5.6. Całki niewłaściwe
Funkcja górnej granicy całkowania
Definicja
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a, b] oraz c
∈
[a, b].
Funkcję F(x) =
∫
x
c
dt
t
f
)
(
, gdzie x
∈
[a, b] nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną całki górnej granicy całkowania.
Twierdzenie
JeŜeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz ciągła w punkcie x
0
tego
przedziału, to dla ustalonego punktu c
∈
[a, b] funkcja F(x) =
∫
x
c
dt
t
f
)
(
, gdzie x
∈
[a, b] ma
pochodną w punkcie x
0
oraz F’(x
0
) = f(x
0
) (czyli pochodna górnej granicy całkowania jest
funkcją podcałkową).
Całki w przedziale nieskończonym
Definicja
Zakładamy, Ŝe f jest funkcją ciągłą ograniczoną w przedziale nieograniczonym. Jest ona
równieŜ całkowalna w kaŜdym przedziale skończonym [a, n] , gdzie a jest daną liczbą, n –
dowolną liczbą.
Całką niewłaściwą funkcji w przedziale [a,
∞
∞
∞
∞
) nazywamy granicę (skończoną)
dx
x
f
A
a
A
)
(
lim ∫
∞
→
, gdy A
∈
(a,
∞
) i zapisujemy ją następująco
dx
x
f
dx
x
f
A
a
A
a
)
(
)
(
lim ∫
∫
∞
→
∞
=
.
Definicje
Zakładamy, Ŝe f jest funkcją ciągłą ograniczoną w przedziale nieograniczonym. Jest ona
równieŜ całkowalna w kaŜdym przedziale skończonym [n , b ] , gdzie b jest daną liczbą, n –
dowolną liczbą.
Całkę niewłaściwą funkcji w przedziale ( -
∞
∞
∞
∞
, b] nazywamy granicę (skończoną)
dx
x
f
b
B
B
)
(
lim ∫
∞
−
→
, gdy B
∈
( -
∞
, b). Zapisujemy
.
)
(
)
(
lim
dx
x
f
dx
x
f
b
B
B
b
∫
∫
−∞
→
∞
−
=
Całkę niewłaściwą funkcji w przedziale ( -
∞
∞
∞
∞
,
∞
∞
∞
∞
) nazywamy sumę granic (skończonych)
∫
∫
∫
∞
→
∞
∞
−
−∞
→
+
=
β
β
β
β
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
lim
)
(
.
JeŜeli granica definiująca całkę niewłaściwą istnieje i jest skończona, to mówimy, Ŝe
całka niewłaściwa jest zbieŜna. W przypadku przeciwnym całkę niewłaściwą nazywamy
rozbieŜną.
Przykład 1.
Zbadaj zbieŜność całki
dx
x
2
1
1
∫
∞
.
Mamy:
dx
x
dx
x
A
A
2
1
2
1
1
1
lim∫
∫
∞
→
∞
=
=
[ ]
[
]
1
1
1
1
1
lim
lim
=
+
−
=
−
−
∞
→
−
∞
→
A
x
A
A
A
Zatem całka ta jest zbieŜna i jej wartość wynosi 1.
Przykład 2.
Zbadaj zbieŜność całki
dx
e
x
∫
∞
−
0
.
Mamy:
więi
e
dx
e
dx
e
B
B
x
B
B
x
,
1
)
1
(
lim
lim
0
0
=
−
=
=
−∞
→
−∞
→
∞
−
∫
∫
całka jest zbieŜna i jej wartość wynosi 1.
Przykład 3.
Rysunek przedstawia obszar D, którego brzegiem
jest prosta o równaniu y = 0 oraz krzywa o
równaniu y =
1
2
4
+
x
x
.
Pole |D| tego obszaru jest równe |D| =
dx
x
x
∫
+∞
∞
−
+
1
|
2
|
4
.
|D| =
dx
x
x
∫
+∞
∞
−
+
1
|
2
|
4
=
−
dx
x
x
∫
∞
−
+
0
4
1
2
+
dx
x
x
∫
+∞
+
0
4
1
2
Obliczamy całkę
dx
x
x
∫
+
1
2
4
przez podstawienie x
2
= t;
mamy dt = 2x dx.
Zatem
dx
x
x
∫
+
1
2
4
=
∫
+
1
2
t
dt
= arc tg t = arc tg(x
2
)
Obliczamy całki:
dx
x
x
∫
∞
−
+
0
4
1
2
=
∫
+
−∞
→
0
4
1
2
lim
B
B
dx
x
x
=
[
]
0
2
)
(
lim
B
B
x
arctg
−∞
→
=
2
π
−
,
dx
x
x
∫
∞
+
0
4
1
2
=
∫
+
∞
→
A
A
dx
x
x
0
4
1
2
lim
=
[
]
A
A
x
arctg
0
2
)
(
lim
∞
→
=
2
π
,
Ostatecznie |D| = - (
2
π
−
) +
2
π
=
π
.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Zbadaj zbieŜność (istnienie granicy, która jest liczbą rzeczywistą) całki niewłaściwej:
a)
dx
x
3
2
3
∫
∞
, b)
dx
x
2
1
2
∫
−
∞
−
, c)
∫
∞
−
3
4
dx
x
, d)
∫
∞
−
5
dx
e
x
.
Zadanie 2.
Zbadaj zbieŜność (istnienie granicy, która jest liczbą rzeczywistą) całki niewłaściwej:
a)
∫
∞
+
0
2
4
2
dx
x
x
, b)
∫
∞
−
−
1
3
52
dx
x
dx
, c)
∫
∞
−
+
+
0
2
)
1
(
1
dx
x
dx
,
d)
∫
∞
∞
−
+
dx
x
9
1
2
, e)
∫
∞
∞
−
+
−
dx
x
x
5
4
1
2
, f)
∫
∞
∞
−
−
dx
e
x
2
.
Odpowiedzi:
Zad. 1.: a)
8
3
; b) 2; c) 9
-2
; d) e
-5
.
Zad. 2.: a)
∞
, rozbieŜna , b)
∞
, rozbieŜna, c)
4
3
π
,
d)
3
π
, e)
∞
, rozbieŜna, f)
∞
, rozbieŜna.