a=[1,1,1] b=[1,2,−1] P =1, 0,3
0
P= x , y , z
P 0 P=[ x−1, y , z−3]
∣ x−1 y z−3
1
1
1 ∣=0 ...
1
2
−1
:−3x2y z=0 n=[−3,2,1]
D=0⇒ plaszczyzna przechodzi przez poczatek ukladu II:
A=1,1,1 B=2,1,3 C =−1,2,0 n=
AB×
AC
AB x
AC =∣ i j k
1
0
2 ∣=[−2,−3,1]
−2 1 −1
AP=[ x −1, y−1, z−1]
AP⋅ n=0⇔−2 x−1−3 y−11 z−1=0
: 2− x−3y z4
III: (równanie pł. przech przez P0=(2, -1, 1) i prostop do:)
: 2x− z1=0
=[2,0,−1]
: y=0
=[0,1,0]
1
n 1
2
n 2
n ×
n =∣ i j k ∣= i0j2k n=[1,0,2]
1
2
2 0 −1
0 1
0
P 0 P =[ x−2, y1, z−1]
P 0 P⋅ n=...=0
: x 2z−4=0
Równanie prostej w przestrzeni: wektor swobodny v=[ v , v , v ] P = x y z
x
y
z
0
0,
0, 0
[ x − x y− y z− z ] ∥ [ v , v , v ]
0,
0,
0
x
y
z
[ x − x y− y z− z ]= t⋅[ v , v , v ]=[ tv , tv ,tv ]
0,
0,
0
x
y
z
x
y
z
x − x = t⋅ v x= tv x
0
x
x
0
y − y = t⋅ v ⇒ y= tv y , t ∈ℝ
0
y
y
0
z− z = t⋅ v z= tv z 0
z
z
0
Równanie papametryczne prostej : x y z 0
0
0
x− x
y− y
y− y
Postaćkierunkowa prostej : 0 =
0 =
0
v
v
v
x
y
y
Równanie prostej przechodzącej A=(2, 1, -2) i || l1
v =[−1,2,1]
x=−1t
x=−1t2
l :
, t ∈ℝ
l :
, t∈ℝ
1 y=2t
y=2t1
z=1t
z=1t−1
Znaleźć A=(2,3,-6) na płaszczyznę x+2y+z+4=0
A' : l ⊥ ⇒ l∥ n można przyjąć v= n l
l przechodzi przez Ai jest∥ do n=[1, 2,1]= v x2y z4=0 x=−12=2
x =1t2
l :
x
y
y
=1t2
=−23
=2t3
⇒ A ' :
⇒
y
z
z
=2t3
=−1−6=−7
=1t−6
z=1t−6
A ' =1,1 , −7
Równanie krawędziowe prostej:
: A B C D =0
1
1x
1y
1z
1
: A B C D =0
1 nie∥2
2
2x
2y
2z
2
l : 3x y −5z1=0
np. z= e ∈ℝ wyliczyć 2x3y−8z3=0