Program Modes
(Mode Select)

MODE

0:Normal

1:Stat

0:SD

1:Line 2:Quad

3:E_EXP 4:Log

5:Power 6:Inv

7:G_EXP

2:Drill

0:Math

1:Table

3:CPLX

4:Matrix

5:List

6:Equation

0:2-Vle

1:3-Vle

2:Quad

3:Cubic

(Display Option)

Set Up

0:DGR

0:Deg…90 1:Rad...π 2:Grad…100

1:FSE

0:FIX 1:SCI

3:ENG

4:Norm1

5:Norm2

2:Editor

0:W-View

1:Line

3:CTRST

+Darken –Lighten

4:Entry

0:Insert

1:Overwrite

5:Name

˄ ˅:Select

˂ ˃:Move

=: End |

1. Definicja modułu i argumentu liczby zespolonej wraz z interpretacją geometryczną. Postać trygonometryczna i wzór Moivrea. Obliczyć np. : a) (1-i)¹⁰ ; b) (-√3 +i)¹⁵
Def. Modułem liczby zespolonej z=x+iy nazywamy liczbę rzeczywistą R lub $\left| Z \right| = \ \sqrt{x^{2} + y^{2}}\ $ ponieważ $z*\overset{\overline{}}{z} = \left( x + iy \right)\left( x - \text{iy} \right) = \ x^{2} - i^{2}y^{2} = \ x^{2} + y^{2} \rightarrow \ \left| z \right| = \sqrt{z*\overset{\overline{}}{z}}$
Def. Argumentem liczby zespolonej z=x+iy ≠ 0 nazywamy każdą liczbę rzeczywistą φ = Argz spełniającą układ równań: $\cos{\varphi = \frac{x}{\left| z \right|}}\ ,\ \sin{\varnothing = \frac{y}{|z|}}$

Def. Postać trygonometryczna z = |z|(cos⌀+isin⌀)
Def. Wzór Moivrea: zⁿ = |z|ⁿ(cos(n⌀) + isin(n⌀))

Przykład:
a) $\left| z \right| = \sqrt{1^{2} + \left( - 1 \right)^{2}} = \sqrt{2}\text{\ \ \ }\cos\varnothing = \frac{\sqrt{2}}{2}\text{\ \ \ }\sin\varnothing = \frac{1}{2}\ \text{IV}\ cw\text{.\ \ }\varnothing = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = 1\frac{3}{4}\pi$

$${\sqrt{2}}^{10}(\cos\left( 10*\frac{7}{4}\pi \right) + \text{isin}\left( 10*\frac{7}{4}\pi \right) = 2^{5}(\cos\left( 10\pi + 1\frac{3}{4}\pi \right)\ldots = 2\pi - \frac{\pi}{4} = 2^{5}\left( \cos\frac{\pi}{4} - \text{isin}\frac{\pi}{4} \right) = 2^{5}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})$$

$$2^{15}\left( \cos\left( 15*\frac{5}{6}\pi \right) + \text{isin}\left( 15*\frac{5}{6}\pi \right) \right) = \text{mno}z = 14\pi + = 2\pi - \frac{\pi}{6} = 2^{15}( - \cos\frac{\pi}{6} - \text{isin}\frac{\pi}{6}) = 2^{15}( - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$$

$$\omega_{0} = \sqrt[3]{1}\left( \cos 0 + \text{isin}0 \right) = 1\ \ \ \ \ \ \text{\ \ }\omega_{1} = \sqrt[3]{1}\left( \cos{\frac{2}{3}\pi} + \text{isin}\frac{2}{3}\pi \right) = \pi - \frac{\pi}{3} = - \cos\frac{\pi}{3} + \text{isin}\frac{\pi}{3} = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\omega_{2} = \sqrt[3]{1}\left( \cos{\frac{4}{3}\pi} + \text{isin}\frac{4}{3}\pi \right) = \pi + \frac{\pi}{3} = - \cos\frac{\pi}{3} - \text{isin}\frac{\pi}{3} = - \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

3.Twierdzenie podstawowe algebry i własność wielomianu zespolonego współczynnikach rzeczywistych. Znaleźć rozkład wielomianu na czynniki np.: w(z)= z⁴ + 4z³ + 9z² + 16z + 20 wiedząc, że liczba zespolona z1=2ijest miejscem zerowym tego wielomianu.
Def. Każdy wielomian zespolony W(z) stopnia nϵN ma dokładnie n miejsc zerowych w zbiorze liczb zespolonych C. Jeśli liczby zespolone Z₁,Z₂,…,Z_k są miejscami zerowymi n₁,n₂, …,n_k, to można go przedstawić w postaci:

W(z)=a_n(z-z₁)ⁿ¹ * (z-z₂)ⁿ² *…*(z-z_k)^nk, przy czym n₁+n₁+…+n_k=n.
___________________












W(z) = z⁴ + 4z³ + 9z² + 16z + 20 z₁ = 2i;
W(z) = z⁴ + 4z³ + 5z² + 4z² + 16z + 20 = z²(z² + 4z + 5) + 4(z² + 4z + 5) = (z² + 4z + 5)(z² + 4)
Należało podzielić przez z² + 4
(z − 2i)(z + 2i) = z² − (2i)² = z² − (−4) = z² + 4 z₂ = −2i

4. Definicja wyznacznika macierzy. Własności wyznaczników. Korzystając z własności obliczyć wyznacznik macierzy(przyk).
Def. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A o elementach [aij]_nxn
stopnia nєN nazywamy liczbę |A| określoną wzorem rekurencyjnym (rozwinięcie względem pierwszego wiersza).

- wyznacznik macierzy zawierającej wiersz/kolumnę złożony z samych zer jest równy zero.
- wyznacznik macierzy zawierającej dwa wiersze/kolumny proporcjonalne jest równy zero.
- wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej.
- zamiana dwóch wierszy/kolumn macierzy zmienia znak wyznacznika.
- wspólny czynnik z wiersza/kolumny można wyłączyć przed wyznacznik.
- wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, gdy do pewnego wiersza/kolumny dodamy inny wiersz/kolumnę pomnożony przez liczbę.

5. Definicja macierzy odwrotnej. Metoda wyznaczania macierzy odwrotnej. Znaleźć macierz odwrotną macierzy(przyk).

A * A⁻¹ = A⁻¹ * A = 1

3. Wyznaczamy macierz dołączoną macierzy A ze wzoru: A^D = (A^d)^T

4. Wyznaczamy macierz odwrotną do macierzy A ze wzoru: $A^{- 1} = \frac{1}{\left| A \right|}*A^{D}$

6. Definicja rzędu macierzy. Własności rzędu macierzy. Obliczyć rząd macierzy, sprowadzając macierz do postaci bazowej(przyk).

Def. Rzędem macierzy prostokątnej A= |aij|_mxn nazywamy najwyższy stopień podmacierzy kwadratowej macierzy A o wyznaczniku różnym od zera. Rząd oznaczamy przez r(A), liczba ta spełnia nierówności 0 ≤ r(A) ≤ min {m,n}

Własności: Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, gdy:
1. Usuniemy z macierzy wiersz/kolumnę złożony z samych zer.
2. Usuniemy z macierzy 1 z 2 wierszy/kolumn proporcjonalnych.
3. Zamienimy dwa wiersze/kolumny miejscami.
4. Pomnożymy wiersz/kolumnę przez liczbę różną od zera.
5. Do pewnego wiersza/kolumny dodamy inny wiersz/kolumnę pomnożony przez liczbę.

7.Definicja ogólnego układu równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Zbadać rozwiązywalność układu równań liniowych sprowadzając układ do postaci bazowej(przyk).

Def. Układem m równań liniowych o n niewiadomych dla m, n є N nazywamy układ równań postaci:

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + \ a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + \ a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \ldots \\ a_{m1}x_{1} + \ a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{m} \\ \end{matrix} \right.\ $

_________________________
gdzie: aij, bi dla i=1,2,…,m , j=1,2,…,n , są ustalonymi liczbami.
Jeśli b1=b2=...bm=0, to układ nazywamy jednorodnym, a w przypadku przeciwnym – niejednorodnym.
Tw. Kroneckera-Capellego: układ m-równań liniowych o n niewiadomych AX=b
1) ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony) wtedy i tylko wtedy, gdy r(A)=r(Aib) = r i r=n
2) ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony) wtedy i tylko wtedy, gdy r(A)=r(Aib) = r i r<n przy czym rozwiązania zależą od n-r parametrów.
3) nie ma rozwiązania (jest sprzeczny) r(A) ≠ r([A:b]).

8.Definicja i własności iloczynu skalarnego wektorów. Długość wektora i własności długości wektora. Definicje wektorów równoległych, prostopadłych, kąta między wektorami i pola trójkąta rozpiętego na wektorach. Obliczyć kąt miedzy wektorami(przyk).

a * m = |a||m|cos(≮a,m) ; $\left| a \right| = \sqrt{a*a}$; własności: a*b=b*a; prostopadłe gdy a*b=0
9.Definicja iloczynu wektorowego wektorów wraz z interpretacją geometryczną. Metoda obliczania i własności iloczynu wektorowego.
Obliczyć pole i wysokość trójkąta o wierzchołkach(przyk).

Def. Iloczyn wektorowy: $\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b}$ który: $\left| \overrightarrow{a}x\overrightarrow{b} \right| = \left| a \right|\left| b \right|\sin{( \nless a,b)}$, prostopadły do a i b, zgodny z orientacją przestrzeni. Metoda obliczania – macierz (i,j,k…), równoległe, gdy axb=0, axb = -bxa ; axa=0 Pole =|axb|/2
10.Podać definicję iloczynu mieszanego wektorów wraz z interpretacją geometryczną. Znaleźć objętość czworościanu i wysokość h_d o wierzchołkach A,B,C,D(przykład).

Def. Iloczynem mieszanym u,v,w ϵR³ nazywamy liczbę (u,v,w)=(uxv)°w. Moduł iloczynu mieszanego wektorów u,v,w ϵR³ równy jest objętości równoległoboku, rozpiętego na tych wektorach. $V = \frac{1}{6}|\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{b}x\overrightarrow{c} \right)|$

11.Podać definicję bazy w przestrzeni Rⁿ. Wykazać, że zbiór wektorów e₁=[2,1,1] e₂=[3,2,1] e₃=[1,0,1] jest bazą w przestrzeni R³. Znaleźć rozkład wektora a=[2,-3,2] w tej bazie.

Def. Bazą przestrzeni Rⁿ nazywamy Uporządkowany zbiór wektorów e₁, e₂,…,e_n ϵRⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tych wektorów(e₁, e₂,…,e_n)≠0.

12.Definicja płaszczyzny w przestrzeni R³. Postać parametryczna i kanoniczna płaszczyzny. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez(przykład).

Def. Płaszczyzną w przestrzeni R³ przechodzącą przez ustalony punkt Xo=(X1o, X2o, X3o) ϵ R³ i równoległą do ustalonych nierównoległych wektorów u=[u₁,u₂,…,u_n] i v=[v₁,v₂,…,v_n]ϵ R³ nazywamy zbiór punktów HC R³ taki, że XϵHX = Xo + ut + vs dla t, s ϵR.
13.Podać wzory na odległość punktu od płaszczyzny danej w postaci parametrycznej i kanonicznej z objaśnieniami. Znaleźć np.: odległość punktu A=(2,-1,3) od płaszczyzny H: 3x₁-2x₂+4x₃+4=0.

Def. Wzór na odległość punktu Yoϵ R³ od płaszczyzny H przechodzącej przez punkt XoϵH i prostopadłej do wektora w┴H. : $d\left( \text{Yo},H \right) = \frac{\left| \overrightarrow{\text{Wx}}\ \overrightarrow{\text{XoYo}} \right|}{\left| \overrightarrow{W} \right|}$

14.Definicja prostej w przestrzeni R³. Postać parametryczna, kierunkowa i krawędziowa prostej. Znaleźć prostą w tych postaciach przechodzącą przez(przykład).
Def. Prostą w przestrzeni R³ przechodzącą przez ustalony punkt Xo=(X1o, X2o, X3o) ϵ R³ i równoległą do niezerowego ustalonego wektora u=[u₁,u₂,…,u_n] ϵ R³ nazywamy zbiór punktów L C ϵ R³ taki, że: XϵL X=Xo+ut, dla tϵR.

15.Podać wzory na odległość prostych równoległych i skośnych z objaśnieniami. Znaleźć odległość między prostymi np.

Def. Odległość prostych równoległych Lu i Lv przechodzących przez punkty XoϵLu i YoϵLv oraz równoległych do wektora u║Lu ║Lv. : $d\left( \text{Yo},L \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u}x\overrightarrow{\text{XoYo}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$

Def. Odległość prostych równoległych Lu i Lv przechodzących przez punkty XoϵLu i YoϵLv oraz równoległych do wektorów u║Lu i v║Lv.: $d\left( \text{Lu},\text{Lv} \right) = \ d\left( \text{Yo},\text{Lu} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u}x\overrightarrow{\text{XoYo}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$