5.6. Całki niewłaściwe
Funkcja górnej granicy całkowania
Definicja
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a, b] oraz c
∈
[a, b].
Funkcję F(x) =
∫
x
c
dt
t
f
)
(
, gdzie x
∈
[a, b] nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną całki górnej granicy całkowania.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz ciągła w punkcie x
0
tego
przedziału, to dla ustalonego punktu c
∈
[a, b] funkcja F(x) =
∫
x
c
dt
t
f
)
(
, gdzie x
∈
[a, b] ma
pochodną w punkcie x
0
oraz F’(x
0
) = f(x
0
) (czyli pochodna górnej granicy całkowania jest
funkcją podcałkową).
Całki w przedziale nieskończonym
Definicja
Zakładamy, że f jest funkcją ciągłą ograniczoną w przedziale nieograniczonym. Jest ona
również całkowalna w każdym przedziale skończonym [a, n] , gdzie a jest daną liczbą, n –
dowolną liczbą.
Całką niewłaściwą funkcji w przedziale [a,
∞
∞
∞
∞
) nazywamy granicę (skończoną)
dx
x
f
A
a
A
)
(
lim ∫
∞
→
, gdy A
∈
(a,
∞
) i zapisujemy ją następująco
dx
x
f
dx
x
f
A
a
A
a
)
(
)
(
lim ∫
∫
∞
→
∞
=
.
Definicje
Zakładamy, że f jest funkcją ciągłą ograniczoną w przedziale nieograniczonym. Jest ona
również całkowalna w każdym przedziale skończonym [n , b ] , gdzie b jest daną liczbą, n –
dowolną liczbą.
Całkę niewłaściwą funkcji w przedziale ( -
∞
∞
∞
∞
, b] nazywamy granicę (skończoną)
dx
x
f
b
B
B
)
(
lim ∫
∞
−
→
, gdy B
∈
( -
∞
, b). Zapisujemy
.
)
(
)
(
lim
dx
x
f
dx
x
f
b
B
B
b
∫
∫
−∞
→
∞
−
=
Całkę niewłaściwą funkcji w przedziale ( -
∞
∞
∞
∞
,
∞
∞
∞
∞
) nazywamy sumę granic (skończonych)
∫
∫
∫
∞
→
∞
∞
−
−∞
→
+
=
β
β
β
β
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
lim
)
(
.
Jeżeli granica definiująca całkę niewłaściwą istnieje i jest skończona, to mówimy, że
całka niewłaściwa jest zbieżna. W przypadku przeciwnym całkę niewłaściwą nazywamy
rozbieżną.
Przykład 1.
Zbadaj zbieżność całki
dx
x
2
1
1
∫
∞
.
Mamy:
dx
x
dx
x
A
A
2
1
2
1
1
1
lim∫
∫
∞
→
∞
=
=
[ ]
[
]
1
1
1
1
1
lim
lim
=
+
−
=
−
−
∞
→
−
∞
→
A
x
A
A
A
Zatem całka ta jest zbieżna i jej wartość wynosi 1.
Przykład 2.
Zbadaj zbieżność całki
dx
e
x
∫
∞
−
0
.
Mamy:
więi
e
dx
e
dx
e
B
B
x
B
B
x
,
1
)
1
(
lim
lim
0
0
=
−
=
=
−∞
→
−∞
→
∞
−
∫
∫
całka jest zbieżna i jej wartość wynosi 1.
Przykład 3.
Rysunek przedstawia obszar D, którego brzegiem
jest prosta o równaniu y = 0 oraz krzywa o
równaniu y =
1
2
4
+
x
x
.
Pole |D| tego obszaru jest równe |D| =
dx
x
x
∫
+∞
∞
−
+
1
|
2
|
4
.
|D| =
dx
x
x
∫
+∞
∞
−
+
1
|
2
|
4
=
−
dx
x
x
∫
∞
−
+
0
4
1
2
+
dx
x
x
∫
+∞
+
0
4
1
2
Obliczamy całkę
dx
x
x
∫
+
1
2
4
przez podstawienie x
2
= t;
mamy dt = 2x dx.
Zatem
dx
x
x
∫
+
1
2
4
=
∫
+
1
2
t
dt
= arc tg t = arc tg(x
2
)
Obliczamy całki:
dx
x
x
∫
∞
−
+
0
4
1
2
=
∫
+
−∞
→
0
4
1
2
lim
B
B
dx
x
x
=
[
]
0
2
)
(
lim
B
B
x
arctg
−∞
→
=
2
π
−
,
dx
x
x
∫
∞
+
0
4
1
2
=
∫
+
∞
→
A
A
dx
x
x
0
4
1
2
lim
=
[
]
A
A
x
arctg
0
2
)
(
lim
∞
→
=
2
π
,
Ostatecznie |D| = - (
2
π
−
) +
2
π
=
π
.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Zbadaj zbieżność (istnienie granicy, która jest liczbą rzeczywistą) całki niewłaściwej:
a)
dx
x
3
2
3
∫
∞
, b)
dx
x
2
1
2
∫
−
∞
−
, c)
∫
∞
−
3
4
dx
x
, d)
∫
∞
−
5
dx
e
x
.
Zadanie 2.
Zbadaj zbieżność (istnienie granicy, która jest liczbą rzeczywistą) całki niewłaściwej:
a)
∫
∞
+
0
2
4
2
dx
x
x
, b)
∫
∞
−
−
1
3
52
dx
x
dx
, c)
∫
∞
−
+
+
0
2
)
1
(
1
dx
x
dx
,
d)
∫
∞
∞
−
+
dx
x
9
1
2
, e)
∫
∞
∞
−
+
−
dx
x
x
5
4
1
2
, f)
∫
∞
∞
−
−
dx
e
x
2
.
Odpowiedzi:
Zad. 1.: a)
8
3
; b) 2; c) 9
-2
; d) e
-5
.
Zad. 2.: a)
∞
, rozbieżna , b)
∞
, rozbieżna, c)
4
3
π
,
d)
3
π
, e)
∞
, rozbieżna, f)
∞
, rozbieżna.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
AM23 w01 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
Calki niewlasciwe
090 Całki niewlaściwe
Calki niewlasciwe
CALKI NIEWLASCIWE2008 id 107240 Nieznany
FiR Całki niewłaściwe
calki niewlasciwe
calki niewlasciwe
AM23 w01 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
w 11 całki niewłasciwe
am1 0708 cz 11 calki niewlasciwe
Sciaga17 Calki niewlasciwe
Całki oznaczone i niewłaściwe
Całki oznaczone i niewłaściwe
Calki oznaczone i niewlasciwe grupa 3
więcej podobnych podstron