2010/2011, sem. zimowy Podstawowe całki l.p.
f (x)
R f (x)dx
Założenia∗
1.
xα
xα+1 + C
α 6= −1
α+1
2.
1
ln |x| + C
x
3.
ex
ex + C
4.
ax
ax + C
a > 0 ∧ a 6= 1
ln a
5.
sin x
− cos x + C
6.
cos x
sin x + C
7.
1
tg x + C
cos2 x
8.
1
− ctg x + C
sin2 x
9.
1
√
arcsin x + C
1−x2
10.
−
1
√
arccos x + C
1−x2
11.
1
arctgx + C
x2+1
12.
− 1
arcctgx + C
x2+1
Twierdzenie 1 Jeśli funkcje f (x) i g(x) są funkcjami całkowalnymi w zbiorze D oraz c ∈ R , to funkcje f (x) + g(x) oraz c · f (x) są całkowalne w D i prawdziwe są wzory: Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx =
f (x)dx +
g(x)dx,
Z
Z
c · f (x)dx = c ·
f (x)dx.
Twierdzenie 2 (O całkowaniu przez części) Niech funkcje f (x) i g(x) będą różniczkowalne w D . Za-kładamy, że funkcja f (x)g0(x) ma funkcję pierwotną. Wtedy funkcja f 0(x)g(x) ma funkcję pierwotną oraz: Z
Z
f 0(x)g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g0(x)dx.
Twierdzenie 3 (O całkowaniu przez podstawienie) Jeśli funkcja f (x) ma funkcję pierwotną, a funkcja g(x) jest różniczkowalna, to: Z
Z
f (g(x))g0(x)dx =
f (y)dy.
W szczególności, jesli f (x) jest różniczkowalna w pewnym D i f (x) 6= 0, to: Z
f 0(x) dx = ln |f(x)| + C.
f (x)
∗Podane założenia dotyczą parametrów, nie dziedziny funkcji.
1