Definicja macierzy
Macierzą nazywamy funkcję, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje liczbę rzeczywistą.
Funkcja A postaci
A : i
( , j) → aij ,
gdzie i ∈ ,
1
{ ..., m}
, j ∈ ,
1
{ ..., n}, a
∈ R
ij
, jest macierzą A o elementach aij.
1
Macierz będziemy zapisywać w postaci tablicy liczb
a
a
...
a
11
12
1 n
a
a
...
a
21
22
2 n
...
...
...
...
a
a
...
a
m 1
m 2
mn
Macierz krótko zapisujemy też [ a ]
ij
, dodając w razie potrzeby zakres
zmienności dla i oraz j [ a ]
ij m× n .
Macierze oznacza się też literami A, B lub Am× n .
2
a
a
...
a
i 1
i 2
in
nazywamy i-tym wierszem macierzy Am× n , natomiast ciąg elementów a 1 j
a 2 j
...
amj
nazywamy j-tą kolumną macierzy Am× n .
Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie kolumn, tj. m = n, to macierz nazywamy macierzą kwadratową; liczbę m = n nazywamy w tym przypadku stopniem macierzy.
3
Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, w której wszystkie elementy nieznajdujące się na głównej przekątnej są równe zero.
4 0 0 0
0 7 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
Macierz diagonalna, w której wszystkie elementy znajdujące się na głównej przekątnej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4
Transponowanie macierzy
Transponowanie macierzy polega na zamianie wierszy na kolumny, z zachowaniem ich kolejności. Macierz otrzymaną w wyniku tej operacji nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A i oznaczamy AT.
Dodawanie macierzy
Sumą A + B macierzy A × = [ a ]
B × = [ b
m n
ij
i
]
m n
ij
nazywamy macierz
C × = [ c ]
m n
ij
,
której
elementy
spełniają
zależność
c = a + b , i = ,
1 ,
2 ..., m
, j = ,
1 ,
2 ..., n
ij
ij
ij
.
Macierze A i B muszą mieć te same wymiary, aby dodawanie było możliwe.
5
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn k ⋅ A liczby k przez macierz A × = [ a ]
m n
ij
określamy jako
macierz
C × = [ c ]
m n
ij
,
której
elementy
spełniają
zależność
c = k ⋅ a , i = ,
1 ,
2 ..., m
, j = ,
1 ,
2 ..., n
ij
ij
.
Iloczyn −1⋅ A oznaczamy symbolem − A .
Odejmowanie macierzy
Różnicę A – B macierzy A × = [ a ]
B × = [ b
m n
ij
i
]
m n
ij
określamy wzorem
A − B = A + (− B) .
6
Iloczynem A ⋅ B macierzy A × = [ a ]
B × = [ b
m n
ij
przez macierz
]
m n
ij
nazywamy macierz C × = [ c ]
m n
ij
, której elementy spełniają zależność
p
c = ∑ a ⋅ b , i = ,
1 ,
2 ..., m
, j = ,
1 ,
2 ..., n
ij
ik
kj
k 1
=
.
Macierz A można pomnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Przykład
c = a ⋅ b + a ⋅ b
11
11
11
12
21
a
a b
... ..
.
c
... ..
.
11
12 11
= 11
...
... b
... ..
21
.
...
... ..
.
7
Własności działań na macierzach
1) A + B = B + A ,
8) A ⋅ ( B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C , 2) ( A + B) + C = A + ( B + C) , 9) A ⋅ 0 = 0 ,
3) A + 0 = A ,
10) 0 ⋅ A = 0 ,
4) A − A = 0 ,
11) A ⋅ I = A ,
5) k ⋅ ( A + B) = k ⋅ A + k ⋅ B , 12) I ⋅ A = A ,
6) ( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C) , gdzie
I
oznacza
macierz
jednostkową, a 0 macierz zerową.
7) ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C , 8
Każdej macierzy kwadratowej przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba rzeczywista, którą nazywamy wyznacznikiem macierzy i oznaczamy symbolem |A| lub det A, czyli
a
a
...
a
11
12
n
1
a
a
...
a
21
22
2 n
det A |
= A |= ... ... ... ... .
a
a
...
a
n 1
n 2
nn
a
a
A = 11
12
Dla macierzy stopnia drugiego
a
a
wyznacznik jest
21
22
a
a
11
12
A =
= a a − a a
zdefiniowany w następujący sposób:
11
22
12
21
a
a
.
21
22
9
Obliczanie wyznacznika trzeciego stopnia (metoda Sarrusa) Wyznacznik stopnia trzeciego można obliczyć stosując tzw. schemat Sarrusa
a
a
a a
a
11
12
13
11
12
a
a
a
a
a
21
22
23
21
22
a
a
a a
a
31
32
33
31
32
Aby obliczyć wartość wyznacznika stopnia trzeciego, należy obliczyć iloczyny elementów po przekątnych, a następnie zaopatrzyć je w znaki (+) lub (–).
det A = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a 11
22
33
12
23
31
13
21 32
13
22
31
12
21 33
11
23
32
10
Obliczanie wyznacznika stopnia n
Minorem M ij macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A w wyniku usunięcia i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij , które oznaczamy symbolem D
i j
(−
+
)
1
⋅ M
ij , nazywamy iloczyn
ij .
Twierdzenie Laplace’a
Wyznacznik równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego, tzn.
det A = a D
a D
a D
i
i +
i
i
+...+
, 1
in
in
≤ i ≤ n
1
1
2
2
lub
det A = a D
j
j + a
D
j
j + ... + a
D
, 1
nj
nj
≤ j ≤ n
1
1
2
2
.
11
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A, nazywamy taką macierz B, że
AB = BA = I .
Macierz odwrotna do macierzy A istnieje tylko wtedy, gdy macierz A jest macierzą nieosobliwą (czyli jej wyznacznik jest różny od zera).
Jeśli macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A, to piszemy 1
−
B = A . Wówczas
AA−1 = A−1 A = I .
Wzór ten można wykorzystać do wyznaczenia macierzy odwrotnej.
12
Szukanie macierzy odwrotnej przez operacje elementarne Operacją elementarną na macierzy nazywamy każde z następujących przekształceń:
1) przestawienie (zamiana miejscami) dwóch dowolnych wierszy (kolumn),
2) dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny), odpowiednich
elementów
innego
wiersza
(kolumny),
pomnożonych przez dowolną liczbę,
3) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera.
13
Jeżeli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to aby wyznaczyć macierz B = [ A | I ]
odwrotną
1
−
A należy utworzyć macierz blokową
, gdzie I jest
macierzą jednostkową, tego samego stopnia co macierz A.
B = [ A | I ]
Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy
, należy
C = [ I | D]
doprowadzić ją do postaci
. Powstała w ten sposób macierz D
będzie macierzą odwrotną do macierzy A
1
−
D = A .
14
Jeżeli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to macierz odwrotną 1
−
A
można wyznaczyć ze wzoru
1
−
1
T
A
=
D
A
,
gdzie DT oznacza transponowaną macierz dopełnień algebraicznych, czyli
T
D = [ D
i j
D
+
= (− )
1
M
ij ] Tn× n oraz
ij
ij .
15
Układ m równań liniowych o n niewiadomych x1, x2, ..., xn można zapisać w postaci
a x
11 1 + a
x
12
2 + ... + a
x
b
1 n
n =
1
a x
21 1 + a
x
22
2 + ... + a
x
b
2 n
n =
2
............................................
.
a x
a x
... a x
b
m 1 1 +
m 2
2 +
+ mn n = m
Wprowadzając oznaczenia
a
a
...
a
x
b
11
12
n
1
1
1
a
a
...
a
x
b
21
22
2 n
A =
2
X =
2
B
...
...
...
...
M
M
,
,
a
a
...
a
x
bm
n
m 1
m 2
mn
układ ten można zapisać w postaci macierzowej
AX = B .
16
Macierz A nazywamy macierzą współczynników przy niewiadomych lub macierzą układu równań liniowych.
Wektor X nazywamy wektorem niewiadomych, a wektor B wektorem wyrazów wolnych.
Jeżeli wektor B jest wektorem zerowym, to układ równań liniowych nazywany jest układem równań liniowych jednorodnych. Gdy co najmniej jeden element wektora B jest różny od zera, wtedy układ nazywamy układem równań liniowych niejednorodnych.
Ze względu na liczbę rozwiązań układy równań liniowych dzielimy na: 1) układy sprzeczne (brak rozwiązań)
2) układy oznaczone (jedno rozwiązanie)
3) układy nieoznaczone (nieskończenie wiele rozwiązań).
17
Układ n równań o n niewiadomych
a x
11 1 + a
x
12
2 + ... + a
x
b
n
1
n =
1
a x
21 1 + a
x
22
2 + ... + a
x
b
2 n
n =
2
............................................
a x
a x
... a x
b
n 1 1 +
n 2
2 +
+ nn n = n
nazywamy układem Cramera, jeśli rząd macierzy A tego układu jest równy n. Oznacza to, że macierz A tego układu równań jest nieosobliwa.
Ponieważ det A ≠ 0 , więc do macierzy A istnieje macierz odwrotna.
Zatem mnożąc lewostronnie układ przez
1
−
A , otrzymujemy
A−1 AX = A 1
− B .
Uzyskujemy w ten sposób rozwi
1
−
ązanie X = A B metodą za pomocą
macierzy odwrotnej.
18
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem Cramera
det A
det A
det A
x
1
=
x
2
=
x
n
=
1
det A , 2
det A , ..., n
det A ,
gdzie det Aj ( j = 1, 2, ..., n) jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku zastąpienia jej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
19
Model rynku
Model rynku dwu dóbr, w którym występują powiązane ze sobą dobra, może zostać zapisany jako
q
q
0
1
D
− S 1 =
q a a p a p
1
D
= 10 + 11 1 + 12 2
q
b
b p
b p
S 1 =
10 +
11
1 +
12
2
q
q
0
D 2 −
S 2 =
q
a
a p
a p ,
D 2 =
20 +
21
1 +
22
2
q
b
b p
b p
S 2 =
20 +
21
1 +
22
2
gdzie: qD1 – wielkość popytu na pierwsze dobro, qS1 – wielkość podaży pierwszego dobra, qD2 – wielkość popytu na drugie dobro, qS2 –
wielkość podaży drugiego dobra, p1, p2 – ceny pierwszego i drugiego dobra.
20
Układ równań opisujący model rynku może zostać zapisany w postaci macierzowej
Q
A P
B
D =
⋅ +
Q C P D
S =
⋅ +
,
Q
Q
D −
= 0
S
a następnie rozwiązany metodą Cramera (lub inną metodą rozwiązywania układów równań).
21
Prosty model dochodu narodowego składa się z dwu równań współzależnych
Y = C + I 0 + G
0
C = C
.
0 + cY
Po uporządkowaniu można je przedstawić w postaci
Y − C = I
G
0 +
0
− cY + C = C
,
0
gdzie: Y – dochód narodowy, C – konsumpcja, I0 – inwestycje, G0 –
wydatki rządowe, C0 – konsumpcja autonomiczna, c – krańcowa skłonność do konsumpcji.
22
Model ten można przedstawić w postaci macierzowej
1
−
1
Y I
G
0 +
0
⋅ =
− c
1 C
C
,
0
a następnie rozwiązać za pomocą wzorów Cramera (lub innych metod rozwiązywania układów równań).
Rozwiązanie modelu pozwala wyznaczyć poziom konsumpcji i dochodu narodowego przy danym poziomie inwestycji i wydatków rządowych oraz założonym poziomie konsumpcji autonomicznej i współczynnika krańcowej skłonności do konsumpcji.
23