Przyjmując oznaczenie układu kartezjańskiego Ox w miejsce
1x2x3
Oxyz, symetryczne tensory (macierze): σ
⎡
σ
σ ⎤
⎡ε
ε
ε ⎤
11
12
13
11
12
13
naprężeń σ i małych odkształceń ε przyjmują formy: σ
σ
⎢
σ
σ ⎥ , ε
ε
⎢
=
=
ε
ε ⎥ .
12
22
23
12
22
23
⎢
⎥
⎢
⎥
σ
⎢
σ
σ ⎥
⎢ε
ε
ε ⎥
⎣ 13
23
33 ⎦
⎣ 13
23
33 ⎦
⎧ σ → σ ,σ → σ , σ → σ , τ → σ , τ → σ , τ → σ
x
11
y
22
z
33
xy
12
yz
23
xz
13
⎪
Zapis ten jest wynikiem konwersji: ⎨
1
1
1
ε → ε , ε → ε , ε → ε , γ → ε , γ → ε , γ →
⎪
ε
x
11
y
22
z
33
xy
12
yz
23
xz
13
⎩
2
2
2
⎧
1
ε =
σ
⎡
−ν σ +σ ⎤
⎪ 11
⎣ 11
( 22
33 )⎦
E
⎪
1
⎪ ε = σ
⎡
−ν σ +σ ⎤
22
⎣ 22
( 33 11)⎦
⎪
E
⎪
1
⎪ ε =
σ
⎡
−ν σ +σ ⎤
33
⎣ 33
( 11 22 )⎦
⎪
Liniowosprężyste równania konstytutywne uzyskują postać: E
⎨
1
1+ν
⎪ ε =
σ =
σ
12
12
12
⎪
2 G
E
⎪
1
1+ν
⎪ ε =
σ =
σ
23
23
23
⎪
2 G
E
⎪
1
1+ν
⎪ ε =
σ =
σ
13
13
13
⎩
2 G
E
Zgodnie z algebrą macierzy (tensorów) macierz – reprezentację tensora, traktować można jako sumę tzw. składnika kulistego, zawierającego na głównej przekątnej jednakowe wyrazy, równe średniej arytmetycznej diagonalnych elementów macierzy danej, oraz tzw. dewiatora - macierzy będącej uzupełnieniem do postaci wyjściowej.
Tensor naprężeń σ podlega więc rozkładowi: σ = σ I + s m
1
1
gdzie σ =
σ +σ +σ
= ∑σ ≡ σ (oznaczenie – reguła sumacyjna Einsteina), m
(
)
3
11
22
33
3
3
ii
ii
i 1
=
⎡1 (σ σ σ
⎤
+
+
0
0
⎢
11
22
33 )
3
⎥
⎡1 0 0⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥
1
tensor kulisty naprężenia σ I σ
0 1 0
⎢
0
σ
σ
σ
⎥
=
=
+
+
m
m
(
0
11
22
33 )
⎢
⎥ ⎢
3
⎥
⎢0 0 1⎥
⎣
⎦ ⎢
⎥
1
⎢
0
0
(σ +σ +σ ⎥
11
22
33 )
⎢⎣
3
⎥⎦
⎡2
1
1
σ
σ
σ
σ
σ
⎤
−
−
⎢
11
22
33
12
13
3
3
3
⎥
⎢
⎥
1
2
1
dewiator tensora naprężenia
⎢
⎥
s = devσ =
σ
− σ + σ − σ
σ
12
11
22
33
23
⎢
3
3
3
⎥
⎢
⎥
1
1
2
⎢
σ
σ
− σ − σ + σ ⎥
13
23
11
22
33
⎢⎣
3
3
3
⎥⎦
Tensor małych odkształceń ε podlega rozkładowi: ε = ε I + e m
1
1
gdzie ε =
ε + ε + ε
= ∑ε ≡ ε (oznaczenie – reguła sumacyjna Einsteina), m
(
)
3
11
22
33
3
3
ii
ii
i 1
=
⎡1 (ε ε ε
⎤
+
+
0
0
⎢
11
22
33 )
3
⎥
⎡1 0 0⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥
1
tensor kulisty ε I ε
0 1 0
⎢
0
ε
ε
ε
⎥
=
=
+
+
m
m
(
0
11
22
33 )
⎢
⎥ ⎢
3
⎥
⎢0 0 1⎥
⎣
⎦ ⎢
⎥
1
⎢
0
0
(ε +ε +ε ⎥
11
22
33 )
⎢⎣
3
⎥⎦
⎡2
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
⎤
−
−
⎢
11
22
33
12
13
3
3
3
⎥
⎢
⎥
1
2
1
dewiator
⎢
⎥
e = devε =
ε
− ε + ε − ε
ε
12
11
22
33
23
⎢
3
3
3
⎥
⎢
⎥
1
1
2
⎢
ε
ε
− ε − ε + ε ⎥
13
23
11
22
33
⎢⎣
3
3
3
⎥⎦
ZADANIE
1. Określić zależność między tensorami kulistymi: naprężeń i odkształceń (praktycznie: podać zależność między wartościami ε i σ
m
m
2. Podać zależność między odpowiadającymi sobie elementami e i (w tym samym miejscu w obu ij
sij
macierzach) dewiatorów odkształceń e i naprężeń s.
Rozwiązania
1− 2ν
1. Dodając stronami pierwsze trzy równania układu ε = f (σ) mamy ε + ε + ε =
σ +σ +σ
.
11
22
33
( 11 22
33 )
E
1− 2ν
Dzieląc obustronnie otrzymane równanie przez 3, otrzymujemy ε =
σ
m
m
E
2. Obliczenie przykładowego wyrazu diagonalnego dewiatora tensora małych odkształceń, np.
11
e
1
1
e =
2ε − ε − ε
=
⎡ 2σ − 2νσ − 2νσ
− νσ
−
+σ −νσ
− ν
− σ −νσ +σ ⎤ =
11
( 11 22 33)
⎣( 11
22
33 )
(
11
22
33 )
(
11
22
33 )⎦
3
3 E
1
=
⎡⎣( + ν )
1+ v
1+ν
2 2 σ + 1
− −ν σ + −1−ν σ ⎤ =
2σ −σ −σ
=
11
(
) 22 (
) 33⎦
( 11 22 33)
11
s
3 E
3 E
E
1+ν
1+ν
Analogicznie
uzyskamy
e =
s ,
=
.
22
22
33
e
33
s
E
E
W przypadku wyrazów pozadiagonalnych zachodzi s = σ , e = ε , i ≠ j , stąd mamy ij
ij
ij
ij
1+ν
1+ν
1+ν
e =
s , e =
s ,
=
.
12
12
23
23
13
e
13
s
E
E
E
1+ν
1
Zachodzi więc ogólna prawidłowość: e =
s =
s
ij
ij
E
2
ij
G