CALKI

N I E WLA´

SCI WE

D E FIN ICJA . Za kla d a m y, ˙ze d la ka ˙zd e g o

T > a fu n kc ja f( x) je s t c a lko wa ln a

w p r z e d z ia le

[a, T ]. Je ˙ze li is t n ie je g r a n ic a

lim

T →∞

T

a

f ( x) dx, t o n a z ywa m y j¸a

calk¸a niewla´sciw¸

a funkcji f

( x) w przedziale [a, ∞) i o z n a c z a m y

∞

a

f ( x) dx. Gd y

g r a n ic a t a je s t s ko ´n c z o n a , t o m ´o wim y, ˙ze c a lka je s t z b ie ˙zn a . Za p is u j¸a c kr ´o t ko :

∞

a

f ( x) dx = lim

T →∞

T

a

f ( x) dx.

P o d o b n ie ,

a

−∞

f ( x) dx = lim

T →−∞

a

T

f ( x) dx.

P R ZY K L A D 1 ( c a lka n ie wla ´s c iwa je s t z b ie ˙zn a d o 1 ) .

∞

1

1

x

2

dx = lim

T →∞

T

1

x

−

2

dx = lim

T →∞

−

1

x

T

1

= lim

T →∞

−

1

T

+ 1

= 1 .

P R ZY K L A D 2 ( c a lka je s t rozbie˙zna do +∞) .

∞

1

1

x

dx = lim

T →∞

T

1

1

x

dx = lim

T →∞

ln x

T

1

= lim

T →∞

ln T − ln 1 = ∞

P R ZY K L A D 3 . Ca lka

0

−∞

c o s xdx je s t r o z b ie ˙zn a , g d y˙z n ie is t n ie je g r a n ic a :

lim

T →−∞

0

T

c o s xdx = lim

T →−∞

s in x

0

T

= lim

T →−∞

s in 0 − s in T.

D E FIN ICJA .
Za kla d a m y, ˙ze d la ka ˙zd e g o

c ∈ [a, b)

fu n kc ja f ( x) je s t c a lko wa ln a w [a, c].

P o n a d t o z a kla d a m y, ˙ze

lim

x→b

−

f ( x) = +∞ lu b

lim

x→b

−

f ( x) = −∞. Je ˙ze li

is t n ie je g r a n ic a

lim

c→b

−

c

a

f ( x) dx, t o n a z ywa m y j¸a calk¸a niewla´sciw¸a funkcji

f ( x) w przedziale [a, b) i o z n a c z a m y

b

a

f ( x) dx. Gd y g r a n ic a je s t s ko ´n c z o n a , t o

m ´o wim y, ˙ze c a lka je s t z b ie ˙zn a . Za p is u j¸a c kr ´o t ko :

b

a

f ( x) dx = lim

c→b

−

c

a

f ( x) dx.

P o d o b n ie , je ´s li d la ka ˙zd e g o

c ∈ ( a, b] fu n kc ja f( x) je s t c a lko wa ln a w p r z e d z ia le

[c, b] i je ´s li lim

x→a

+

|f( x) | = ∞, t o calk¸e niewla´sciw¸a funkcji f( x) w przedziale

( a, b] d e fi n iu je m y ja ko

b

a

f ( x) dx = lim

c→a

+

b

c

f ( x) dx.

P R ZY K L A D 1 .

1

0

1

x

dx = lim

c→0

+

1

c

1

x

dx = lim

c→0

+

ln |x|

1

c

= lim

c→0

+

ln 1 − ln c = ∞.

P R ZY K L A D 2 .

0

−

1

1

2

√

−x

dx = lim

c→0

−

c

−

1

1

2

√

−x

dx = lim

c→0

−

−

√

−x

c

−

1

= lim

c→0

−

−

√

c−( −

√

1 )

= 1 .

1