Równanie płaszczyzny: I:



a=[1,1,1]  b=[1,2,−1] P =1, 0,3

0

P= x , y , z 

P 0 P=[ x−1, y , z−3]

∣ x−1 y z−3

1

1

1 ∣=0 ...

1

2

−1

 :−3x2y z=0  n=[−3,2,1]

D=0⇒ plaszczyzna przechodzi przez poczatek ukladu II:

A=1,1,1 B=2,1,3 C =−1,2,0  n=

AB×

AC



AB x

AC =∣ i j k

1

0

2 ∣=[−2,−3,1]

−2 1 −1



AP=[ x −1, y−1, z−1]



AP⋅ n=0⇔−2 x−1−3 y−11 z−1=0

 : 2− x−3y z4

III: (równanie pł. przech przez P0=(2, -1, 1) i prostop do:)

 : 2x− z1=0

=[2,0,−1]

 : y=0

=[0,1,0]

1



n 1

2



n 2



n × 

n =∣ i j k ∣= i0j2k  n=[1,0,2]

1

2

2 0 −1

0 1

0



P 0 P =[ x−2, y1, z−1] 

P 0 P⋅ n=...=0

 : x 2z−4=0

Równanie prostej w przestrzeni: wektor swobodny  v=[ v , v , v ] P = x y z 

x

y

z

0

0,

0, 0

[ x − x y− y z− z ] ∥ [ v , v , v ]

0,

0,

0

x

y

z

[ x − x y− y z− z ]= t⋅[ v , v , v ]=[ tv , tv ,tv ]

0,

0,

0

x

y

z

x

y

z

x − x = t⋅ v x= tv  x

0

x

x

0

y − y = t⋅ v ⇒ y= tv  y , t ∈ℝ

0

y

y

0

z− z = t⋅ v z= tv  z 0

z

z

0

Równanie papametryczne prostej : x  y  z 0

0

0

x− x

y− y

y− y

Postaćkierunkowa prostej : 0 =

0 =

0

v

v

v

x

y

y

Równanie prostej przechodzącej A=(2, 1, -2) i || l1



v =[−1,2,1]

x=−1t

x=−1t2

l :

, t ∈ℝ

l :

, t∈ℝ

1 y=2t

y=2t1

z=1t

z=1t−1

Znaleźć A=(2,3,-6) na płaszczyznę x+2y+z+4=0

A' : l ⊥ ⇒ l∥ n można przyjąć  v= n l

l przechodzi przez Ai jest∥ do  n=[1, 2,1]= v x2y z4=0 x=−12=2

x =1t2

l :

x

y

y

=1t2

=−23

=2t3

⇒ A ' :

⇒

y

z

z

=2t3

=−1−6=−7

=1t−6

z=1t−6

A ' =1,1 , −7

Równanie krawędziowe prostej:

 : A  B  C  D =0

1

1x

1y

1z

1



 : A  B  C  D =0

1 nie∥2

2

2x

2y

2z

2

l : 3x y −5z1=0

np. z= e ∈ℝ wyliczyć 2x3y−8z3=0