Mówimy, że układ wektorów v 1 , v 2 , . . . , vn ∈ V jest liniowo niezależny jeśli: k 1 v 1 + k 2 v 1 + · · · + knvn = 0 ⇒ k 1 = k 2 = . . . = kn = 0
Jeśli układ wektorów nie jest liniowo niezależny to mówimy, że jest to układ
liniowo zależny.
Przykłady
1. Wektory (1 , 2 , 3 , 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (1 , 0 , 0 , 0) są liniowo niezależne w przestrzeni 4
R .
2. Wektory (1 , 1 , 1 , 1) , (2 , 3 , 4 , 5) , (3 , 4 , 5 , 6) są liniowo zależne bo: (1 , 1 , 1 , 1) + (2 , 3 , 4 , 5) − (3 , 4 , 5 , 6) = (0 , 0 , 0 , 0) .
3. Wektory 1 , x, . . . , xn są liniowo niezależne w przestrzeni R[ x].
4. Funkcje sin x, cos x są liniowo niezależne w przestrzeni C.
5. Jeśli wśród wektorów v 1 , v 2 , . . . , vn jest wektor zerowy to układ ten jest
liniowo zależny. Jeśli w układzie tym dwa wektory się powtarzają to też są
liniowo zależne.
6. Można też mówić o liniowej niezależności jednego wektora v, a mianowicie:
wektor v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy v 6= 0.
Rozpatrzmy jeszcze jeden przykład:
Sprawdzimy, czy wektory (1 , 1 , 1 , 1), (2 , 1 , 2 , 1), (2 , 3 , 4 , 1), (1 , 2 , 3 , 4) są liniowo niezależne w przestrzeni
4
R . Musimy sprawdzić dla jakich x, y, z, t liniowa
kombinacja: x(1 , 1 , 1 , 1) + y(2 , 1 , 2 , 1) + z(2 , 3 , 4 , 1) + t(1 , 2 , 3 , 4) jest równa ze-ro. Zadanie to sprowadza się do badania rozwiązalności układu równań:
x + 2 y + 2 z + t = 0
x + y + 3 z + 2 t = 0
x + 2 y + 4 z + 3 t = 0
x + y + z + 4 t = 0
układ ten można zapisać w postaci macierzowej:
1 2 2 1 x
0
1 1 3 2 y
0
=
1 2 4 3 z
0
1 1 1 4
t
0
Zauważmy, że kolumnami macierzy współczynników są po prostu wyjściowe
wektory. Wiemy z teorii równań jednorodnych, że nasz układ równań ma
1
dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy
1 2 2 1
1 1 3 2
det
6= 0
1 2 4 3
1 1 1 4
A to oznacza, że wektory (1 , 1 , 1 , 1) , (2 , 1 , 2 , 1) , (2 , 3 , 4 , 1) , (1 , 2 , 3 , 4) są liniowo niezależne wtedy i tylko tedy gdy
1 2 2 1
1 1 3 2
det
6= 0
1 2 4 3
1 1 1 4
Ogólnie rozpatrzmy n wektorów v 1 , v 2 , . . . , vm w przestrzeni Kn. Niech A będzie macierzą, której kolumnami są wektory v 1 , v 2 , . . . , vm. Wtedy mamy:
1. Jeśli n = m to wektory v 1 , v 2 , . . . , vn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy det A 6= 0.
2. Wektory v 1 , v 2 , . . . , vn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy r( A) =
m.
Pojęcie liniowej niezależności można uogólnić na nieskończone zbiory wek-
torów. Niech A ⊂ V będzie podzbiorem w przestrzeni V . Będziemy mówić,
że zbiór ten jest liniowo niezależny jeśli każdy skończony układ a 1 , a 2 , . . . , an
różnych wektorów ze zbioru A jest liniowo niezależny.
Następnie pokażemy przykład nieskończonego zbioru liniowo niezależne-
go.
Przykład Zbiór A = {(1 , 0 , 0 , . . . ) , (0 , 1 , 0 , . . . ) , . . .} jest zbiorem liniowo niezależnym w przestrzeni RN.
Baza przestrzeni liniowej
Zbiór B ⊆ V nazywamy bazą przestrzeni liniowej V jeśli
1. V = Lin( B),
2. zbiór B jest liniowo niezależny.
Twierdzenie 1 Jeśli B jest bazą przestrzeni liniowej V to każdy wektor ma
jednoznaczne przedstawienie w postaci liniowej kombinacji elementów zbioru
B.
2
Będziemy mówić, że zbiór B jest maksymalnym zbiorem liniowo nie-
zależnym w przestrzeni V , jeśli B jest liniowo niezależny i każdy zbiór za-
wierający B jest liniowo zależny.
Będziemy mówić, że zbiór B jest minimalnym zbiorem generatorów
przestrzeni V , jeśli V = Lin( B) i dla każdego podzbioru B 1 B mamy V 6= Lin( B 1).
Te dwa pojęcia dają równoważne definicje bazy przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 2 Następujące warunki są równoważne:
(i) zbiór B jest bazą przestrzeni V ,
(ii) zbiór B jest minimalnym zbiorem generatorów przestrzeni V ,
(iii) zbiór B jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym przestrzeni V .
Dowód
(i) ⇒ (ii) Niech b ∈ B. Ponieważ B jest zbiorem liniowo niezależnym to
wektora b nie da się wyrazić przy pomocy innych wektorów ze zbioru B. Za-
tem jeśli B 1 jest właściwym podzbiorem zbioru B to B 1 nie może generować
przestrzeni V bo wektory należące do B \ B 1 nie należą do Lin( B 1).
(ii) ⇒ (iii) Zbiór B musi być liniowo niezależny (gdyby był liniowo zależny
to można by go było zmniejszyć otrzymując mniejszy zbiór generatorów).
Ponieważ B jest zbiorem generatorów to każdy wektor z V da się wyrazić jako
liniowa kombinacja wektorów z B, a więc zwiększenie zbioru B spowoduje
”utratę” liniowej niezależności.
(iii) ⇒ (i) Zbiór B jest liniowo niezależny i jeśli v ∈ V \ B to zbiór B ∪ {v}
jest liniowo zależny (wynika to z maksymalności B), a więc v można wyrazić
jako liniową kombinację elementów zbioru B. To oznacza, że B jest również
zbiorem generatorów, a więc jest bazą.
Przykłady
1. Układ (1 , 0 , 0 , 0), (0 , 1 , 0 , 0), (0 , 0 , 1 , 0), (0 , 0 , 0 , 1) jest bazą przestrzeni 4
R .
2. Układ wektorów e 1 = (1 , 0 , . . . , 0), e 2 = (0 , 1 , . . . , 0), . . . , en = (0 , 0 , . . . , 1) jest bazą przestrzeni Kn. Bazę tą będziemy nazywać bazą kanoniczną (albo
standardową) przestrzeni Kn.
3. Układ (1 , 1 , 1 , 1), (1 , 1 , 1 , 0), (1 , 1 , 0 , 0), (1 , 0 , 0 , 0) również jest bazą przestrzeni
4
R
4. Przestrzeń R[ x] ma bazę: 1 , x, x 2 , x 3 , . . . .
5. Układ A = {(1 , 0 , 0 , . . . ) , (0 , 1 , 0 , . . . ) , . . .} jest zbiorem liniowo niezależnym w przestrzeni RN ale nie jest bazą bo na przykład wektora (1 , 1 , 1 , . . . ) nie
da się zapisać w postaci liniowej kombinacji wektorów ze zbioru A (gdyż w
Lin( A) znajdują się tylko skończone liniowe kombinacje!!!).
6. Przestrzeń C nad ciałem C posiada bazę, która składa się z wektora 1.
7. Przestrzeń C nad ciałem R posiada bazę, która składa się z wektorów 1 , i.
3
Twierdzenie 3 (Steinitz) Jeśli układ v 1 , v 2 , . . . , vn jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K i układ wektorów u 1 , u 2 , . . . , um jest układem wekto-
rów liniowo niezależnych to:
(i) m ¬ n,
(ii) jeśli m = n to u 1 , u 2 , . . . , um jest bazą przestrzeni V ,
(iii) jeśli m < n to istnieje dokładnie n−m wektorów, które wraz z wektorami
u 1 , u 2 , . . . , um tworzą bazę przestrzeni V .
Twierdzenie 4 Każda niezerowa przestrzeń liniowa posiada bazę.
Wniosek 1 Każdy układ wektorów liniowo niezależnych można uzupełnić do
bazy przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 5 Jeśli przestrzeń liniowa V nad ciałem K posiada bazę, która
ma dokładnie n wektorów to każda inna baza też składa się z n wektorów.
Wymiar przestrzeni liniowej
Wymiarem przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy ilość elemen-
tów dowolnej bazy tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni V oznaczać będziemy
przez dim V . Jeśli wymiar jest skończony to będziemy mówić o przestrze-
ni skończenie wymiarowej. Przyjmujemy, że wymiar przestrzeni zerowej jest
równy 0.
Przykłady
1. dim
3
R = 3,
2. ogólnie dim Kn = n,
3. dim R[ x] = + ∞
Nieformalnie mówiąc wymiarem przestrzeni liniowej jest ilość parametrów
potrzebna do opisu dowolnego wektora danej przestrzeni. Na przekład mówi-
my, że nasza przestrzeń jest trójwymiarowa, bo żeby opisać dowolny punkt
musimy podać trzy parametry (długość, wysokość, szerokość).
Innym przykładem niech będzie przestrzeń Mn,m( K) macierzy o n × m o
współczynnikach z ciała K. Jest to przestrzeń, w której dodawaniem jest
zwykłe dodawanie macierzy, a mnożeniem skalarów z ciała K przez wektory
zwykłe mnożenie stałej przez macierz. Nietrudno jest zauważyć, że aby zdefi-
niować macierz trzeba określić m · n warości, a to oznacza, że dim Mn,m( K) =
m · n.
Twierdzenie 6 Jeśli U, W są podprzestrzeniami skończenie wymiarowej prze-
strzeni V to:
(i) jeśli U ⊂ W to dim U ¬ dim W ,
(ii) U ⊂ W i dim U = dim W wtedy i tylko wtedy gdy U = W .
4
Wniosek 2 Podprzestrzeń przestrzeni skończenie wymiarowej jest przestrze-
nią skończenie wymiarową.
Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej
przestrzeni V to zachodzi wzór:
dim( U + W ) = dim U + dim W − dim( U ∩ W )
Rzeczywiście U ∩ W jest podprzetrzenią przestrzeni U i W . Wtedy dim U ∩
W < ∞. Przestrzeń U ∩ W posiada, więc skończoną bazę v 1 , . . . , vk. Zgodnie z twierdzeniem Steinitza bazę tą można uzupełnić do baz przestrzeni U i
przestrzeni W . Istnieją, więc wektory u 1 , . . . , un i w 1 , . . . , wm, że: v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un jest bazą przestrzeni U ,
v 1 , . . . , vk, w 1 , . . . , wm jest bazą przestrzeni W .
Do dowodu powyższej równości wystarczy sprawdzić, że układ
v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un, w 1 , . . . , wm jest bazą przestrzeni U + W .
Jeśli x ∈ U + W to x = u + w, gdzie u ∈ U , w ∈ W , wtedy u jest liniową kombinacją wektorów v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un, a w liniową kombinacją wektorów v 1 , . . . , vk, w 1 , . . . , wm, a zatem wektor x jest liniową kombinacją wektorów v 1 , . . . , vk, u 1 , . . . , un, w 1 , . . . , wm. Sprawdzimy teraz liniową niezależność.
Rozważmy równanie:
α 1 v 1 + . . . + αkvk + β 1 u 1 + . . . + βnun + γ 1 w 1 + . . . + γmwm = 0
5