LICZBY I DZIAŁANIA
Liczby rzeczywiste – wszystkie liczby, ze względu na sposób przedstawiania dzielimy na zbiór liczb wymiernych i nie wymiernych.
L. Niewymierna – są to liczby których nie można zapisać w postaci ułamka o całkowitym liczniku i mianowniku.
L. Wymierna – liczby które można przedstawić w postaci ułamka o całkowitym liczniku i mianowniku.
L. Całkowita – są to wszystkie liczby naturalne i liczby do nich przeciwne.
L. Naturalne – są to wszystkie liczby całkowite dodatnie wraz z zerem.
L. Niecałkowite – liczby wymierne ułamkowe.
L. Przeciwne – Liczby mające tę samą wartość bezwzględna lecz przeciwne znaki.
L. Odwrotne – powstają one poprzez zamianę licznika z mianownikiem
L. Pierwsze – są to liczby które mają tylko 2 dzielniki: 1 i samą siebie.
L. Złożone – są to liczby które mają więcej niż 2 dzielniki.
L. Względnie pierwsze – liczby których jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1
POTĘGI
Mnożenie i dziel potęg o tej samej podstawie:
a²*a³=a²+³
a²/a³=a²-³
Mnożenie i dziel potęg o różnej samej podstawie a tych samych wykł.:
a²*b²=(a*b)²
a²/b²=(a/b)²
Potęgowanie potęgi- jest równa potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym iloczynowi danych wykładników.
(a²)²=a²*²
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym.
a-² = 1/a² np. 4-² = 1/16
PIERWIASTKI
Pierwiastek 2 stopnia
√25=5 5²=25 itp...
Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia.
√25*√4 = √25*4 = √100
√25/√5 = √25/5 = √5
WYKONYWANIE DZIAŁAŃ
- Nawias (zwykły)
[kwadratowy]
{klamrowy}
- Pierwiastkowanie i potęgowanie w kol dowolnej
- Mnożenie i dzielenie w kolejności zapisu
- Dodawanie i odejmowanie w kolejności dowolnej
PROCENTY
- Procent – ułamek o mianowniku 100
- Zamiana procentu na ułamek i odwrotnie
#########################
# *% = */100 np. 24%= 24/100 #
# =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= #
# x/y = x/y *100% np. 5/10*100%=50% #
#########################
- Obliczanie procentu danej liczby
x% liczby x = x
np. 5% liczby 20 =20 *5%=20*5/100=1
-Obliczanie liczby według danego jej procentu
x- szukana liczba
3% * x = 15
3/100 *x=15 / :3/100 podzielić ułamek – pomnożyć przez odwrotność
X=15 *100/3 [skracamy 15 i 3]
X=5*100
X= 500
-Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
Przykład:
:x Jakim procentem 26 osobowej klasy są 2 osoby nie obecne x:
2/26 * 100%=100/13%=7 9/13%
Pojęcia:
Jednomian – Jest to liczba zapisana cyfrą lub litera jak również iloczyn liczb zapisany cyframi i literami. Np.
5 , a , 5a, 25abc , 23xyz
Suma algebraiczna – jest to wyrażenie utworzone poprzez dodawanie do siebie jednomianów.
-Zapisywanie i odczytywanie wyrażeń algebraicznych.
UMIEM xD
-Wyrazy podobne. Redukcja Wyrazów podobnych
Wyrazy podobne – są to jednomiany, które mają taką samą część literową a różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.
5y + 18y +3z +8y+ 2a +3 z+ 2a – 1c= 31y + 6z - 1c
- Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
- Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną.
Np. 3(2x-8c+2s+3x-2j) – 2c ( 2c – 2y ) = 6x – 24 c + 6s + 9x – 6j – 4c2 + 4cy = 15x – 24c + 6s – 6j – 4c2 + 4cy
Proporcja – jest to równość dwóch ilorazów
Własność proporcji – Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.
Wzory Skróconego Mnożenia.
1. Kwadrat Sumy
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Spr. (a+b)2 = (a+b)*(a+b) = a2 + ab + ab + b2 = a2+ 2ab + b2
Odczytanie: Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń równa się sumie kwadratu pierwszego wyrażenia podwojonego iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie i kwadratu drugiego wyrażenia.
2. Kwadrat różnicy
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn podwojonego pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
3. Różnica kwadratów. (a+b)(a-b) = a2 – b2
Różnica kwadratów 2 dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.
Funkcje
Funkcją nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru x dokładnie jednego elementu ze zbioru y. Zbiór x jest dziedziną funkcji czyli zbiorem argumentów. Zbiór y jest przeciw dziedziną funkcji czyli zawiera zbiór wartości funkcji.
Funkcję można określić:
słowami
grafem
wzorem
wykresem
tabelką
Wzorem: x 2x+ 1 co czytamy funkcje argumentowi x przyporządkowuje wartość 2x + 1
F(x) = 2x + 1 – wartość funkcji o nazwie f dla argumentu x wynosi 2x + 1.
Y = 2x + 1 gdzie argumentem jest x a 2x + 1 wartości
Miejsce zerowe funkcji: jest to argument dla którego wartość funkcji jest równa 0.
Monotoniczność funkcji – jest to funkcja np. Malejąca lub rosnąca.
Funkcją rosnącą nazywamy funkcję której wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości.
Funkcją malejącą nazywamy funkcję w której wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości.
Funkcją stałą nazywamy funkcję w której każdemu argumentowi przyporządkowana jest ta sama wartość.
Funkcją liniową nazywamy funkcję w postaci y = ax + b gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.
y = ax + b gdzie y – zmienna zależna
a - współczynnik kierunkowy
x - zmienna niezależna
b - wyraz stały.
Zmienna niezależna – jest elementem dziedziny (czyli argumentem funkcji)
Zmienna zależna – jest wartością funkcji dla danego argumentu x(zależy od niego)
Współczynnik kierunkowy – jest pewną liczbą rzeczywistą, stałą dla danej funkcji i mówi o nachyleniu, gdy a>0 funkcja jest rosnąca, gdy a<0 funkcja jest malejąca, gdy a=0 funkcja jest stała.
Wyraz stały – jest również pewną liczbą rzeczywistą stałą dla danej funkcji. Informuje nas o tym, jakim punkcie wykres funkcji przecina oś Y.
Klasa II
Układ równań, który ma dokładnie jedno rozwiązanie, to układ równań oznaczony lub układ równań niezależnych. Ilustracja takiego układu są 2 proste przecinające się.
Układ równań, który ma nieskończenie wiele par liczb będących jego rozwiązaniem nazywamy układem równań nieoznaczonym, lub układem równań zależnych. Ilustracją graficzną takiego układu są2 proste pokrywające się.
Zbiór współrzędnych punktów tworzących proste to zbiór par liczb będących algebraicznym rozwiązaniem układu nieoznaczonego.
Układ równań, który niema rozwiązań nazywamy układem sprzecznym lub układem równań sprzecznych. Ilustracją graficzną takiego układu są 2 proste równoległe. Nie ma punktów przecinających się.
|a| = a dla a >/ 0 . –a dla a < 0
Proporcjonalnością prostą
Nazywamy zależność między dwoma zmiennymi wyrażoną wzorem
y=ax.
A – wielkość stała i nosi nazwę współczynnika proporcjonalności.
Wykresem proporcjonalności prostej jest linia prosta. W zadaniach posługujemy się a=y/x czyt. W proporcjonalności prostej iloraz zmiennych jest stały.
Np. Wielkościami wprost proporcjonalnymi może być długość obwodu kwadratu i długość boku togo kwadratu. Wielkość stałą nie zależy od wyboru kwadratu.
Proporcjonalnością Odwrotną
Nazywamy zależność między dwoma zmiennymi wyrażoną wzorem y=a/x gdzie a jest wielkością stałą nosi nazwę współczynnika proporcjonalności.
Krzywa która jest wykresem proporcjonalności odwrotnej nazywa się hiperbola. W zadaniach częściej posługujemy się inną formą powyższej równości a=xy
W proporcjonalności odwrotnej iloczyn zmiennych jest stały np. Długość jednego boku prostokąta o ustalonym polu jest odwrotnie proporcjonalne do długości 2 boku, gdyż ab = P – jeżeli wzrasta długość 1 boku to przy stałym polu długość 2 boku musi maleć tyle samo razy.