Układ równao, a jego interpretacja geometryczna:

1. Zbudowad macierz i rozwiązad Gaussem.

2. Zapisad rozwiązanie w elegancki sposób

gdzie C i K to jakaś liczba. Oznacza to, że interpretacją
naszego układu równao jest prosta o wektorze
kierunkowym z C, przechodząca przez punkt o
współrzędnych K. Wyjątkowo K może nie wystąpid w
rozwiązaniu. Czyli uznajemy to za punkt (0,0).

Wzory:

(długośd)

(iloczyn skalarny)
(il. wektorowy)

(na kąt między wektorami)

(na odległośd punktu P od prostej)

(pole równoległoboku)

(pole trójkąta)

Teoria:

Rzut ortogonalny to punkt, że wektor między punktami P i
P’ jest prostopadły do prostej/płaszczyzny.
Macierz ortogonalna – po pomnożeniu przez macierz
transponowaną, daje macierz jednostkową.

Kolumny/wiersze są ortogonalne. Długośd każdej kolumny
jest 1.
Układ wektorów ortogonalnych są liniowo niezależne.
Własnośd ortogonalności = liniowa niezależnośd.
Baza ortonormalna – wektory wzajemnie prostopadłe, ich
długośd 1.
Parami ortogonalne gdy iloczyn skalarny wektorów = 0.

Wyznaczyd płaszczyznę; dane 3 pkt:

1. Punkty muszą spełniad równanie .

Wstawid do tego punkty. Otrzymamy 3 równania.

2. Macierz, Gauss. Wyznaczamy ABCD.
3. Gdy wyszedł parametr, za t wstawid 1. ABCD wstawid do

równania z pkt 1.

Wyznaczyd płaszczyznę. Dany punkt P i 2 wektory:

1. Sprawdzid czy wektory są liniowo niezależne.
2. Jeśli nie, wstawid do wzoru
3. Robimy macierz, Gauss. Pytamy się, kiedy to będzie

oznaczone? Z reguły, wiersz, który się wyzerował po prawej
stronie ma coś z

TO musi się równad 0, bo układ ma

byd oznaczony. Powstał warunek. Warunek to płaszczyzna.

Wyznaczyd odległośd między prostymi:

1. Mając dwie proste w postaci eleganckiej, wyznaczyd 2

punkty (jeden z jednej i drugi z drugiej). Czyli punkt ma
postad taką „zlepioną” np. (2-3t,4+t) gdzie 2 i 4 pochodzą ze
współrzędnych punktu, a -3 i 1 z wektora kierunkowego.

2. Tworzymy z nich wektor P’P czyli od kolejnych

współrzędnych punktu P’ odejmujemy współrzędne punktu
P.

3. Otrzymany wektor ma byd prostopadły do jednego wektora

kierunkowego i do drugiego. Czyli liczymy iloczyn skalarny
wektora P’P z jednym (to ma = 0). Tak samo postępujemy z
drugim. Mamy układ równao.

4. Wyliczamy niewiadome i wstawiamy do P’P.
5. Liczymy jego długośd.

Wyznaczyd płaszczyznę. Dane 2 proste:

1. Potrzebne 2 wektory. Możesz wziąd te kierunkowe. Gdy

wychodzi z tego, że proste są równoległe, wyczaruj inny
wektor.

2. W tym celu weź sobie punkty z jednej i z drugiej prostej.

Uwaga, istnieje ryzyko, że proste mogą leżed na sobie. Aby
się tego dowiedzied wstaw punkt do przeciwnej prostej.
Gdy wyszło sprzeczne oznacza to, że proste się nie
pokrywają (gdyby wyszło inaczej, będzie nieskooczenie
wiele takich płaszczyzn i patrzy zagadnienie niżej).

3. Tworzysz wektor P’P.
4. Wstawiamy do naszego eleganckiego wzoru

Przy czym punkt P przenosimy na lewą stronę i
odpowiednio odejmujemy/dodajemy do

a) można

zrobid macierz i sprawdzad kiedy układ oznaczony b) a
można też policzyd wyznacznik i przyrównad go do 0. I tak
otrzymamy równanie płaszczyzny.

Określid położenie prostych względem siebie:

1. Równoległe gdy wektory kierunkowe (to przy t) są takie

same, lub jeden można przedstawid za pomocą kombinacji
liniowej drugiego. Ich iloczyn wektorowy = 0 (wektor
zerowy).

2. Prostopadłe gdy iloczyn skalarny wektorów jest = 0.
3. Skośne (tylko w

lub więcej). Trzeba się dowiedzied czy

proste się przecinają. Mając proste w postaci eleganckiej,
przyrównad do siebie, mając na uwadze, że tam są dwa
różne parametry.

4. Macierz, Gauss. Jak wyszedł układ sprzeczny to znaczy, że

się nie przecinają i są skośne.

Wyznaczyd wszystkie płaszczyzny; dana prosta:

1. Czyli jest to kombinacja liniowa podanych równao.

Wstawiamy do wzoru

2. Wymnażamy przez równania. Robimy porządek, gdzie

wyłączamy przed nawias. Koniec

I Wyznaczyd odległośd prostej od punktu; dany punkt i prosta;

1. Tworzymy punkt P’ leżący na prostej. Współrzędne

bierzemy z eleganckiej postaci prostej. Pamiętajmy, że P’ to
taki „zlepek”.

2. Tworzymy wektor P’P.
3. Pomnożyd skalarnie to przez wektor kierunkowy prostej i

przyrównad do zera. Wyliczyd t.

4. Wstawid do wektora P’P i policzyd jego długośd.

II Wyznaczyd odległośd prostej od punktu; dany punkt i prosta;

1. Bierzesz punkt A z postaci eleganckiej prostej. Za t

wstawiasz 1 i otrzymasz jakieś współrzędne.

2. Potrzebne 2 wektory. Jeden to kierunkowy, drugi sobie

policz jako wektor AP.

3. Liczysz iloczyn wektorowy, a potem długośd.
4. Korzystasz z pola równoległoboku gdzie a to

wektor (domyślnie kierunkowy), h to odległośd.

Wektor X przedstawid za pomocą innych 3 wektorów u,v,w:

1. Sprawdzasz czy wektory są parami ortogonalne.
2. Wstawiasz do wzoru . Ortogonalnośd

mówi o tym, że to można przedstawid na jeden sposób.

3. Korzystając z własności jedności mnożymy skalarnie

obustronnie przez wektor u. Wymnażamy nawias. Robimy
porządek. Zauważamy, że niektóre iloczyny skalarne = 0
(liczyliśmy to w pkt 1).

4. Wyliczamy [NIE WOLNO NIC SKRACAD!] Podobnie

postępujemy z mnożąc wyjściowe równanie przez
kolejne wektory.

5. Na koniec wstawiamy wszystko do wzoru.

Wyznaczyd bazę ortonormalną; dana V=lin{u,v}:

1. Szukamy 2 wektorów. Weź te co są podane w przestrzeni.

Sprawdź czy są ortogonalne. Jeśli nie są, trzeba znaleźd jakiś
inny wektorek X.

2. Przedstawimy go za pomocą kombinacji liniowej tych

wektorów co nam dali, ale zaznaczamy, że tym razem
iloczyn skalarny z wektorem u =0. Wstawiamy do wzoru
.

3. Mnożymy obustronnie skalanie przez u. Wykonujemy

rachunki. Wyszło równanie. I teraz wymyśl sobie takie
by to równanie było prawdziwe.

4. Twoje wstawiasz do wzoru z pkt 2 i wyliczasz w koocu

ten wektor.

5. Teraz V=lin{u,x} Upewniasz się, że są prostopadłe (il. skal.

=0).

6. Znormalizuj wektory czyli podziel przez ich długośd.

Otrzymasz dwa nowe wektory które są bazą ortonormalną

={

}