LICZBA ZESPOLONA to uporządkowana para liczb rzeczywistych ( x, y).
POSTAĆ ALGEBRAICZNA (KANONICZNA) liczby zespolonej z = x + iy, gdzie i - tzw. jednostka urojona spełniająca warunek i 2 = − 1, x - część rzeczywista (oznaczana Re( z)), y - część urojona (oznaczana Im( z)) liczby zespolonej z.
SPRZĘŻENIE liczby zespolonej z = x − iy.
p
MODUŁ liczby zespolonej |z| =
x 2 + y 2.
ARGUMENT liczby zespolonej Arg( z) - każda liczba φ spełniająca warunki: cos φ = x , sin φ = y .
|z|
|z|
ARGUMENT GŁÓWNY arg( z) - argument z przedziału ( −π, π]
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA liczby zespolonej z = |z|(cos φ + i sin φ), gdzie φ - dowolny argument liczby zespolonej z.
WZÓR MOIVRE’A dla n ∈ N .
zn = |z|n(cos nφ + i sin nφ) PIERWIASTKI n-tego stopnia.
Dla każdej liczby zespolonej z 6= 0 istnieje n różnych pierwiastków zespolonych n - tego stopnia z liczby z.
√
φ + 2 kπ
φ + 2 kπ
n z = n
p |z| cos
+ i sin
gdzie k = 0 , 1 , . . . n − 1
n
n
MNOŻENIE I DZIELENIE liczb zespolonych z 1 = |z 1 |(cos φ 1 + i sin φ 1), z 2 = |z 2 |(cos φ 2 + i sin φ 2) z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | cos( φ 1 + φ 2) + i sin( φ 1 + φ 2)
z 1
|z 1 |
=
cos( φ 1 − φ 2) + i sin( φ 1 − φ 2)
z 2
|z 2 |
Zad 1 Podane liczby zespolone przedstawić w postaci algebraicznej.
(1+ i)3
a) (3 i − 1)( i + 3) d)
2+ i
b) (2 − i)(2 + i)(3 i + 5) e) 2 −i + 1+ i
3+2 i
2 i− 3
c)
2
f) 2 −i 3+ i 4+2 i 5
2 i+1
1+ i+ i 5
Zad 2 Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej.
√
√
a) 2
e) 1 + i
i) −
6 + i
2
b) − 2
f) 1 − i
j) 1+ i
i
√
√
c) 6 i
g) 3 − 3
3 i
k) i −
3
√
d) − 6 i
h) 1 +
3 i
Zad 3 Wyznaczyć:
a) Re
2 −i
e) Re[ i(1 + i)]2
3+ i
b) Im[(2 i − 1)(3 − i)]
f) Im|(2 + 3 i)55 |
c)
2 −i
2 −i
2+3 i
g) 2+ i
d) i( i + 1)( i + 3) h)((2 − 3 i)2 − (1 − i)2
Zadania do samodzielnego rozwiązania: K. i T. Jankowscy ”Zadania z matematyki wyższej”
Zadania: 1-36, 51-86 str. 7-9