Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Całki niewłaściwe.

1

Chemia - Zestaw 9. Całki niewłaściwe.

• Całka niewłaściwa funkcji f (x) na przedziale nieskończonym:

◦ na przedziale ha, +∞) :

+∞

Z

a

f (x) dx =

lim

B→+∞

B

Z

a

f (x) dx

◦ na przedziale (−∞, bi :

b

Z

−∞

f (x) dx =

lim

A→−∞

b

Z

A

f (x) dx

◦ na przedziale (−∞, +∞) :

∞

Z

−∞

f (x) dx =

d

Z

−∞

f (x) dx +

+∞

Z

d

f (x) dx

(gdzie d może być wybrane dowolnie, np. d = 0)

= (na mocy poprzednich definicji, gdzie przyjęto d = 0) =

lim

A→−∞

0

Z

A

f (x) dx +

lim

B→+∞

B

Z

0

f (x) dx

• Całka niewłaściwa funkcji f (x) nieograniczonej w sąsiedztwie pewnego punktu c ∈ ha, bi :

◦ c = a ⇒

b

Z

a

f (x) dx = lim

ε→0+

b

Z

a+ε

f (x) dx = lim

a

1

→a+

b

Z

a

1

f (x) dx

◦ c = b ⇒

b

Z

a

f (x) dx = lim

ε→0+

b−ε

Z

a

f (x) dx = lim

b

1

→b−

b

1

Z

a

f (x) dx

◦ c ∈ (a, b) ⇒

b

Z

a

f (x) dx =

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx

= (na mocy poprzednich definicji, gdy funkcja jest nieograniczona w lewo- i prawostronnym sąsiedztwie)

= lim

ε→0+

c−ε

Z

a

f (x) dx + lim

µ→0+

Z

b

c+µ

f (x) dx = lim

c

1

→c−

c

1

Z

a

f (x) dx + lim

c

2

→c+

b

Z

c

2

f (x) dx;

jeżeli funkcja f jest nieograniczona tylko w lewo- albo tylko w prawostronnym sąsiedztwie punktu
c, to odpowiednią całkę niewłaściwą (drugi albo odpowiednio pierwszy składnik w sumie) można
zastąpić całką zwykłą, tzn. „właściwą”.

◦ Osobliwości w obu punktach a i b:⇒

b

Z

a

f (x) dx =

d

Z

a

f (x) dx +

b

Z

d

f (x) dx (gdzie d wybrane dowolnie, tak aby a < d < b)

= (na mocy poprzednich definicji)

= lim

ε→0+

d

Z

a+ε

f (x) dx + lim

µ→0+

Z

b−µ

d

f (x) dx

= lim

a

1

→a+

d

Z

a

1

f (x) dx + lim

b

1

→b−

Z

b

1

d

f (x) dx

◦ Ogólnie - jeżeli w całce niewłaściwej występuje więcej niż jedna osobliwość (licząc punkty, w przy-

najmniej jednostronnym sąsiedztwie których funkcja jest nieograniczona i/lub jedną lub dwie nie-
skończone granice całkowania), to całka ta jest, z definicji, sumą całek niewłaściwych takich, że w

Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Całki niewłaściwe.

2

każdej z nich występuje tylko jedna osobliwość, tzn. nieograniczoność funkcji w jednostronnym są-
siedztwie danego punktu lub jedna nieskończona granica całkowania. (Podział punktami pośrednimi,
tzn. rozdzielającymi osobliwości, można tu wybrać dowolnie.) Np. jeżeli a jest skończone, a < c i
funkcja f jest nieograniczona zarówno w lewostronnym, jak i prawostronnym sąsiedztwie punktu c (i

poza punktem c nie ma innych osobliwości w przedziale ha, +∞)), to całka

+∞

Z

a

f (x) dx jest z definicji

sumą trzech całek niewłaściwych o granicach odpowiednio od a do c, od c do d i od d do +∞, gdzie
d jest punktem wybranym dowolnie tak, aby a < c < d < +∞.

1.

Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych i obliczyć je, o ile są zbieżne:

a)

∞

Z

2

1

x

2

+ x − 2

dx

b)

∞

Z

−∞

1

x

2

+ 2x + 2

dx

c)

2

Z

−1

1

(x − 1)

2/3

dx

d)

0

Z

−∞

xe

x

dx

e)

∞

Z

0

arc tg x

(x

2

+ 1)

3/2

dx

f )

∞

Z

1

x ln x

(1 + x

2

)

2

dx

g)

1

Z

0

x ln x

(1 + x

2

)

2

dx

h)

1

Z

0

x + 1

sin

2

x

dx

i)

∞

Z

1

dx

x(x

2

+ 1)

dx

Uwaga. Polecenie zadania jest nieco przewrotne, ponieważ tak naprawdę w trakcie bieżącego wykładu i ćwiczeń
nie podaje się żadnych kryteriów które pozwoliłyby zbadać zbieżność całki niewłaściwej bez jej obliczenia z
definicji jako pewnej granicy. (Kryteria takie istnieją, pozwalają niekiedy rozstrzygnąć zbieżność lub rozbieżność
danej całki mimo że nie da się ona (przynajmniej bezpośrednio, przez znalezienie funkcji pierwotnej) obliczyć.)
Z drugiej strony, jeżeli w poleceniu nie jest wyraźnie podane, że chodzi o całkę niewłaściwą, to grozi to błędnym

potraktowaniem jej jako zwykłej, „właściwej”, np. „Obliczyć całkę

1

Z

−1

1

x

dx”: całka ta jest niewłaściwa i rozbieżna

(osobliwość, z obu stron, w zerze!!), natomiast błędne potraktowanie jej jako całki zwykłej, właściwej prowadzi
do (w istocie bezsensownego) wyniku, że całka ta jest równa zeru.

2.

Policzyć, że dla a < b całka niewłaściwa

b

Z

a

dx

p(x − a)(b − x)

jest równa π.
Wskazówka. Przy liczeniu najwygodniej jest rozbić na

a+b

2

Z

a

dx

p(x − a)(b − x)

+

b

Z

a+b

2

dx

p(x − a)(b − x)

;

z symetrii wynika że wystarczy obliczyć jedną z tych całek, wartość drugiej jest taka sama – obie są równe π/2.
Wyrażenie podpierwiastkowe −x

2

+ (a + b)x − ab można sprowadzić do postaci

 b − a

2



2

−



x −

a + b

2



2

=

 b − a

2



2

"

1 −



2

b − a



x −

a + b

2



2

#

,

więc całka nieoznaczona wyraża się przez arcus sinus. Można również zastosować bezpośrednio trzecie podsta-
wienie Eulera

p(x − a)(b − x) = t(x − a).