla
każdego s:
�0|H |�s-1
H = ,
�0|�0
�0|(H0 - W0)|�1 = �0|(W1 - H )|�0 ,
0 = W1 �0|�0 - �0|H |�0 ,
W1 = �0|H |�0 = m|H |m ,
�1 = S a(1)un(r),
n,n =m
n
(H0 - W0)�2 = W1�0 - H �0,
(H0 - Em)S a(1)un(r) = W1um - H um,
n =m
n
S a(1)(H0 - Em)|n = W1|m - H |m ,
n =m
n
S a(1)(En - Em)|n = W1|m - H |m .
n =m
n
Wez
my teraz stan końcowy k|:
S a(1)(En - Em) k|n = W2 k|m - k|H |m ,
n =m
n
a(1)(Ek - En) = - k|H |m .
k
Ostatecznie:
k|H |m
a(1) = ,
k
Em - Ek
n|H |m | m|H |n |2
W2 = �0|H |�1 = m|H S |n = S .
n =m n =m
Em - En Em - En
Czyli:
m|H |n n|H |m
W2 = S . (158)
n =m
Em - En
Często zdarza się, że zaburzenie w pierwszym rzędzie wynosi zero. Wówczas trzeba liczyć dalej. Poprawka w
drugim rzędzie rachunku zaburzeń jest zawsze ujemna. Z poprawką w pierwszym rzędzie różnie to bywa.
| 0|H |n |2
(0)
W2 = S < 0.
n =0
E0 - En
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 14: Przybliżenie półklasyczne. 52
13.2 Znoszenie degeneracji przez zaburzenie
Powyższe formuły nie działają w przypadku degeneracji. Zaburzenie na ogół znosi degenerację. Warunek konieczny
i dostateczny usunięcia degeneracji w dowolnym określonym rzędzie rachunku zaburzeń:
" nierówność diagonalnych elementów macierzowych operatora H między dwoma zdegenerowanymi stanami
niezburzonymi,
" nieznikanie pozadiagonalnych elementów macierzowych operatora H w tych stanach.
Mamy dwa stany: um, ul : Em = El, l|H |m = 0. Wyjściowa funkcja jest kombinacją liniową: �0 = amum +

alul.
(H0 - W0)�0 = (W1 - H �0),
(H0 - W0)|�1 = (W1 - H )(am|m + al|l ).
 Obkładamy to stanem m|:
m|(H0 - W0)|�1 = W1am m|m + W1al m|l - m|H |m am - m|H |l al,
0 = W1am - m|H |m am - m|H |l al,

m|H |m - W1 m|H |l am 0
= .
l|H |m l|H |l - W1 al 0
Zaburzenie znosi degenerację!
13.2.1 Przykład
Hamiltonian dla cząstki w polu magnetycznym przedstawia się następująco:
1 e
H = (p - A)2 + V (r). (159)
2m c
A jest potencjałem wektorowym pola magnetycznego. Zachodzi oczywisty wzór: B = " � A. Przy takim jego
określeniu mamy pewną dowolność (w wyborze cechowania). My dokonamy wyboru potencjału symetrycznego:
1
A = B � r.
2
Rozpisując wzór (159) otrzymujemy:
1 e e e2
2 2
H = (p - pA - Ap + A ).
2m c c c2
Czyli:
1 2e e2
2 2
H = (p - Ap + A ) + V (r).
2m c c2
Rozpatrujemy teraz tylko pierwszy rząd, traktując A jako parametr:
e -e e
H = - Ap = (B � r)p = BL.
mc 2mc 2mc
Będziemy teraz liczyć elementy macierzowe:
�
|n, l, m - fnl(r)Ylm(�, �),
�
eB eB m
�
� � �
n, l, m|H |n, l, m = n, l, m|Lz|n, l, m = n, l, m|n, l, m .
� � � � � �
2mc 2mc
Zdegenerowanie zostaje rozszczepione.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 14: Przybliżenie półklasyczne. 53
14 Przybliżenie półklasyczne
14.1 Przybliżenie WKB
Przybliżenie półklasyczne Wentzla-Kramersa-Brillouina, jest metodą przybliżonego rozwiązywania równania Schr�dingera,
którą można stosować dla problemów bliskich problemom klasycznym.23 W praktyce okazuje się jednak, że ta
metoda daje bardzo dobre rezultaty zarówno w przypadkach klasycznych jak i w kwantowych. Metoda opiera
się na rozwinięciu funkcji falowej względem potęg , ale rozwinięcie to nie zawsze jest zbieżne i ma charakter
asymptotyczny. Rozważmy równanie Schr�dingera:
2
- u (x) + V (x)u(x) = Eu(x), (160)
2m
gdzie
iS(x)
u(x) = exp( ). (161)

Musimy przerobić tak równanie (160), żeby było zależne od S. Liczymy różniczki (161) i wstawiamy do (160):
iS
u = u( ),

iS iS iS S 2
u = u( + ( )2) = u( - ),
2

i S u(S )2
u + + uV = Eu, (162)
2m 2m
i S + (S )2 = (E - V )2m. (163)
Teraz do równania (163) wstawiamy rozwinięcie S według kolejnych potęg : S = S0 + S1 + 2S2 + . . .
Zajmujemy się rozwiązaniem tylko do drugiego rzędu:

i (S0 + S1 ) + (S0 + S1)2 = p2(x),
Pomijamy człony bez :

x

(S0)2 = p2(x) �! S0 = ąp(x) �! S0 = ą dxp(x).
x0
p
Pęd można wyrazić za pomocą liczby falowej k = . Wtedy S0:


x
1
S0 = ą dx k(x).

x0
Znając S0 wyznaczamy S1:

-iS0 + 2S0S1 = 0, gdzie S0 = p(x), S0 = p (x),
i p (x) i d

S1 = = ln(p(x)),
2 p(x) 2 dx
i
S1 = ln(p(x)).
2
Zapisując rozwiązanie w postaci eksponencjalnej:
1 1
1
2

eiS = e- ln p(x) = .
p(x)
23
Czyli takim, które opisane są za pomocą bardzo dużych liczb kwantowych.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 14: Przybliżenie półklasyczne. 54
14.2 Warunek na kwantyzację półklasyczną
Cząstka w odpowiednim ruchu klasycznym wykonuje oscylacje między punktami zwrotnymi x1 i x2. Jest to ruch
po całym okresie, a warunek na kwantyzację jest następujący:24

x2
Ą
dxpE(x) - = nĄ.
2
x1

x2
1
dxp(x) = (n + )Ą .
2
x1

x2
1
dxp(x) = 2 p(x)dx = (n + )h.
2
x1
W graficznym ujęciu tego problemu, ruch cząstki można przedstawić w kartezjańskiej przestrzeni (x, p). Pole

powierzchni zamknięte przez krzywą obieganą przez cząstkę jest równe: dxp(x).
p
x2 x
x1
14.3 Interpretacja graficzna przybliżenia WKB dla cząstki w potencjale

obszar II obszar I obszar II

x
1 Ą
"
cos( p(y)dy + )
0 4
p(x)
Bessel Bessel
[J1/3(x)]

x x
x1 x2 1 i dyk(y))
1 i
" "
exp( dyk(y)) exp(-
0 -E
0
k(x) k(x)



tu funkcja zanika
tu funkcja zanika
obszar ten przybliżamy potencjalem:
V (x) V (x0) + (x - x2)V (x2)
Formalnie WKB działa tylko dla n >> 1, lecz w praktyce okazuje się, iż przydatne rezultaty otrzymuje się z
niego również dla n H" 1.
14.4 Rozpad promieniotwórczy
ZZ ą
Chcemy zrozumieć rozpad ą. Jądra mają stały czas półrozpadu. Jądro odpycha cząstkę ą potencjałem V =
r
24
pojawia się tu h nie i wcale to nie jest błąd!
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 15: Rachunek zaburzeń. 55
[Tutaj powinny pojawić się dwa istotne rysunki ilustrujące proces rozpadu. Skoro ich nie ma,
znaczy to, że ich jeszcze nie przygotowaliśmy!]
"
ZZe2
r2
�
2m 2 1 �rR
p(x)dx = (1 - arcsin( ) - (ł - 1)1/2).
"
Ą ł
r1 R
ZZ e2
ł := , R = 10-17m.
RE
Czas życia <" tunelowanie <" e-E.
14.5 Rachunek zaburzeń zależny od czasu
Dla hamiltonianu zależnego od czasu nie ma rozwiązań stacjonarnych równania Schr�dingera. Wtedy rozwiązując
problemy z zaburzeniem wiemy, że H0 ma prostą postać, zaIJ H zależy od czasu i powoduje przejścia między
stanami własnymi. Mamy równanie Schr�dingera zależne od czasu:
"�
i = H�, gdzie H = H0 + H (t), (164)
"t
iEnt

�(t) = S an(t)e- un.
n
Różniczkujemy �(t) i wstawiamy do (164). Lewa strona równania ma postać:
iEnt iEnt
iEn

L = S i unane- +S i unan(- )e- ,
Ł
n n


iEnt
unanEne-
prawa zaś:
iEnt iEnt

P = S ane- (H0 + H )un = S ane- (Enun + H un).
n n
Przyrównujemy obie strony do siebie i skracamy wyrazy podobne. Zostaje:
iEnt iEnt

S i unane- = S ane- H un,
Ł
n n
Obkładamy stanem k|:
iEkt
iEnt

i ukake- = S ane- uk|H |un ,
Ł
n
1
kn
ak = S ei� t uk|H |un an. (165)
Ł
n
i
Otrzymujemy układ równań dla wszystkich wartości k, gdzie �kn jest częstością kołową Bohra i oznacza:
Ek - En
�kn =: .

15 Rachunek zaburzeń
15.1 Przypomnienie wraz z kontynuacją materiału z wykładu poprzedniego
Niech:
H = H0 + H , H0uk = Ekuk.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 15: Rachunek zaburzeń. 56
Zaburzenie to powoduje, iż współczynniki an zależą od czasu:
n
�(t) = S an(t)une-iE t/ .
n
Wstawiając powyższy wzór do równania Schr�dingera:
"�
i = H�,
"t
otrzymujemy:
1
kn
aŁ = S k|H |n anei� t.
k n
i
Rozwijamy an(t) w szereg zaburzeń:
an = a(0) + a(1) + a(2) + . . .
n n n
Jak wiadomo z poprzedniego wykładu, mamy:
1
(s+1)
kn
aŁ = S k|H |n a(s)ei� t,
k n
n
i
a(0) = k|m = �km,
k
1
(1)
km
aŁ = k|H |m ei� t,
k
i

t
1
km
a(1) = k|H |m ei� � d�. (166)
k
i
0
15.2 Zaburzenie harmoniczne
-25
-
Przykładem zaburzenia harmonicznego jest światło lasera  padające na elektron. Fala EB jest w tych warunk-
" "
ach znacznie szersza od paczki falowej elektronu, zatem w przybliżeniu ma = 0, natomiast jej jest nieze-
"x "t
rowa, czyli, inaczej mówiąc, otrzymujemy zaburzenie zmienne w czasie. Przyjmijmy, że zaburzenie jest następu-
jącej postaci:
k|H (t)|m := 2 sin(�t) k|H |m , t " [0, t0].
Wstawiając taką postać do równania (166), otrzymujemy:

t
1
kn
a(1)(t > t0) = k|H |m d�2 sin(��)ei� � =
k
i
0

km km
1 ei(� +�)t0 - 1 ei(� +�)t0 - 1
= - k|H |m - .
i �km + � �km - �
Teraz, dla ustalenia uwagi, założymy, że drugi człon w nawiasie jest mały. Mamy stąd:
sin2( (�km
4| k|H |m |2 1 - �)t0)
2
|a(1)(t > t0)|2 = . (167)
k
2 (�km - �)2
Założymy teraz, że Ek w okolicy Em + � jest duże. Z tego wynika, iż:

A = dEk (Ek)|a(1)(t > t0)|2 (Ek0 = � + Em),
k
2Ą
A = t0 (k)| k|H |m |2,

gdzie A jest prawdopodobieństwem obsadzenia grupy stanów energetycznych wokół pewnego ustalonego stanu.
Fermi nazwał to złotą regułą Fermiego numer dwa.
-
-
25
EB to bardzo przyjemny skrót na wszystkie słowa pochodzące od korzenia  elektomagnetyzm , bo przecież E to nic innego jak elektro-,
zaś B to, jak powszechnie wiadomo, magnetyzm. Skrócik ten, wraz z takimi cudeńkami jak " (istnieje), oraz p() (prawdopodobieństwo),
znacznie ułatwia mi życie od wielu lat, dlatego też pozwolę sobie go tutaj zastosować. Nie wolno mi? No jasne, iż mi wolno! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 15: Rachunek zaburzeń. 57
15.3 Przybliżenie adiabatyczne
26
Ten rodzaj przybliżeń stosuje się dla układów, w których hamiltonian zmienia się bardzo powoli w czasie. Wyobraz
my
k
sobie, że mamy oscylator harmoniczny, x2, w którym powoli zmienia się k. Wówczas:
2
H = H(t) : H(t)un(t) = En(t)un(t).
Wstawiając

t
1
�(t) = S an(t)un(t) exp( En(�)d�)
n
i
0
Ł
do równania Schr�dingera (i � = H(t)�), mamy:

t t
1 En(t) 1
i S exp( En(�)d�) anun + anun + anun = S exp( d�En(�))(anH(t)un),
Ł Ł
n n
i i i
0 0

t t
1 1
0 = S (anun + anun) exp( d�En(�)) = S (an|n + an|E ) exp( d�En(�)).
Ł Ł Ł
n n
i i
0 0
Dostawiamy stan końcowy k|:

1 t
d�En(�)
i 0
0 = S (an k|n + an k|E )e ,
Ł
n

1 t 1 t
d�Ek(�) d�En(�)
i 0 i 0
0 = ake +S an k|E e .
Ł
n
Ostatecznie mamy:
t
1
ak = -S an k|E exp( d�(En(�) - Ek(�)))
Ł
n
i
0
Po obustronnym zróżniczkowaniu poniższego równania można obliczyć k|E :
H(t)un(t) = En(t)un(t),
"H "En
un(t) + H(t)un(t) = un(t) + Enun,
Ł Ł
"t "t
"H "En
|n + H|E = |n + E|E , k = n.

"t "t
Lewostronnie wymnażamy przez k|:
"H "En
k| |n + k|H|E = �kn +En k|E ,
"t "t

Ek k|E
=0, bo k =n
"H
k| |n = (En - Ek) k|E .
"t
n|n = 1,
E|n + n|E = 0,
n|E + n|E " = 0,
n|E = ią(t) �!- musi być czysto urojone.
Uprościmy sobie rachunki sprytnie dobierając fazę. Jest to możliwe, bo fazy funkcji własnych są dowolne w
każdej chwili czasu.
i
n = uneił(t),
26
adiabatycznie H" wolno
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 16: Przybliżenie nagłej zmiany, fermiony i bozony. 58
ń|E = 0,
�
d
eił n| (eił|n ) = e-ił n|(ił|n + |E )eił,
Ł
dt
ił + n|E = i(ł + ą) = 0,
Ł Ł

t
ł = - ą(�)d�,
0
Dzięki temu znikają dwa minusy:

"H t
k| |n
1
ak = S an "t exp( (Ek - En)d�).
Ł
n =k
En - Ek i
0
Dla t = 0 wez
my am = �nm, czyli n-ty stan. Wówczas:

t
1 "H 1
ak = k| |m exp( (Ek - Em)d�).
Ł
Em - Ek "t i
0
Człon exp(. . .) szybko oscyluje, zatem pochodna jest na zmianę dodatnia i ujemna, czyli ak ani specjalnie nie
rośnie, ani nie maleje.
16 Przybliżenie nagłej zmiany, fermiony i bozony
16.1 Rachunek zaburzeń - dalszy ciąg
16.1.1 Przybliżenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny
Potencjał dla oscylatora harmonicznego z uwzględnieniem członów zaburzających:
1 1

V (X) = V (x0) + V (X0)(x - x0)2 + V (x) - V (x0) - V (X0)(x - x0)2 .
2 2

H0 H
Ponieważ hamiltonian wolno zmienia się w czasie, dokonujemy przybliżenia adiabatycznego. Bierzemy funkcję
falową postaci:


1 t
En(�)d�
i t0
� = anune ,
n
oraz następujący hamiltonian (taki jak dla atomu polonu):

H0 : t < 0
H = .
H1 : t > 0
16.1.2 Nieciągła zmiana wartości H
Rozważając powyższe zagadnienie zakładamy, że potrafimy określić H0 i H1. Wtedy:
H0un = Enun, H1v� = E�v�,
H0|n = En|n , H1|� = E�|� ,
iEnt

dla t > 0 : �(t) = S anune- ,
n
iE�t

dla t < 0 : �(t) = S b�v�e- .
�
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 16: Przybliżenie nagłej zmiany, fermiony i bozony. 59
Funkcja falowa ma być w każdym punkcie przestrzeni ciągła dla t = 0, więc: S anun = S b�v�. W mo-
n �
mencie przełączenia hamiltonianu stara funkcja falowa rozkłada się na nową. Stałą b� wyrażamy przez an, po
"
przemnożeniu i scałkowaniu przez funkcję sprzężoną v�, otrzymujemy:
b� = S an �|n ,
n

0 dla n = m

an = �nm �! an = .
1 dla n = m
Gdy układ początkowo jest w stanie m, to an = n|m , wówczas b� = �|m .
16.1.3 Przybliżenie nagłej zmiany
W drugim przypadku rozważamy taki hamiltonian, że jego zmiana zachodzi w bardzo krótkim czasie.
ńł
H0 : t < 0
�ł
H = HI : t " [0, t0] .
ół
H1 : t > t0
Dla t " [0, t0]:
iEk t

�(t) = S ckwke- ,
k
ck = S an k|n .
k
iEkt0 iE�t0

�(t0) = S ckwke- = ||robimy przeskalowanie z HI na H1|| = S b�v�e- ,
k �
iEkt0 iEk t
iE� t

S cke- �|k S b�e- = S ck �|k e- ,
k � k
i(E� -Ek)t

b� = S ck �|k e ,
k
-i(Ek-E� )t0

b� = S S an �|k e k|n ,
k n
-i(Ek -E� )t0

b� = S anS �|k e k|n ,
n k

it0
=1- (Ek-E�)

�ł łł
�ł śł
it0
b� = S an �łS �|k k|n - S �|k (Ek - E�) k|n śł ,
�ł śł
n k k
�ł
�ł
poprawka <" t0
t0
b� <" S an �|n - i S anS �|k (Ek - E�) k|n ,
=
n n k


t0
-i S an �|(HI -H1)|n
n

S �|k k|HI|n = S �|k Ek k|n = �|H1|n = �|E�|n = S �|k E� k|n .
n k k

Ek k|n
Przybliżenie nagłej zmiany jest najlepsze gdy wartości t0 są bardzo małe. Wówczas b� wynosi:
it0
b� <" S an �|1 - (H2 - H1)|n .
=
n

MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 17: Bozony i fermiony. 60
16.2 Problem dwóch ciał
Mechanika kwantowa jest teorią probabilistyczną i deterministyczną (z równania Schr�dingera wiemy jak funkcja
falowa zmienia się w czasie). Załóżmy, że mamy dwie cząstki (�(r1, sz1, r2, sz2)). W przypadku, gdy poruszają
się niezależnie od siebie, funkcja falowa układu przyjmuje postać:
� = �1(r, sz1)�2(r, sz2),
a rozkład gęstości prawdopodobieństwa wygląda następująco:
(r1, sz1, r2, sz2) = (r1, sz1) (r2, sz2).
Mówimy, że cząstki są identyczne wówczas, gdy nie da się ich odróżnić od siebie i spełniona jest zależność:
(r1, r2) = (r2, r1).
Zależność tę można spełnić na dwa sposoby:
" symetrycznie27 - �(r1, r2) = �(r2, r1),
" antysymetrycznie28 - �(r1, r2) = -�(r2, r1).
To, czy cząstki są opisywane falami symetrycznymi, czy antysymetrycznymi, zależy od ich wewnętrznego mo-
mentu obrotowego - spinu. Bozony mają spin całkowity, natomiast fermiony połówkowy. Jeżeli cząstki są symetryczne,
to hamiltonian w odpowiednich zmiennych też musi być symetryczny, np. dla dwóch elektronów hamiltonian ma
postać:
2
H = - ("2 + "2) + V (|r1 - r2|).
1 2
2m
Przypuśćmy, że znalez
liśmy rozwiązanie dla hamiltonianu. Na ogół funkcja � nie ma symetrii, ale jeżeli spełnia
równanie Schr�dingera, to funkcje �(r1, r2), �(r2, r1) dają dobre rozwiązanie.
Zdefiniujemy funkcję symetryczną i antysymetryczną:
1
"
�sym(r1, r2) =: [�(r1, r2) + �(r2, r1)],
2
1
"
�anty(r1, r2) =: [�(r1, r2) - �(r2, r1)].
2
Załóżmy teraz, że każda z cząstek opisywana jest własną funkcją falową: u1(r1)u2(r2). Wtedy funkcje �sym,
�anty przyjmują postać:
1
"
�sym = (u1(r1)u2(r2) + u1(r2)u2(r1)),
2
1
"
�anty = (u1(r1)u2(r2) - u1(r2)u2(r1)).
2
Jeśli u1 = u2 = u to:
"
�sym = 2(u(r1)u(r2)),
�anty = 0.
Wniosek: Żadne dwa fermiony nie mogą znajdować się w stanie opisanym tą samą funkcją falową. Jest to Zakaz
Pauliego. Bozony zaś mogą.
27
np. dla bozonów, opisywanych statystyką Bosego-Einsteina.
28
np. dla fermionów, opisywanych statystyką Fermiego-Diraca.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 17: Bozony i fermiony. 61
17 Bozony i fermiony
17.1 Symetryczność i antysymetryczność
" Bozony:
(r1, r2) a" (r2, r1),
1
"
�(r1, r2) = (u(r1, r2) + u(r2, r1)),
2
1
(r1, r2) = |�|2 = |u(r1, r2) + u(r2, r1)|2 = 2|u(r1, r2)|2.
2
Dla bozonów zachodzą korelacje Bosego-Einsteina.
" Fermiony:
1
= |�|2 = |u(r1, r2) - u(r2, r1)|2.
2
Układy Fermionów nie mają analogów klasycznych.
Każdy z fermionów musi mieć inną funkcję falową.
Postać ściśle antysymetrycznej funkcji falowej jest następująca:
1
"
Ć(r1, s(1); r2, s(2)) = (u1(r1, s(1))u2(r2, s(2)) - u1(r2, s(1))u2(r1, s(2))).
z z z z z z
2
Przypadek 1:

1
u1(r1, s(1)) = u1(r1),
z
0
1

1
u2(r2, s(1)) = u2(r2),
z
0
2

1
1 1
Ć = " " (u1(r1)u2(r2) - u2(r1)u1(r2)).
0 0
2
1 2
Przypadek 2:

1
u1 = u(r1),
0
1

1
u2 = u(r2),
0
2

u(r1)u(r2)
1 0 0 1
Ć = " ( " - " ).
0 1 1 0
2
1 2 1 2
sz = 0 - (| ę!�! - | �!ę! ).
W danym punkcie mogą być dwa elektrony, ale muszą mieć przeciwne spiny!
Wez
my operator sz = s(1) + s(2):
z z


1 0
s(1) = ,
z
0
2 -1
(1)


1 0
s(2) = ,
z
0
2 -1
(2)


u(r1)u(r2)
1 0 0 1
(1) (1)
s(1)Ć = " �z " - �z " ,
z
0 1 1 0
2
2
(1) (2) (1) (2)

u(r1)u(r2)
1 0 0 1
s(1)Ć = " " + " ,
z
0 1 1 0
2
2
(1) (2) (1) (2)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy. 62


u(r1)u(r2)
1 0 0 1
s(2)Ć = " - " - " .
z
0 1 1 0
2
2
(1) (2) (1) (2)
Zauważmy, że:
s(1)Ć + s(2)Ć = 0.
z z
"
usym(r1, r2) (| ę!�! - | �!ę! )/ 2 spin = 0 (jest to stan singletowy),
ńł
| ę!ę! spin =
�ł
"
uanty(r1, r2) (| ę!�! + | �!ę! )/ 2 spin = 0 (jest to stan trypletowy).
ół
| �!�! spin = -
17.2 Izospin
Pomysł: zamiast rozpatrywać istnienie dwóch różnych nukleonów załóżmy, iż istnieje jeden tylko nukleon, który
może za to przyjmować dwa stany: protonu i neutronu. Otrzymujemy operator podobny do spinu - izospin.
Enucl aA -bA2/3 -cZ2A-1/3 +(N - Z)2.


objętość
powierzchnia odpychanie
Dla silnego odpychania kulombowskiego - model kropelkowy!29 Bombę atomową zbudowano właśnie na bazie
modelu kropelkowego.
Model kropelkowy wykorzystuje analogię między jądrem a kroplą cieczy i jest najprostszą wersją modelu sil-
nych korelacji. Podstawą tej analogii są dwa fakty doświadczalne: stała gęstość materii w jądrze, niezależna od
jego wielkości, oraz niemal stała wartość energii wiązania jądra w przeliczeniu na jeden nukleon. Wymienione
własności jądra są charakterystyczne dla cieczy - gęstość jej jest stała niezależnie od objętości, a także ciepło
parowania (będące odpowiednikiem energii wiązania) przeliczone na jednostkę objętości jest stałe.
18 Bozony, fermiony i układ okresowy
18.1 Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej
" Obserwablom możemy przypisać operatory:
Ć
Ś( p) - Ś( -i ").
r, r,
" Wartość średnią operatora obliczamy następująco:

Ć Ć
Ś = d3r�"Ś�.
Ć
" Jedyne możliwe wartości pomiarów Ś:
Ć
Ś� = �.
29
Zamieszczony tutaj rysunek, tych co cierpią na brak doznań artystycznych w notatkach, może jeszcze bardziej dobić. (przyp. E.S.) I o to
właśnie chodzi! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy. 63
" Mechanika kwantowa jest deterministyczna - znając funkcję falową � mamy zakodowaną informację o
układzie i możemy przewidzieć co będzie się działo za jakiś czas:
"�
i = $
�.
"t
" Dla cząstek symetrycznych gęstość prawdopodobieństwa (r) też jest symetryczna.
18.2 Problem cząstek symetrycznych jeszcze raz
Funkcje falowe mogą być symetryczne i antysymetryczne:
�sym "! BOZONY
�anty "! F ERMIONY
Problem: Wez
my dwa elektrony, jeden z Księżyca, a drugi z Ziemi. Ich funkcje falowe wcale się nie przekrywają,
bo elektrony mają różne położenia:
uZ(r1, sz )uK(r2, sz ),
1 2
Funkcja antysymetryczna przyjmuje postać:
1
"
uanty = (uZ(r1, sz )uK(r2, sz ) - uZ(r2, sz )uK(r1, sz )),
1 2 2 1
2
1
|uanty|2 = [|uZ(r1, sz )|2|uK(r2, sz )|2 + |uK(r1, sz )|2|uZ(r2, sz )|2].
1 2 1 2
2
Nie ma członów krzyżowych ze względu na fakt nie przekrywania się funkcji.
18.2.1 Jak antysymetryzować funkcje?
Mamy funkcję u = u1(x1)u2(x2) � � � un(xn). Obiektem ściśle antysymetrycznym względem permutacji jest wyz-
nacznik30, czyli:31
�ł �ł
u1(x1) u1(x2) � � � u1(xn)
�ł �ł
u2(x1) u2(x2) � � � u2(xn)
1
�ł �ł
"
uanty = det �ł
. . .
.. . �ł .
. .
�ł łł
N! .
. . .
un(x1) un(x2) � � � un(xn)
18.2.2 Hamiltonian dla układu n elektronów
" Z m=1

2 " Ze2 1 e2 1
$
= - ("2 ) - + .
n
2� 4Ą�0 |rn| 4Ą�0 |rm - rn|
n=1 n=1 n=1 n=1

uwzględniamy potencjał
Problem z takim hamiltonianem wcale nie daje się łatwo rozwiązać, ponieważ liczba równań zależy od liczby
atomowej Z. Ale bazując na tym co mamy i wiemy, wymyślimy hamiltonian rozwiązywalny:

2
- "2 - Veff (rn) = Hn.
n
2�
n n
Każda cząstka ma się poruszać w polu o potencjale efektywnym:
30
Bowiem  każde dziecko wie, że wyznacznik macierzy jest antysymetryczną funkcją kolumn i wierszy , jak mawiał dr Panasiuk. (przyp.
R.K.)
31
Wyznacznik ten zwie się wyznacznikiem Slatera.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy. 64
V (r)

r
e2
-
4Ą�r
Ze2
-
4Ą�r
Mamy zestaw funkcji unlm(r, Ń, �). Dla stanu podstawego n = 1, l = 0 nie ma degeneracji, a na powłoce
umieszczamy dwa elektrony (z uwzględnieniem spinu):

1 0
u100(r, �, Ą) ; u100(r, �, Ą) stan 1s.
0 1
Dla kolejnych liczb kwantowych powłoki mają następujące oznaczenia:
l = 0 s,
l = 1 p,
l = 2 d,
l = 3 f,
l = 4 g.
Gdy w potencjale uwzględnimy obsadzenie powłok przez elektrony otrzymamy następujące wyrażenie:
2l(l + 1)
V = Veff (r) - ,
2�r2
z którego widać, że dla coraz to większych wartości l, energia wiązania maleje.
V (r)

18.3 Układ okresowy pierwiastków
Obsadzenie powłok elektronami:
2 - (1s)
2 - (2s)
6 - (2p)
2 - (3s)
6 - (3p)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy. 65

2 - (4s)
stany te mają porównywalne energie
10 - (3d)
6 - (4p)
s1 s2 p1 p2 p3 p4 p5 p6
1s HZ=1 HeZ=2
2s Li Be
Z=3 Z=4
2p B C N 0 F Ne
Z=5 Z=6 Z=7 Z=8 Z=9 Z=10
3s Na Mg
Z=11 Z=12
18.3.1 Z czego wynika okresowość pierwiastków?
Ułożenie pierwiastków w układzie wynika z zapełnienia powłok elektronami:
Li i H mają ideologicznie bardzo podobną budowę, dodatkowo właściwości chemiczne litu są podobne do właś-
ciwości chemicznych sodu.
16
Rozpatrujemy konfigurację elektronową tlenu O8 : (1s)2(2s)2, nie obchodzą nas zapełnione powłoki, rozważamy
tylko powłokę niezapełnioną (2p)4:
u21m(r, �, �) = u21(r)Y2m(�, �),
3 1 3 1 z
2 2
Y10 = ( ) cos Ś = ( ) ,
4Ą 4Ą r
3 1
2
Y1ą1 = "( ) sin Śeąi� .

8Ą
xąiy
sin Ś(cos �ąi sin �)=
r
W graficznym przedstawieniu, zamiast używać trzech funkcji: Y10, Y1ą1 można użyć trzech funkcji niezależnych:
y
x z
, , . Wtedy stan 2pxyz wygląda następująco:
r r r
Z
Y
X
Gdy wez
miemy cząsteczkę wody (H2O), wodory wraz z tlenem tworzą układ z kątem prostym, układ ten ma
bardzo duży moment dipolowy, dzięki czemu woda jest bardzo dobrym rozpuszczalnikiem. Elektrony pochodzące
od tlenu i wodoru razem uwspólniają orbitę:
Z
Y
H X
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 19: Metoda Hartreego-Focka 66
18.4 Model atomu Thomasa-Fermiego
Ze2 1
Mamy potencjał Veff = - + V , gdzie V = V (r) + v1(r)LS. Żeby dobrze rozwiązać ten problem,
4Ą� |r|
bierzemy przybliżenie WKB, a funkcję falową brutalnie  maltretujemy żeby zanikała na brzegach, przybliżając
ją sinusem:

x1
1
(sin( dypE(y))
n
0
un(x) = x ,
pE(x)

x1
1
sin2( dypE(y))
1
n
0
2(x) = ( x = .
pE(x)
pE(x)
Dalej rozwiązujemy w trzech wymiarach:
unl(r)
Ąnl(r) = ,
r
u2
nl
(r) = ,
r2

2(l + 1/2)2
(r) = 2�(E - V (r)) + ,
2�r2

4Ą drr2 nl(r) = 1.
19 Metoda Hartreego-Focka
44
Mamy atom wapnia Ca, gdzie Z = 22. Z rozwiązania równania Schr�dingera dostajemy równania różniczkowe
22
66 zmiennych (22p+ + 22n + 22e-).32 Trzeba znalez
ć taki sposób, żeby zagadnienie było rozwiązywalne. Pole od
elektronów uśrednia się, tworząc sferycznie symetryczny potencjał efektywny. Z potencjału zaś można wyliczyć
funkcję falową unlm, natomiast elektrony uśrednić. Postępując w ten sposób otrzymamy rozmytą gęstość elek-
tronów, a to jest przydatne przy analizie rozmieszczenia elektronów na poziomach energetycznych.
Veff(r) unlm(r, �, �) = unl(r)Ylm(�, �).


mamy poziomy energetyczne, każdy
n,l poziom n zdegenerowany jest (2l + 1)-krotnie
Ze2
4Ą�r
32
problem mało przyjemny do rozwiązania.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 19: Metoda Hartreego-Focka 67

Gęstość prawdopodobieństwa nlm(r, �, �) otrzymuje się: tot = nlm. Ten sposób zwie się metodą
nlm n,l,m
Hartreego. Model ten nie zawsze się sprawdza, bo pomija antysymetryzację (otrzymana w wyniku funkcja falowa
nie jest antysymetryczna). Fock jednak wymyślił procedurę antysymetryzacji. Jednak w przypadku dużej liczby
elektronów jest on bliski przypadkowi klasycznemu i można stosować przybliżenie WKB.
Rozwiążemy teraz problem ściśle:
l l

"
nl(r) = |unlm(r, Ś, �)|2 = u2 (r) Ylm(Ś, �)Ylm(Ś, �).
nl

m=-l m=-l

Przy czym: to kawałek, który zależy od dynamiki. Z głębokiej analizy harmonik sferycznych wynika:
l

4Ą
"
Ylm(Ś1, �1)Ylm(Ś2, �2) = Pl(cos Ś12).
2l + 1
m=-l
z





y




Ś2
Ś1





x




l

2l + 1
"
Ylm(Ś, �)Ylm(Ś, �) = Pl(1) .
4Ą
m=-l
Oglądamy funkcję tworzącą:
"

T (w, s) = (1 - 2sw + s2)1/2 = Pl(w)sl.
l=0
T (w, 0) = P0(w) = 1,

T (w, 0) = P1(w).
Ten sposób pozwala na policzenie wszystkich wielomianów Legendre a. Dla w = 1:
"

1
T (1, s) = (1 - s)2(-1/2) = = sl = Pl(1)sl.
1 - s
l=0 l
Z tego wynika, że dla wszystkich wielomianów Legendre a Pl(1) = 1.
2l + 1
nl(r) = u2 (r) .
nl
4Ą

1 2Ą
nl(r) = d cos Ś d� nl = 4Ą nl = (2l + 1)unl2(r).
�
-1 0
Jak normalizować ńl? Warunek normalizacji:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 19: Metoda Hartreego-Focka 68

drr2 nl(r) = 2
�
Szukamy unl(r):
2 1 d 2l(l + 1)
- (r2u2 ) + (V (r) + )unl = Enlunl.
nl
2� r2 dr 2�r2
anl(r)
Niech unl = . Wówczas:
r
2 2l(l + 1)
- a + (V (r) + )anl = Enlanl,
nl
2� 2�r2
1/2
2l(l + 1)
pnl(r) = 2�(E - V - ) ,
2�r2

r
1 1
anl(r) = sin drpnl(r) .

pnl(r)
r0
1
Zastępujemy wyrażenie l(l + 1) przez (l + )1/2 = z2. Wówczas:
2
l

2z
"
nlY Y = nl <" ,
�
r2 nl(r)
m=-l

" " "
c 1
d3r nl(r) = 2 = 4Ą drr2 nl(r) = 4Ą drr2 = 4Ąc dr ,
nlr2 nl
0 0 0
1
c = ,
dr
2Ą
nl(r)
nl(r) = 2z nl(r),
�
Wprowadzamy teraz Rnl(r) := 00 + n1 + n2 + . . .
dRnl <"
�
= nl,
dn

r2
2 dr nl(r) = 2Ą n = 0.
r0

dr
"F
-2 (2�)1/2 dr
dn �
nl
"E
= - = = ,
"F
dE -2Ą Ą nl(r)
"n
dRnl(r) dR dn m 1
= = .
dE dn dE 2Ą2 r2 nl(r)

l=m

Rn(r) = Rnl(r) <" dzRnl(r),
l=0

dRnl dRnl
<" dz ,
dE dE

1 3/2
nl
Rn <" dzdE �! R = = 0,
r2 nl(r) 3Ą2 3
1
R(r) = (2�(-V (r)))3/2.
3Ą2 3
Skąd wziąć V (r)? V (r) składa się z potencjału jądra i ujednoliconego potencjału e-, który można dostać z
równania Laplace a:
1
"2V = 4ĄR.
e
1 d dV 4e2(-2�V )3/2
- (r2 ) = .
er2 dr dR 2Ą 3
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 20: Obraz Heisenberga, Diraca i Schr�dingera. 69
Ze2
V = - �,
r
V = b�.
�(0) = 1, �(") = 0.

1 3Ą 2 0.885a0
b = = .
2 4 meZ1/3 Z1/3
Wymiar atomów rośnie proporcjonalnie do Z1/3.
20 Obraz Heisenberga, Diraca i Schr�dingera
20.1 Przypomnienie
Ć
1. Wartość średnia: �|A|� . Wielkością własną jest kombinacja liniowa wektorów i operatorów.
Ć
2. Równanie własne: A|� = |� .
3. Prawdopodobieństwo znalezienia stanu � = |� w stanie |� jest następujące: p = | �|� |2.
20.2 Obrazy
Obraz Schr�dingera: zależne od czasu są wektory (funkcje falowe):
a (t) = �(t)|�|�(t) . (168)
Abstrakcyjne równanie Schr�dingera:
d
i |�(t) = $
|�(t) .
dt
i$
t

|�(t) = e- |�(t = 0) , (169)
czyli:
|�(t) = U(t)|�(0) .
Podstawiając równanie (169) do (168) otrzymujemy:
i$
t i$
t

a (t) = e- �(0)|Ae- |�(0) ,
i$
t i$
t

a (t) = �(0)|e Ae- |�(0) . (170)
Jest to uniwersalny wzór w obrazie Heisenberga. Można go zapisać w ogólnej postaci:
Ć
a (t) = �(0)|A(t)|�(0) . (171)
i$
t i$
t
Ć

A(t) := e Ae- .
Idea obrazów jest następująca: W obrazie Heisenberga podstawowe są operatory, natomiast w obrazie Schr�dingera
podstawowymi są funkcje falowe. Zależne od czasu są zaś właśnie rzeczy podstawowe. Obraz Diraca jest obrazem
pośrednim: jest w nim trochę ewolucji czasowej w operatorach, a trochę w funkcji falowej.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 20: Obraz Heisenberga, Diraca i Schr�dingera. 70
20.2.1 Przykład pierwszy: cząstka swobodna
p2
Hamiltonian: H = . Rozważmy operatory Ć oraz p:
r Ć
2m
ip2 ip2
t t
2m 2m
Ć = e Ć ,
r(t) re-
ip2 ip2
t
2m 2m
Ć Ć Ć
p(t) = e pe- t = p.
W obrazie Heisenberga dla cząstki swobodnej p nie zmienia się w czasie (powtarza to wynik mechaniki klasy-
cznej). Fakt ogólny:
Ć Ć Ć
[B, $
] = 0 �! B(t) = B.
Wynika z tego faktu ogólny wzór:
i
Ć = Ć + [H, r(0)]t + . . .
r(t) r(0)

i p2 p
Ponieważ [ , r] = , to w obrazie Heisenberga mamy ruch swobodny (bowiem wyższe komutatory się
2m m
zerują):
p
r(t) = Ć + t.
r(0)
m
d�(t)
Pytanie: jakie równanie spełnia pochodna: =?
dt
d�(t) i 1
Ć Ć Ć
= ($
A(t) - A(t)$
) = [A(t), $
].
dt i
Równanie to jest odpowiednikiem równania Schr�dingera.
Ć
dA(t) 1
Ć
obraz Heisenberga: = [A(t), $
],
dt i
d|�(t) 1
obraz Schr�dingera: = H|�(t) .
dt i
dr(t) p
1
Obraz Heisenberga najbliżej łączy kwantowy opis z klasycznym. Ponieważ: = [r(t), H] = , to:
dt i m
p
r(t) = t + Ć
r(0).
m
20.2.2 Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy
p2 m�2
Ć
$
= + x2
Ć
2m 2
dx(t) 1 p(t)
Ć Ć
= [x(t), H(t)] =
Ć
dt i m
dp(t) 1
Ć
= [p(t), H(t)] = -m�2x(t)
Ć Ć
dt i
p(0)
Ć
x(t) = x(0) cos(�t) + sin(�t)
Ć
m�
p(t) = -m�x(0) sin(�t) + p(0) cos(�t)
Ć Ć
1 ip(0)
Ć
x(t) = (x(0)(ei�t + e-i�t) - (ei�t - e-i�t) =
Ć
2 m�

1 ip(0) 1 ip(0)
Ć Ć
= (x(0) - )ei�t + (x(0) + )e-i�t = (� ei�t + �e-i�t) = (� (t) + �(t))
Ć Ć
2 m� 2 m� 2m� 2mw
d�(t) �
= [a(t), a (t)a(t)] = -i��(t)
dt i
d� (t)
= i�� (t)
dt
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 21: Oscylator i stany mieszane. 71
20.2.3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z siłą wymuszającą
dx(t) p(t)
=
dt m
dp(t) p2 m�2
Ć
= -m�2x(t)f(t) = + x2 - xf(t) = H(t)
dt 2m 2

i t i
0
e- dtH = e- Ht

d i t
i i
0
e- dtH = - $
(t)e- Ht
dt

(t+"t)
i i t i t
dtH(t)
0 0 0
e- - e- dtH(t) = e- dtH(t)
21 Jeszcze raz problem oscylatora
Dany jest oscylator jednowymiarowy, zaburzony siłą zależną od czasu.
Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że układ będzie znajdował się w stanie podstawowym?
Hamiltonian dla układu przybiera postać:
p2 m�2q2
$
= + - q f(t), (172)
2m 2
gdzie wykres siły f w funkcji czasu wygląda następująco:
f(t)


t
Rozwiązanie tego zagadnienia jest dość skomplikowane, ponieważ mamy równanie Schr�dingera zależne od
czasu. Zastanówmy się jak wygląda nasz problem w obrazie Schr�dingera:
d
i |�(t) = $
|�(t) ,
dt
i

|�(t) = e- $
t|�(0) .
Ć
Teraz wyrażamy zmianę stanów w czasie, za pomocą operatora A(t):
i i
$
t
Ć

�(0)|e Ae- $
t|�(0) .
Ć
Operator A(t) spełnia równanie ruchu, natomiast $
nie zależy od czasu:
d i i i i i i
$
t 33
Ć Ć Ć

A(t) = $
e Ae- $
t - e- $
tAe- $
t$
,
dt
33
operatory $
, � są nieprzemienne.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 21: Oscylator i stany mieszane. 72
d i
Ć Ć
A(t) = [$
, A(t)].
dt
Biorąc teraz operator położenia q(t) i pędu p(t) i różniczkując otrzymujemy:
Ć Ć
d p
Ć
q = ,
Ć
dt m
d
p = -m�2q + f(t),
Ć Ć
dt
"
gdzie (*) - człon związany z siłą.
Rozwiązywanie zagadnienia w obrazie Heisenberga, jest bardzo wygodne, bo rozwiązujemy problem oscylatora
bez siły, a dopiero na sam koniec wprowadzamy człon związany z siłą. W kolejnym etapie wprowadzamy opera-
tory kreacji i anihilacji:


q = (� + � ),
Ć
2m�

m�
p = i (� - �),
Ć
2
�(t) = �(0)e-i�t,
� (t) = � (0)ei�t,

"
1
�(t) = �in(t) + " e-i�t dt ei�tf(t ) .
2m� -"

ą(t)
Dla t " : ą = eiąt�out :
�out = �in - ą
d i
� = -i��(t) + " f(t),
dt
2 m�
d i
� = i�� (t) - " f(t).
dt
2 m�
Wracamy do pytania zadanego na początku paragrafu:
Jakie jest prawdopodobieństwo, że układ będzie znajdował się w stanie podstawowym?
Początkowo �(t = 0) = �in,
" �in|0in = 0 - stan podstawowy w przeszłości,
" �out|0out = 0 - stan podstawowy w przyszłości,
" �in|aout = ą�out - stan koherentny, stan układu na końcu.
Z definicji stanu koherentnego, prawdopodobieństwo:
2
P = | aout|ain |2 = e-|ą| .
Stan początkowy i stan końcowy będzie stanem podstawowym.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 22: Rozpraszanie. 73
22 Stany mieszane
Układy dotychczas rozpatrywane były układami izolowanymi, niezależnymi od otoczenia. Funkcja falowa określa-
jąca stan tego układu jest funkcją zależną jedynie od jego współrzędnych. Większość układów jest jednak sprzężona
z otoczeniem, np. gaz utrzymywany w stałej temperaturze w naczyniu. Jeżeli przez u oznaczone będą współrzędne
układu, a przez t współrzędne otoczenia, to pomimo, że układ jako całość ma dobrze określony hamiltonian i
funkcję falową �(u, t), to jednak funkcja ta nie jest równa iloczynowi funkcji �1(u) i �2(t). Oznacza to, że układ
jest w stanie mieszanym. Stan mieszany to zbiór stanów czystych, które wchodzą z różnymi wagami.
Od stanu mieszanego oczekujemy, by wartości występowały z różnymi prawdopodobieństwami: (p1, s1), (p2, s2),
ldots - stany klasyczne: prawdopodobieństwo i stan, (p1, �1), (p2, �2), ldots - stany kwantowe: prawdopodobieństwo
i funkcja falowa reprezentująca stan.
Wez
my kwantowy przykład układu w stanie mieszanym, jakim jest układ ze spinem:
ą| ę! + �| �! = | .
Tu rzut wypadkowego spinu skierowany jest na oś inną niż oś z.
Ć
Stan mieszany to zbiór stanów czystych, które wchodzą z różnymi wagami. Średnia wartość operatora A w stanie
mieszanym określona jest wzorem:
Ć Ć Ć
� m = p1 �1|A(t)|�1 + p2 �2|A(t)|�2 + . . . + pn �n|A(t)|�n ,

Ć
� m = pn �n|A(t)|�n .
n
1
Bierzemy najprostszy układ o spinie s = . Możliwe są wtedy tylko dwa stany:
2

0
|- - ,
1

1
|+ - .
0
Obliczamy wartość średnią operatora:
Ć Ć
� = p1 +|�|+ + p2 -|A|- = Tr{A },
gdzie:

d
-ih 0
d+
= p+|�+ �+| + p-|�- �-| = .
0 -ihdd
-
Stany mieszane można opisywać w abstrakcyjny sposób przy pomocy jednego operatora: macierzy gęstości .34
Z takiego przedstawienia widać, że stany mieszane można opisywać nie tylko przez funkcje falowe, ale też przez
funkcje spinu. Dodatkowo pojawia się możliwość mieszania stanów, ale bez konieczności brania superpozycji
funkcji falowych do opisania funkcji układu, co daje następującą macierz gęstości:
" " "
(r, r ) = p1�1(r)�1(r ) + p2�2(r)�2(r ) + . . . + pn�n(r)�n(r ).


r = d3rr (r, r )|r=r ,



p = d3r p (r, r )|r=r .
i
34
Pojawiła się ona po raz pierwszy w pracach Landaua.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 22: Rozpraszanie. 74
23 Rozpraszanie
23.1 Wstęp
Zajmiemy się teraz rozpraszaniem, czyli zmianą wektora falowego k cząstki (np. elektronu) przez potencjał (np.
potencjał wytwarzany przez atom). Podstawą naszych rozważań jest równanie Schr�dingera dla cząstki swobod-
nej, oraz idące za nim założenie, iż energia rozproszonej cząstki nie zmienia się (bowiem zarówno przed, jak i po
rozproszeniu musi ona spełniać to samo równanie własne: H� = E�). Zajmując się rozpraszaniem zajmujemy
się w istocie cząstką w dwóch stanach: w x = -", oraz w x = +" (bo tylko wówczas cząstka jest swobodną).
Energia rozpatrywanej cząstki wyraża się wzorem:
p2 2k2
E = = > 0. (173)
2m 2m
1
"
Funkcja falowa cząstki swobodnej to fala płaska: eikr. Wektor k musi być bardzo duży, by zdolność
( 2Ą)3
rozdzielcza rozpraszania była dość duża. Można zapisać następujące równanie:
(natężenie wiązki) = (ilość cząstek na cm3) " (prędkość elektronów),
czyli: I = P v. Jeśli określimy N jako liczbę zliczeń pod danym kątem bryłowym (d2&! = d(cos�)d�), to można
sformułować następujący wzór:
N = NI�(&!)d2&!, (174)
gdzie �(&!) zwie się różniczkowym przekrojem czynnym, zaś I jest proporcjonalne do powierzchni z której wylatują
elektrony. Całkowity przekrój czynny określony jest (jak łatwo się domyślić) całką z różniczkowego przekroju
czynnego:

�tot = d2&!�(&!). (175)
Jednostką przekroju czynnego jest barn.35
1barn = 10-24cm2 = 10-28m2. (176)
23.2 Rozpraszanie: ściślejsze rozważania
Rozważać będziemy asymptotyczne warunki brzegowe, czyli takie, w ktorych cząstka znajduje się w +", lub
-". Schematyczne przedstawienie tej sytuacji znajduje się na zamieszczonym poniżej rysunku. Na rysunku tym
nadchodząca fala płaska symbolizowana jest przez linie pionowe, zaś potencjał rozpraszający - przez okręgi.36









Funkcja falowa cząstki rozproszonej (dla r ") przedstawia się następującym wzorem:
eikr
(+)
�k = eikr + f(&!) . (177)
r
35
Barn w języku angielskim znaczy  stodoła . Jest to związane z faktem, iż przekroje czynne wielkości 1 barn są ogromne,  tak wielkie jak
stodoła .
36
Nieprawdaż, iż rysunek ten jest bardzo schematyczny? (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 22: Rozpraszanie. 75
Równanie Schr�dingera dla cząstki swobodnej:
2
- "2� = E�.
2m
Przechodzimy do współrzędnych sferycznych:
2 1 " " 2l(l + 1)
- (r2 )� + � = E�,
2m r2 "r "r 2mr2
co dla r ":
2 1 " "
<"
= - (r2 )�nl(r) = E�nl(r).
2m r2 "r "r
u(r)
Podstawiając �nl(r) = , mamy:
r
2 d2u
- = Eu.
2m dr2
Rozwiązaniem tego równania jest oczywiście u = eąikr, stąd:

eikr
�nlm(r, �, �) = [ clmYlm(�, �)] ,
r
l,m

f(�,�),&!=(�,�)
bowiem superpozycja liniowa rozwiązań również jest rozwiązaniem.
Gwoli przypomnienia: prąd prawdopodobieństwa opisuje się wzorem:

J = (�""� - �"�").
2mi
k
Dla wiązki wpadającej opisywanej falą eikr mamy prąd J = , zaś dla członu rozproszeniowego (dla r "),
m
|f(&!)|2
eikr k
opisywanego falą f(&!) , mamy prąd: Jrel = . Amplitudą rozpraszania jest f(&!). Zachodzi zatem:
r m r2
�(&!) = |f(&!)|2. (178)
23.3 Funkcje Greena
(+) (+) (+)
2 2
Wiemy już, iż: H0 = - "2, p = k, H = - "2 + V (r), �k (r), H�k = E�k , oraz:
2m 2m
eikr
(+) (+)
�k (r) -r" eikr + fk (&!) .
r
Poniższe dwa wzory należy przyjąć na wiarę:
1
( ) = -4Ą�3(r)
r
eikr
( + k2) = -4Ą�3(r)
r
Pomyślmy o polu wytworzonym przez przestrzenny rozkład ładunku. Potencjał całkowity rozbija się na całkę po
ładunkach (lokalnych gęstościach):

(r )
� = d3r .
|r - r |
Funkcję Greena definiujemy następująco:

-m eik|r-r |
G(r, r ) = . (179)
2Ą 3 |r - r |
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 23: Rozpraszania ciąg dalszy. 76
Funkcja Greena spełnia równanie:
2
( r + k2)G(r, r ) = -4Ą�3(r - r ),
2m
2
+ +
( r + k2)�k (r) = V (r)�k (r) =: F (r).
2m
Jednym z rozwiązań powyższego równania jest:

�
� = d3r G(r, r )F (r )
Zatem, ostatecznie:

+
�k (r) = eikr + d3r G(r, r )F (r ),
gdzie drugi człon równości opisuje kulistą falę rozproszoną dla r ". W ogólności mamy równanie całkowe:

m eik|r-r |
+ +
�k (r) = eikr - d3r V (r )�k (r ). (180)
2Ą 2 |r - r |
+
Możemy to równanie przybliżać, obliczając je sekwencyjnie, przez podstawienie kolejno obliczonych �k (r):
+
0 rząd: �k (r)(0) = eikr.

m eik|r-r |
+
1 rząd: �k (r)(1) = eikr - d3r V (r )eikr.
2Ą 2 |r - r |
Powyższy stopień przybliżenia rozwiązania nazywa się przybliżeniem Borna funkcji falowej rozproszeniowej.
24 Rozpraszania ciąg dalszy
24.1 Postulaty, na dobry początek
" Operatory tworzymy z obserwabli (wielkości fizycznych, dających się zmierzyć doświadczalnie):
Ć
Ś( p) - Ś( -i ").
r, r,
" W wartościach bezwzględnych kodujemy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu:
|�(r, t)|2 = (r, t),
natomiast w fazie, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki o danym pędzie:
0
� (r)eip r p = p0.
" Wartość średnią obserwabli zmierzymy na podstawie wzoru:

Ć Ć
Ś = d3r�"Ś�.
Ć
" Jedynymi możliwymi wartościami pomiaru wielkości fizycznych opisanych przez Ś są :
Ć
Ś� = �,  " R.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 23: Rozpraszania ciąg dalszy. 77
" Mechanika kwantowa, jest teorią deterministyczną, znając funkcję falową �, mamy informację o zachowa-
niu układu, teraz i w przyszłości:
"�
i = $
�,
"t
2
$
= - "2 + V (r).
2m
" Mechanika kwantowa daje ścisłe i  ładne rozwiązania, dla prostych symetrycznych zagadnień. Gdy nie ma
symetryzacji, problem jest bardziej skomplikowany, stosuje się więc przybliżenia i rachunek zaburzeń.
" Niezależne od czasu równanie:
$
�E = E�E
umożliwia wyznaczenie całego spektrum energii - energie ujemne są skwantowane - otrzymujemy spektrum
dyskretne, dla energii dodatnich - spektrum ciągłe.
24.2 Rozpraszanie
Mamy biegnącą falę płaską eikr, opisaną wektorem falowym k. Badamy zachowanie tej fali po  przejściu przez
centrum rozproszeniowe.




r
eik





Szukamy rozwiązania postaci:
eikr
+
�k -r" eikr + f(&!) ,
r
� (Ś, �) = |f(Ś, �)|2.

&!
Rozwiązując równanie Schr�dingera, z hamiltonianem H = H0 + V , otrzymujemy:
(E - H0)�(+) = (V �(+)),

r |
m eik|r-
+ +
�k (r) = eikr - d3r V (r )�k (r ).
2Ą | - |
r r
Obszar całkowania r w okolicach potecjału:

1. r <" [m]
�! r >> r .
2. r <" [fm]
W przybliżeniu Borna:

r |
m eik|r-
+ r
�BORN (r) = eikr - d3r V (r )eik .
2Ą 2 | - |
r r
Szukamy amplitudy rozproszenia: rozwijamy w szereg |r| >> |r |:
1/2
1/2
r 2 r 37 r r
r r r
2
| - | = ( - )2 = r + r 2 - 2 r = r 1 + - 2 = r 1 - = r - .
r r r r r
r2 r2 r2 r
37
stosujemy wzór: (1 + �)n = 1 + n�.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 23: Rozpraszania ciąg dalszy. 78
Na podstawie powyższego rozwinięcia:
r | r
r
eik|r- eik r
r
eik(- )
,
| - | r
r r

r
e-ikout
 0 rząd

r
gdzie kout = k - wektor, opisujący falę wychodzącą (rozproszoną). Amplituda rozpraszania w przybliżeniu
r
Borna jest proporcjonalna do przestrzennej transformaty Fouriera potencjału rozpraszania.

m m
r r r
out
f(Ś, �) = - d3r e-k V (r )eik = - d3r ei V (r ),
2Ą 2 2Ą 2
gdzie = k - kout - wektor, określa punkt przekazania pędu.
24.3 Rozpraszanie na sferycznym potencjale
Mamy funkcję kulistą

�(+)(r, Ś, �) = �(r, Ś) = Yl( �);
r)Ylm(Ś,

Yl(
r)
�(r, Ś) = Pl(cos Ś), Ylm <" eim�.
r
l=0
Wstawiamy do równania Schr�dingera i wykonujemy separację:

d2 l(l + 1)
+ (k2 - u - ) Yl(r) = 0,
dr2 r2
2mE 2m
gdzie k2 = , u = V.
2 2
Dla r - 0 : Yl(r) - rl+1.
Dla równania postaci:
d2
Yl + k2Yl = 0
dr2
otrzymujemy rozwiązanie oscylujące: Yl = Al sin(kr + �l).
Gdy równanie wygląda następująco:

d2 l(l + 1)
+ (k2 - ) Yl(r) = 0,
dr2 r2
lĄ
2
to rozpatrujemy asymptotyczną postać funkcji Bessela jl(kr) -r" sin(kr- ) .
(kr)
Dla wysokich l - funkcja Bessela zabija potencjał i  dłużej jest zerowa.
lĄ
Zawsze możliwe jest numeryczne znalezienie Yl(r) -r" Al sin(kr - + �l). Znalezienie Al pozwoli na
2
odtworzenie fali wpadającej i rozproszonej. Rozkładamy falę płaską, na fale cząstkowe:
"

eikz = eikr cos Ś = (2l + 1)il jl(kr)Pl(cos Ś),
l=0


eikr " eikr
r
�(r, Ś) = eik + f(Ś) = Pl(cos Ś) il(2l + 1) jl(kr) + fl =
r r
l=0

lĄ

sin(kr - )
eikr
2
= il(2l + 1) + fl =
kr r
l

(1)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola dz
więku i podsumowanie wykładu. 79
(1) - asymptotyczna postać funkcji falowej, dla kaej fali parcjalnej.
"
lĄ

Al sin(kr - + �l)
2
= Pl(cos Ś) .
r
l=0

(2)
Porównujemy (1) i (2), dla r >> 1:

" "

eikr 2l + 1 eikr 2l + 1 Al eikr lĄ e-ikr lĄ
2 2
Pl(cos Ś) (fl + ) + (-1)l+1 = Pl(cos Ś) ei(- +�l) - ei( -�l) ,
r 2ik r 2ik r 2ir 2ir
l=0 l=0
eąikr
z przyrównania członów przy , otrzymujemy: Al:
2ir
2l + 1
l
Al = (i)l ei� ,
k
amplituda rozpraszania rozłożona na fale parcjalne:
2l + 1
l
fl = (e2i� - 1).
2ik
24.4 Całkowity przekrój czynny

" "
1 2Ą 1 1

�tot = d cos Ś d�|f(Ś, �)|2 = 2Ą d cos Ś|f(Ś)|2 = 2Ą d cos Ś fl"Pl(cos Ś) f�P�(cos Ś) =
l l
-1 0 -1 -1
l=0 l=0

1
2
= d cos ŚPl(cos Ś)P�(cosŚ) = �l� .
l l
2l + 1
-1
Całkowity przekrój czynny:

4Ą tot
�tot = sin2 �l(2l + 1) = �l ,
k2 l l
przy czym danej fali parcjalnej:
4Ą
tot
�l < (2l + 1).
k2
Zastosowanie powyższego formalizmu:

P0(cos Ś) = 1
�! 2 pierwsze wielomiany Legendre a.
P1(cos Ś) = cos Ś
f0 = 0, f(Ś) = const.

Dla niskich energii rozpraszanie jest izotropowe - pod każdym kątem, liczba rozpraszanych cząstek jest taka sama.
Amplituda rozproszenia, w układzie sferycznym:
f(Ś, �) = f(Ś),

f(Ś) = flPl(cos Ś).
l
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola dz
więku i podsumowanie wykładu. 80
25 Kwantyzacja układu złożonego z N oscylatorów
25.1 Wstęp
Wyobraz
my sobie układ N mas m połączonych sprężynkami w kółeczko. Prowadzimy arytmetykę modulo N ,
czyli n " 0, 1, . . . , N - 1, zaś n = N to to samo, co n = 0.38 Hamiltonian dla takiego układu wyraża się
następująco:
N -1

p2 k
n
H = ( + (xn+1 - xn)2).
2m 2
n=0
Hamiltonian dla układów rzeczywistych jest bardziej skomplikowany:

p2
nxnynz
Hreal = ( + V (xn - xn ) + V (xn nynz - . . .) + V (. . . )).
x+1 x x
2m
nxnynz
Minimum potencjału zachodzi dla kryształu spoczywającego (tzn. dla jego drgań równych zeru).
25.2 Skończona transformata Fouriera
Będziemy poszukiwać rozwiązań równania opsiującego kryształ w postaci skończonej transformaty Fouriera.
Wez
my dowolną funkcję fn:
N -1

2Ąi
�
fk = exp( nk)fn.
N
n=0
Znamy rozwiązanie N równań różniczkowych:
N -1

1 2Ąi
�
fn = exp(- nk)fk.
N N
k=0
Dla skończonej transformaty Fouriera:
N -1

zN - 1
zn = .
z - 1
n=0
N -1

1 2Ąi 1 2Ąi
� � �
p2 = ( exp(- nk)fk)( exp(- kn)fk) =
�
n
N N N
N
n=0 n k �
k
p" pn
n
1 2Ąi "
�
exp( nk)fk
N N
N -1

1 2Ąi 1
"
� �
= fk fk exp( n(k = k)) = |pk|2.
�
�
2
N N N
n=0
� n
k,k
2Ąi
�
(exp( (k-k)))n
N

ńł
�ł
�
= N : k = k

ół
= 0 : k = k
Teraz:
xn+1 - xn =: yn.
N -1

1
2
yn |y� |2.
k
N
n k=0

1 1 2Ąi
nk
N
yn = xn+1 - xn = e2Ąi(n+1)kxk - e xk =
� �
N N
k k
38
Właściwie łatwiej byłoby to zrozumieć z rysunku, lecz niestety, brak mi na to czasu dziś, wybaczcie... (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola dz
więku i podsumowanie wykładu. 81

1 2Ąi 2Ąi
nk k
N N
= e (e - 1)xk.
�
N
k
k 2Ąik
N
uwaga: e2Ąi = 1 + + . . .
N
W ten sposób odtworzyliśmy własności transformaty Fouriera.
2Ąi iĄk iĄk iĄk iĄk Ąk
k
N N N N N
e - 1 = e (e - e- ) = e 2i sin( ).
N
2Ąi Ąk
k
N
|e - 1|2 = 4 sin2( ).
N
Ostatecznie hamiltonian dla układu wyraża się następująco:
N -1

1 |pk|2 Ąk 1 1
�
H = ( + 2m�2 sin2( )|xk|2) = &!k(A Ak + ). (181)
�
k
N 2m N N 2
k=0 k
Dz
więk w krysztale chodzi w paczkach - jest skwantowany. Skwantowaliśmy zatem pole dz
więkowe. Jego kwanty
to fonony.
26 Podsumowanie wykładu  Mechanika kwantowa
Jedynym kryterium poprawności teorii jest zgodność z doświadczeniem. Nasze zmysły są przystosowane do
mezo-, nie zaś mikroświata. Dziury w całym są z
ródłem postępu. Wciąż się ich szuka, lecz mechanika kwan-
towa - opisująca mikroświat sprzecznie z naszymi intuicjami - wciąż się dobrze (nadzwyczaj dobrze) trzyma.
Przepis kuchenny na otrzymanie mechaniki kwantowej: bierzemy wielkość fizyczną, zapisaną w języku położeń i
Ć
pędów: Ś(r, p) i przypisujemy jej operator kwantowy Ś(r, -i "), działający na funkcję falową �, która niesie
całą informację o układzie: �(r, t). � koduje gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie
(r, t): |�|2 = (r, t). Funkcja falowa przedstawia nasz stan wiedzy o układzie po idealnym pomiarze. Wartość

Ć Ć
średnia otrzymana w pomiarze to Ś = d3r�"Ś�. Rzadko daje się wzbudzić układ do pewnego określonego
stanu - raczej do kilku stanów z pewnym prawdopodobieństwem. Opisuje to macierz gęstości . Operatory opisu-
Ć
jące wielkości fizyczne muszą być hermitowskie. Spełniają one równanie (twierdzenie spektralne): Ś� = �,
gdzie  " R to wartość wielkości, jaką możemy zmierzyć, zaś � to funkcja stanu układu w momencie pomiaru.
Ć
 to jedyne możliwe wartości, które można otrzymać w wyniku pomiaru Ś. � to tylko nasza wiedza o układzie,
nie zaś obiekt istniejący rzeczywiście.39 Twierdzenie spektralne mówi, iż wartości własne są dwóch rodzajów 
dyskretne, bądz
ciągłe. Dla spektrum dyskretnego (dla hamiltonianu: En < 0) funkcje własne należą do zbioru
funkcji całkowalnych z kwadratem: �n " L2(R2). Dla ciągłych spektrum funkcje własne są anormalne40, nie
+
należą do L2(R2). Są one normalizowalne dopiero na gruncie dystrybucji - do delty Diraca. Wówczas �E:
"�
2k2
Ek = . Ewolucja czasowa funkcji falowej dana jest równaniem Schr�dingera: i = $
�. Jest to rów-
2m "t
nanie różniczkowe cząstkowe. Jedyną znaną ścisłą metodą rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych
jest separacja zmiennych. Gdy nie da się równań w ten sposób rozwiązać, to dokonujemy rachunku zaburzeń,
czyli rozdzielenia hamiltonianu na część dużą (o rozwiązaniu znanym) i część małą - zaburzenie. W mechanice
"V
kwantowej, tak jak i w klasycznej, obowiązuje Twierdzenie Noether. Dla �(r, t), przy potencjale V : = 0
"t
można dokonać separacji:
�(r, t) = f(t)�E(r) = e-iEt/ �e(r).

n
�(r, t) = cne-iE t/ �E(r) jest najogólniejszym rozwiązaniem równania Schr�dingera dla potencjału nieza-
n
leżnego od czasu. Dla t = 0:

�(r, t = 0) = �0(r) = cn�E(r),
n

cn = �E |�0 = d3r�0(r)�" (r).
n En
39
David Bohm istotnie z tym polemizuje - patrz  Quantum Mechanics ,  Ukryty porządek , oraz prace nt. teorii parametrów ukrytych.
(przyp. R.K.)
40
czyli po prostu nienormalne. (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola dz
więku i podsumowanie wykładu. 82
Kolejna część twierdzenia spektralnego: wektory własne stanowią bazę w przestrzeni Hilberta, czyli każdy stan
daje się przedstawić jako kombinacja liniowa stanów (wektorów) własnych. Operatory momentu pędu nie komu-
tują ze sobą. Problem atomu wodoru jest jednym z nielicznych problemów, które w mechanice kwantowej dają
się ściśle rozwiązać. Dla elektronu w atomie wodoru otrzymaliśmy następujące funkcje własne operatora energii:
�E(r, �, �) = �nl(r)Ylm(�, �).
Otrzymane przy okazji harmoniki kuliste Ylm są funkcjami własnymi operatora momentu pędu:
L2Ylm = l(l + 1)Ylm l = 0, 1, . . .
Ć
LzYlm = mYlm m = -l, . . . , l
1
Są to jawne rowiązania dla atomu wodoru, czyli dla potencjału V (r) = ą . Aby znalez
ć funkcję falową dla
r
której dwie obserwable mają dokładne wartości w tym samym pomiarze, musi być spełniony warunek komu-
Ć
tacji (równego zeru komutatora operatorów reprezentujących te obserwable): [�, B] = 0. Z faktu [x, px] = i
Ć Ć

wynika zasada nieoznaczoności Heisenberga: x px , opisująca relację pomiędzy pędem a położeniem.
2
Jedynym obliczeniowym wglądem w skomplikowaną rzeczywistość jest rachunek zaburzeń. Cząstki elementarne
mikroświata mają masę oraz spin, czyli wewnętrzny moment obrotowy. Cząstki mogą posiadać wewnętrzny mo-
ment pędu, zatem jakimś operatorem trzeba go reprezentować. Cząstki ze spinem mogą mieć kwantową liczbę
1 3
spinową s = 0, , 1, , 2, . . . Cząstki o spinie całkowitym zwiemy bozonami. Funkcja falowa dla bozonów musi
2 2
być symetryczna: �sym. Spin ułamkowy mają zaś fermiony. Ich funkcja falowa jest �antysym. Zachodzi zakaz
Pauliego: żadne dwa fermiony nie mogą mieć tej samej funkcji falowej.
26.1 Jako rzecze Feynman
Według Feynmana (w oparciu o książki Diraca) mechanika kwantowa dotyczy propagatora: U(xB, tB, xA, tA).
Prawdopodobieństwo określa się oczywiście przez |U|2. Jaka jest amplituda prawdopodobieństwa tego, że cząstka
znajdzie się ze stanu (xA, tA) w stanie (xB, tB)? Feynman rzecze:
(xB,tB)
b

i
dtL(�(t),x(t))

a
U(xB, tB, xA, tA) = D[x(t)]e .
(xA,tA)
Cząstka może się poruszać po wszystkich drogach - zatem trzeba po nich przecałkować. Całki po drogach wymyślone
były do opisu ruchów Browna. Teoria tych całek jest bardzo trudna, więc to, co się udało policzyć, to tylko całka z
gaussa razy wielomian. Feynman udowodnił, że jego opis jest równoważny z  klasyczną mechaniką kwantową.
26.2 Od kronikarzy
To już ostatnia strona notatek z wykładu. W tym miejscu chcielibyśmy postawić \end{document}, co też za
chwilę uczynimy. Jednak przedtem chcemy przeprosić za wszelakie błędy, ewentualnie znajdujące się w tych
notatkach (a zwłaszcza za daleką nieidealność rysunków, jednakowoż wykonanie ich w sposób zadowalający
pochłania ogromne ilości czasu rzeczywistego, zaś my funkcjonujemy wyłacznie w urojonym). Wynikają one z
powodu TEX owania o 2 w nocy, kiedy to pojęcie błędu, a w ogólności egzystencji jako takiej, staje się wysoce ni-
etrywialne, nawet w drugim rzędzie rachunku zaburzeń (emocjonalnych). Przepraszamy. I jednocześnie życzymy
wszystkim
Szczęśliwego kwantowania!
41
\end{document}
41
A ja mam jeszcze nadzieję na butelkę wina czerwonego półwytrawnego! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola dz
więku i podsumowanie wykładu. 83
26.3 Appendix
Oto bonusowy rysunek p. Anny Kauch wyjaśniający niejedne zawiłości problemu normalizacji wektora stanu w
rachunku zaburzeń.