*ciało

Niech K będzie zbiorem posiadającym co najmniej dwa elementy. Niech + i ∙ będą działaniami w zbiorze K zwanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem oraz niech będą wyróżnione w zbiorze K dwa elementy nazwane zerem i jedynką i oznaczane symbolami 0 i 1 odpowiednio. Powiedzmy, że K z tymi działaniami i wyróżnionymi elementami 0, 1 jest ciałem, jeżeli spełnione są następujące warunki:

A1. ∀_{a, b ∈ K} a + b = b + a

A2. ∀_{a, b ∈ K} (a+b) + c = a + (b + c)

A3. ∀_a ∈ K a + 0 = a A4. ∀_a ∈ K∃_x ∈ K a + x = 0

A5. ∀_{a, b ∈ K} a • b = b • a A6. ∀_{a, b, c ∈ K} (a•b) • c = a • (b•c)

A7. ∀_a ∈ K a • 1 = a A8. ∀_{a, b, c ∈ K} a • (b+c) = a • b + a • c

A9. ∀_{a ∈ K{0}}∃_y ∈ K a • y = 1

*Podstawowym przykładem ciała jest ciało liczb wymiernych (ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb) Oznaczamy je przez ℚ. Zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłymi działaniami dodawaniem i mnożeniem tworzy ciało. Oznaczamy je przez ℝ i nazywamy ciałem liczb rzeczywistych.

*Ciało liczbowe – Każdy podzbiór K ciała ℝ zawierający liczby 0,1 który jest ciałem ze względu na zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych (obcięte do K) nazywamy ciałem liczbowym.

*Konstrukcja ciała liczb zespolonych w zbiorze ℝxℝ wprowadzamy działania +i∙ przy pomocy wzorów (a₁,b₁) + (a₂,b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂) (a₁,b₁) • (a₂,b₂) = (a₁ • a₂ − b₁ • b₂, a₁ • b₂ + a₂ • b₁) dla dowolnych a₁, a₂, b₁, b₂∈ℝ

* Struktura algebraiczna (ℂ,+,∙,(0,0),(1,0)) tworzy ciało [i² =   − 1]

*Postać trygonometryczna liczby zespolonej z =  |z|(cosφ+i sinφ) z =  |z|(cosArg(z)+i sinArg(z))

*wzór de Moivre’a (cosα + isinα)ⁿ = cosnα + isin nα dla n=1,2,3…

*Pierwiastkowanie liczb zespolonych Jeśli z jest niezerową liczbą zespoloną oraz z =  |z|(cosφ+i sinφ), to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z i wszystkie te pierwiastki dają się ująć wzorem $\omega_{k} = \sqrt[n]{\left| z \right|}\left( \cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\ sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)$, k=0,1…n-1

*zasadnicze twierdzenie algebry – Dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnych liczb zespolonych a₀, a₁, …, a_ntakich, że a_n ≠ 0 równanie algebraiczne a_nzⁿ + a_n − 1z^n − 1 + … + a₁z + a₀ = 0 posiada pierwiastek zespolony

*układ równań liczbowych $\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ \frac{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2}}{\ldots\ldots.. + \ldots\ldots\ldots + \ldots + \ldots\ldots. = \ldots} \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{m} \\ \end{matrix} \right.\ $

Gdzie współczynnik a_ij(dla i=1,…,m ;j=1…, n)

oraz elementy b_i(dla i = 1…,m) należą do ciała K. Układ ten nazywamy jednorodnym, gdy b₁ = b₂ = … = b_m = 0

*równoważne układy równań liniowych posiadają identyczne zbiory rozwiązań * sprzeczny układ równań liniowych nie posiada rozwiązania

*Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu permutacji niewiadomych x₁…x_n dla danego układu który za pomocą operacji elementarnych da się przekształcić do postaci:

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{x_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ c_{1\ k + 1}x_{k + 1} + \ldots + c_{1n}x_{n} = d_{1}}{{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }x}_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ c_{2\ k + 1}x_{k + 1} + \ldots + c_{2n}x_{n} = d_{2}} \\ \frac{{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }x}_{3} + \ c_{3\ k + 1}x_{k + 1} + \ldots + c_{3n}x_{n} = d_{3}}{\ddots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots} \\ {\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }x}_{k} + \ c_{k\ k + 1}x_{k + 1} + \ldots + c_{\text{kn}}x_{n} = d_{k} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Jeżeli d_k + 1 ≠ 0 to układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań a więc na mocy twierdzenia x₁ = d₁, x₂ = d₂, x_n = d_n układ też jest sprzeczny i nie ma rozwiązania. Jeżeli d_k + 1 = 0 i k=n to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Jeżeli d_k + 1 = 0  i k<0 to x_k + 2…x_nsą dowolnymi skalarami (parametrami) zaś pozostałe niewiadome wyliczamy z równań układu

*układ równań liniowych jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy nie posiada rozwiązania

*macierz – Niech K będzie dowolnym ciałem oraz niech n i m będą dowolnymi liczbami naturalnymi. Prostokątną tablicę

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} a_{12} \\ a_{23} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \cdots & \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \end{matrix} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \begin{matrix} a_{m1} & a_{m2} \\ \end{matrix} & \cdots & a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}$utworzoną z elementów a_ijciała K nazywamy mxn macierzą nad ciałem K. Elementy a_ijnazywamy wyrazami macierzy.

*Wyznacznik macierzy kwadratowej A= $\left\lbrack a_{\text{ij}} \right\rbrack_{\begin{matrix} i = 1\ldots \\ j = 1\ldots \\ \end{matrix}}$stopnia n nad ciałem K nazywam następujący element ciała K:

$$\det\left( A \right) = \sum_{f \in S_{n}}^{}{\text{sgn}(f) \bullet a_{1f(1)} \bullet}a_{2f(2)} \bullet a_{\text{nf}(n)} \rightarrow \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right| = a*d - b*c$$

*wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do elementów jednego wiersza(kolumny) dodać odpowiednie elementy innego wiersza(kolumny) pomnożone przez ustalony skalar.

*Laplace’a dla kolumn dla dowolnej macierzy kwadratowej A = [a_ij]stopnia n≥2 nad ciałem K i dla każdego j=1,2…,n zachodzi wzór det(A) = ( − 1)^1 + ja_1jdet(Aij) + ( − 1)^2 + ja_2jdet(A2j) + … + ( − 1)^n + ja_njdet(Anj) *dla wierszy to samo ale zamiast j wstaw „ i” oraz zamień miejscami z cyfrą

*tw. Cramera – Jeżeli wyznacznik główny układu jest różny od zera to układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami Cramera:

$x_{1} = \frac{W_{1}}{W}$ ; $x_{2} = \frac{W_{2}}{W}$ ; $x_{3} = \ \frac{W_{3}}{W}$ Jeżeli zaś W=0, ale W_i ≠ 0 dla pewnego i=1,…n to układ nie posiada rozwiązania.

*tw. Cauchy’ego–Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia nad ciałemK zachodzi wzór det(A•B) = det(A)•det(B)

*odwracanie macierzy – Macierz A∈M_n(K)jest odwracalna tylko i tylko wtedy, gdy det(A)≠0. Jeżeli det(A)≠0 to zachodzi wzór

$A^{- 1} = \frac{1}{det(A)}*D{(A)}^{T}$ Macierze o wyznaczniku ≠0 nazywamy macierzami nieosobliwymi

*przestrzeń liniowa

Niech K będzie dowolnym ciałem V-niepustym zbiorem, w którym określone jest działanie + i operacja ⃘ : KxV V mnożenia przez element z ciała K (przy czym dla a∈K oraz α∈V będziemy pisali a ⃘ α zamiast ((a,α))) oraz wyróżniony jest element 𝛩∈V.

Elementy zbioru V będziemy nazywali wektorami, wektor 𝛩 wektorem zerowym, a elementy ciała K skalarami. Używać będziemy greckich liter do oznaczania wektorów, a łacińskich do oznaczania skalarów.

*def przestrzeni liniowej – Zbiór V (z działaniem +, operacją ⃘ mnożenia przez skalary z ciała K oraz wyróżnionym elementem 𝛩) nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K, jeśli spełnione są następujące warunki (aksjomaty):

A1. ∀_{α, β ∈ V}α + β = β + α A2. ∀_{α, β, γ ∈ V}α + (β+γ) = (α+β) + γ

A3. ∀_α ∈ Vα + θ = α A4. ∀_α ∈ V∃_δ ∈ V α + δ = θ

A5. ∀_{α, β ∈ V}∀_a ∈ K a(α+β) = aα + aβ

A6. ∀_α ∈ V∀_{a, b ∈ K}(a+b)α = aα + bα

A7. ∀_α ∈ V∀_{a, b ∈ K} (a•b)α = a(bα) A8. ∀_α ∈ V 1α = α

*Własności wektorów

**Prawo skracania równości: ∀α,β,γ∈V [α + β = α + γ ⇒ β = γ]

**Dla każdego wektora α ∈ V istnieje dokładnie jeden wektor δ ∈ V taki, że α + δ = Θ.

** Dla dowolnych wektorów α1, α2, . . . , αn ∈ V wzór:

− (α1 + α2 + . . . + αn ) = (−α1) + (−α2) + . . . + (−αn )

** Dla dowolnych wektorów α, β ∈ V istnieje dokładnie jeden wektor γ ∈ V taki, że α + γ = β. Mianowicie γ = β + (−α). Będziemy go nazywali różnicą wektorów α i β i oznaczali przez β − α.

** 0 ⃘α=𝛩 dla dowolnego wektora α∈V

** -α=(-1) ⃘ α dla dowolnego wektora α∈V

** a ⃘ 𝛩=𝛩 dla każdego a∈K

** a ⃘α≠Θ dla dowolnych 0≠a∈K, 𝛩≠α∈V

** (-a) ⃘ α = a ⃘(-α)=-(a ⃘ α) dla dowolnych a∊K, α∊V

** Dla dowolnego a ∊K i dla dowolnych wektorów α₁, α₂…,α_n∊V

a(α₁+α₂+…+α_n) = aα₁ + aα₂ + … + aα_n

** Dla dowolnych a,a₁,…,a_n ∊K α₁, …, α_n ∊V

a(a₁α₁+…+a_nα_n) = (a•a₁)α₁ + … + (a • a_n)α_n

*podprzestrzeń liniowa – Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niepusty podzbiór V₁przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V, jeśli ma on następujące własności:

(1) suma dowolnych dwóch wektorów należących do v₁należy do V₁

(2) jeśli α∊V₁i a∊K, to a ⃘ α V₁

*Podprzestrzenie generowane – tw Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni V. Istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawierająca A

*Tw Niech V₁, V₂, …, V_nbędą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas zbiór

V₁ + V₂ + … + V_n = {α₁ + α₂ + … + α_n : α_iϵV_i dla i=1,2,…,n}

Jest podprzestrzenią przestrzeni V Ponadto

V₁ + V₂ + … + V_n = lin(V₁ ∪ V₂ ∪ … ∪ V_n)

*Tw Dla dowolnych wektorów α₁…α_nprzestrzeni liniowej V nad ciałem K wzór lin(α₁…α_n) = {a₁α₁ + … + a_nα_n : a₁…a_n ∈ K}

*Tw Dla dowolnych podzbiorów X i Y przestrzeni liniowej V nad ciałem K zachodzi wzór lin(X∪Y) = lin(X) + lin(Y)

*def kombinacja liniowa wektorów – Niech α₁,α₂…α_n będą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Powiemy, że wektor α∊V jest kombinacją liniową wektorów α₁,α₂…α_n jeżeli istnieją skalary a₁,a₂…a_n∊K (zwane współczynnikami tej kombinacji) takie,że

α = a₁α₁ + a₂α₂ + … + a_nα_n

*tw Niech X będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V nad ciałem K. wówczas lin(X) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X

*tw Niech α,α₁…,α_n,β₁…β_mbędą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Jeżeli wektor α jest kombinacją liniową wektorów β₁…β_moraz dla i=1,2…m wektor β_ijest kombinacją liniową wektorów α,α₁…,α_n to wektor α jest kombinacją liniową wektorów α,α₁…,α_n

*tw Jeżeli układ wektorów (β₁…β_n) przestrzeni liniowej V nad ciałem K powstaje z układu wektorów (α₁…,α_n) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to lin(β₁…β_n) = lin(α₁…,α_n)

*def Powiemy, że układ wektorów (α₁…,α_n) przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest on liniowo zależny, tzn. ∀_{(α1…,αn)∈K}[a₁α₁ + … + a_nα_n = θ → a₁ = … = a_n = 0]

*def Powiemy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest liniowo niezależny (Lnz), jeżeli każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Zbiór pusty wektorów uważamy za liniowo niezależny.

*tw Dowolny podzbiór liniowo niezależnego zbioru wektorów przestrzeni liniowej jest zbiorem liniowo niezależnym

*tw Jeżeli układ wektorów (β₁…,β_n) przestrzeni liniowej V nad ciałem K powstaje z układu (α₁…,α_n) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych to układ (β₁…,β_n) jest liniowo niezależny ↔ gdy układ (α₁…,α_n) jest liniowo niezależny

*tw Niech X będzie zbiorem liniowo niezależnym wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem K wówczas dla każdego wektora α∊V:

α ∈ lin(X) ↔ [α ∈ X lub zbior X ∪ {α}jest liniowo zalezny]

*Baza przestrzeni liniowej

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Powiemy, że podzbiór X ⊆ V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeżeli X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz dla każdego zbioru liniowo niezależnego Y⊆V takiego, że X⊆Y jest X=Y.

*def Każdy maksymalny liniowo niezależny podzbiór X wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy bazą tej przestrzeni

*tw każdy liniowo niezależny zbiór wektorów X₀przestrzeni liniowej V nad ciałem K można rozszerzyć do bazy X⊇X₀ tej przestrzeni

*tw Każda przestrzeń liniowa posiada bazę.

*tw Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Zbiór X⊆V jest bazą przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz V=lin(X) (tzn.) X generuje V

*tw Niech (α₁…,α_n) będą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas każdy maksymalny (względem liczby elementów) podzbiór liniowo niezależny A zawiera {α₁…,α_n} jest bazą przestrzeni lin(α₁…,α_n)

*tw Niech (α₁…,α_n) będą parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas {α₁…,α_n}jest bazą przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor α należy do V można jednoznacznie zapisać w postaci α = a₁α₁ + … + a_nα_n dla pewnych (α₁…,α_n) należy do K.

*Wymiar przestrzeni liniowej

*Lemat Niech wetory (α₁…,α_n) tworzą bazę przestrzeni V i niech α=a₁α₁ + … + a_nα_n, przy czym a_j≠0. Wówczas wektory α₁…,α_j − 1, α,   α_j + 1, …, α_n też tworzą bazę przestrzeni V

*tw Steinitza o wymianie – Jeśli wektory (α₁…,α_n) tworzą bazę przestrzeni linowej V nad ciałem K, a wektory (β₁…,β_s) są liniowo niezależne to 1) s≤n oraz 2) spośród wektorów (α₁…,α_n) można wybrać n - s wektorów, które łącznie z wektorami (β₁…,β_s) tworzą bazę przestrzeni V.

*def Liczbę elementów dowolnej skończonej bazy przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim_KV lub dimV, jeżeli wiadomo nad jakim ciałem rozpatrujemy przestrzeń V.

*tw Jeżeli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to każda jej przestrzeń W ma wymiar nie większy niż n

*tw Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiary skończonego równoważne są warunki : 1) dimW=dimV, 2) W=V

*tw Niech V₁ i V₂będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. wówczas podprzestrzenie V₁ ∩ V₂ i V₁ + V₂są również skończenie wymiarowe i zachodzi wzór: dim(V₁+V₂) = dimV₁ + dimV₂ −  dim(V₁ ∩ V₂)

*izomorfizmy przestrzeni liniowych

*def Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Powiemym, że przestrzenie V i W są izomorficzne i piszemy V≌W jeżeli istnieje bijekcja f:VW spełniające warunki: 1) ∀_{α, β ∈ V}f(α+β) = f(α) + f(β) i 2) ∀_a ∈ K∀_α ∈ Vf(a α) = af(α) takie przekształcenia f nazywamy izomorficznymi liniowymi..

*tw Niech V i W będą przestrzeniami liniowym8i wymiaru n nad ciałem K wtedy V ≌W. Jeżeli wektory α₁…,α_n tworzą bazę przestrzeni V, zaś wektory β₁…,β_n tworzą bazę przestrzeni W to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm f: VW, że f(α_i)=β_idla i=1…n w szczególności każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią Kⁿ

*wniosek Jeśli α,β są niezerowymi wektorami przestrzeni liniowej V o skończonym wymiarze to istnieje izomorfizm f przestrzeni V na siebie taki że f(α)=β

*tw Niech n≥2 będzie liczbą naturalna niech V₁…,V_n będą przestrzeniami przestrzeni liniowej V następujące warunki są równoważne 1) V_i ∩ (V₁+…+V_i − 1+V_i + 1+…+V_n) = {θ} dla i=1…n; 2) Jeżeli α₁ + … + α_n = θ gdzie α_i ∈ V_i dla i=1…n to α₁ = … = α_n = θ

*def Mówimy że przestrzeń linowa V jest sumą prostą swoich podprzestrzeni V₁…,V_n gdy V=V₁ + … + V_n oraz spełniony jest którykolwiek warunek ( a więc oba warunki) powyższego twierdzenia piszemy wtedy V=V₁ ⊕ … ⊖ V_n.Jesli V = V₁ ⊖ V₂to mówimy że podprzestrzeń V₂jest dopełnieniem liniowym podprzestrzeni V₁w przestrzeni V.

*tw Dla dowolnej podprzestrzeni V₁przestrzeni liniowej V istnieje podprzestrzeń W ⊆V taka, że V=V₁⊖W

*hiperpłaszczyzna liniowa

*def Niech V będzie n wymiarową przestrzenią liniową. Hiperpłaszczyzną liniową przestrzeni nazywamy każdą podprzestrzeń przestrzeni V o wymiarze n-1.

*tw Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K wymiaru n i niech V₁będzie podprzestrzenią wymiaru k wówczas V₁jest częścią wspólną n-k hiperpłaszczyzn liniowych przestrzeni V

*tw Niech L będzie liczbą naturalną niech V₁…,V_L będą hiperpłaszczynami n-wymiarowej przestrzeni liniowej V wówczas dim(V₁ ∩ … ∩ V_L)≥n − L

*podprzestrzenie przestrzeni współrzędnych

*tw podprzestrzeń W przestrzeni Kⁿ wyznaczona przez równanie a₁x₁ + … + a_nx_n = 0 gdzie a₁…,a_n∊K i co najmniej jeden ze współczynników a₁…,a_n jest różny od zera jest hiperpłaszczyzną liniową

*tw Każda hiperpłaszczyzna liniowa W przestrzeni liniowej Kⁿ jest wyznaczona przez pewne równanie a₁x₁ + … + a_nx_n = 0 gdzie a₁…,a_n∊K

*rząd macierz

*Niech A będzie m x n – macierzą nad ciałem K wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni Kⁿ zaś kolumny macierzy A możemy traktować jako wektory przestrzeni K^m Rzędem wierszowym macierzy A nazywamy maksymalną ilość jej liniowo niezależnych wierszy. Natomiast rzędem kolumnowym macierzy A nazywamy maksymalną ilość jej liniowo niezależnych kolumn. Rząd wierszowy i rząd kolumnowy macierzy A oznaczamy odpowiednio symbolami r_w(A) i r_k(A)

Z tego określenia wynika od razu że dla dowolnej macierzy A:

r_w(A) = r_k(A^T)oraz r_k(A) = r_w(A^T)

Ponadto z określenia rzędu macierzy mamy natychmiast że

r_w(0m x  n) = r_k(0m x n) =  0

*lemat Jeśli do pewnego wiersza macierzy dodamy inny jej wiersz pomnożony przez dowolny skalar to rząd kolumnowy tej macierzy nie ulegnie zmianie

*lemat Jeśli do pewnej kolumny macierzy dodamy inną jej kolumnę pomnożoną przez dowolny skalar to rząd wierszowy tej macierzy nei ulegnie zmianie

*lemat Niech m,n≥2 i niech A=[a_ij] będzie m x n macierzą nad ciałem K taką, że dla pewnych s,t jest a_st≠ 0 oraz 0 oraz a_it=0 dla wszystkich i≠s i a_sj=0 dla wszystkich j≠t wówczas oraz r_k(A) = 1 + r_k(A_st) oraz r_w(A) = 1 + r_w(A_st)

*tw rząd kolumnowy dowolnej macierzy równy jest jej rzędowi wierszowemu

*metody obliczania rzędu macierzy

*tw Operacje elementarne wykonywane na wierszach lub kolumnach macierzy nie zmieniają jej rzędu

*tw dla dowolnej macierzy A:r(A)=r(A^T)

*tw Niech A=[a_ij] będzie taką m x n macierzą na ciałem K że a_kl≠0 dla pewnych k,l oraz a_il=0 dla wszystkich i≠k wtedy r(A)=1+r(A_kl)

*tw Niech A=[a_ij] będzie macierzą kwadratową stopnia n nad ciałem K wówczas równoważne są warunki 1) r(A)=n, 2) det(A)≠0

*def Niech A będzie m x n macierzą nad ciałem K oraz niech k będzie liczbą naturalną taką że k≤min{m,n} Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k która powstaje z macierzy A przez wykreślenie m-k wierszy oraz n-k kolumn

*tw rząd niezerowej macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi jej niezerowego minora

*KRONECKERA-CAPELLIE’GO

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ \frac{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2}}{\ldots\ldots.. + \ldots\ldots\ldots + \ldots + \ldots\ldots. = \ldots} \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{m} \\ \end{matrix} \right.\ $

Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy r(A)=r(A_u) ponadto układ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy r(A)=r(A_u)=n

To jest już koniec nie ma już nic… Jesteśmy wolni możemy ZDAĆ!

By Dj_Aicid