Całki niewłaściwe

I. Całki niewłaściwe w przedziale nieskończonym.

Niech funkcja f będzie określona w przedziale
i całkowalna w każdej skończonej części
tego przedziału. Granicę
nazywamy całką funkcji f w granicach od a do nieskończoności i oznaczamy symbolem
. W przypadku, gdy granica ta jest skończona, mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.

Poniżej podamy kilka przykładów badania zbieżności całek niewłaściwych.

Rachunki wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Zbadać zbieżność całki

Zgodnie z definicją, liczymy całkę

oraz granicę

Zatem całka jest rozbieżna.

Przykład 2. Zbadać zbieżność całki

Zgodnie z definicją, liczymy całkę

oraz granicę

Zatem całka jest zbieżna.

II. Całki funkcji nieograniczonych.

Jeżeli przedział
zawiera punkt
, w którego otoczeniu funkcja f jest nieograniczona, to całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale
określamy jako

W przypadku, gdy
lub
, znika jeden ze składników.

Przykład 3. Zbadać zbieżność całki

W tym przypadku

Ponieważ

oraz

więc całka jest rozbieżna.

Przykład 4. Zbadać zbieżność całki

Ponieważ
, więc

Zbadajmy zbieżność pierwszej całki:

Rozumując jak w Przykładzie 3 stwierdzamy, że pierwsza całka jest rozbieżna.

Nie ma więc potrzeby badania zbieżności drugiej całki.

Ostatecznie, dana całka jest rozbieżna.

Przykład 5. Zbadać zbieżność całki

Zgodnie z definicją mamy

Ponieważ

oraz

więc nasza całka jest rozbieżna.