Matematyka - wykład
18
Całki niewłaściwe
dr Tomasz Kowalski
Matematyka - wykład
18
Całki niewłaściwe
dr Tomasz Kowalski
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 2 /34
Całka niewłaściwa I rodzaju
Pojęcie całki oznaczonej można rozszerzyć na
przypadki, w których przynajmniej jedna z granic
całkowania jest niewłaściwa.
Mówimy wtedy o całce niewłaściwej I rodzaju.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 3 /34
Całka niewłaściwa I rodzaju
Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale
)
;
a
oraz taką, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka
( ) .
t
a
f x dx
�
Jeżeli istnieje skończona granica:
lim
( ) ,
t
t
a
f x dx
�+�
�
to przyjmujemy ją jako wartość całki
( ) ,
a
f x dx
+�
�
samą zaś całkę nazywamy zbieżną.
W przeciwnym
przypadku całkę
a
dx
x
f )
(
nazywamy
rozbieżną.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 4 /34
Całka niewłaściwa I rodzaju
( ) .
t
a
f x dx
�
y = f(x)
a
t
( )
lim
( )
t
t
a
a
f x dx
f x dx
+�
�+�
=
�
�
X
Y
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 5 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
0
x
e dx
+�
-
�
0
t
x
e dx
-
=
=
�
lim
t�+�
lim
t�+�
=
lim
t�+�
Badana całka jest
zbieżna.
0
t
�
�
=
�
�
�
�
x
e
-
-
(
t
e
-
-
1)
+
0
=
1
+
1
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 6 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
2
1
1
dx
x
+�
�
2
1
1
t
dx
x
=
=
�
lim
t�+�
lim
t�+�
=
lim
t�+�
Badana całka jest
zbieżna.
1
t
�
�
=
�
�
�
�
1
x
-
1
(
t
-
1)
+
0
=
1
+
1
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 7 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
1
1
dx
x
+�
�
1
1
t
dx
x
=
=
�
lim
t�+�
lim
t�+�
=
lim
t�+�
Badana całka jest
rozbieżna.
1
t
�
�
=
�
�
�
�
ln x
(ln t
=+�
ln 1 )
-
{
0
ln 1 )
-
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 8 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
0
cos2xdx
+�
�
0
cos2
t
xdx
=
=
�
lim
t�+�
lim
t�+�
=
lim
t�+�
0
t
�
�
=
�
�
�
�
1
sin2
2
x
1
( sin2
2
t 0)
-
1
lim sin2
2
t
t
�+�
=
Granica ta nie istnieje. Badana całka jest
rozbieżna.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 9 /34
Całka niewłaściwa I rodzaju
Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale
(
;a
- �
oraz taką, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka
( ) .
a
t
f x dx
�
Jeżeli istnieje skończona granica:
lim
( )
a
t
t
f x dx
�- �
�
to przyjmujemy ją jako wartość całki
( ) ,
a
f x dx
- �
�
samą zaś całkę nazywamy zbieżną.
W przeciwnym
przypadku całkę
( )
a
f x dx
- �
�
nazywamy
rozbieżną.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 10 /34
Całka niewłaściwa I rodzaju
( )
a
t
f x dx
�
y = f(x)
a
t
( )
lim
( )
a
a
t
t
f x dx
f x dx
�- �
- �
=
�
�
X
Y
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 11 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
0
2x
e dx
- �
�
0
2x
t
e dx
=
=
�
lim
t�- �
lim
t�- �
=
lim
t�- �
Badana całka jest
zbieżna.
0
t
�
�
=
�
�
�
�
2
1
2
x
e
1
(
2
2
1
)
2
t
e
-
1
2
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 12 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
Badana całka jest rozbieżna.
1
3
2
1
dx
x
-
- �
�
1
2
3
t
x dx
-
-
=
=
�
lim
t�- �
lim
t�- �
=
lim
t�- �
1
t
-
�
�
=
�
�
�
�
3
3 x
( 3
-
3
3 )
t
-
3
=-
+�
=+�
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 13 /34
Całka niewłaściwa I rodzaju
Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale
(
;
).
- � +�
Całkę
( )
f x dx
+�
- �
�
definiujemy jako sumę całek:
( ) ,
a
f x dx
- �
�
gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.
( ) ,
a
f x dx
+�
�
Mówimy, że całka
jest zbieżna, gdy obie
całki:
( )
f x dx
+�
- �
�
są
zbieżne.
( ) ,
a
f x dx
- �
�
( )
a
f x dx
+�
�
W przeciwnym przypadku całkę nazywamy
rozbieżną.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 14 /34
Przykład
Zbadać zbieżność całki:
2
1
.
1 4
dx
x
+�
- �
+
�
0
2
1
1 4
dx
x
- �
+
�
Możemy przyjąć
2
1
1 4
dx
x
+�
- �
=
+
�
0
2
1
1 4
dx
x
- �
+
�
2
0
1
1 4
dx
x
+�
+
+
�
0
2
1
1 4
t
dx
x
=
=
+
�
lim
t�- �
lim
t�- �
=
lim
t�- �
0
t
�
�
=
�
�
�
�
1
arctg2
2
x
(0
1
arctg2 )
2
t
-
4
p
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 15 /34
Przykład
Zbadać zbieżność całki:
2
1
.
1 4
dx
x
+�
- �
+
�
2
0
1
1 4
dx
x
+�
+
�
Możemy przyjąć
2
1
1 4
dx
x
+�
- �
=
+
�
0
2
1
1 4
dx
x
- �
+
�
2
0
1
1 4
dx
x
+�
+
+
�
2
0
1
1 4
t
dx
x
=
=
+
�
lim
t�+�
lim
t�+�
=
lim
t�+�
0
t
�
�
=
�
�
�
�
1
arctg2
2
x
0)
-
1
( arctg2
2
t
4
p
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 16 /34
Przykład
Zbadać zbieżność całki:
2
1
.
1 4
dx
x
+�
- �
+
�
Możemy przyjąć
2
1
1 4
dx
x
+�
- �
=
+
�
0
2
1
1 4
dx
x
- �
+
�
2
0
1
1 4
dx
x
+�
+
+
�
Obie całki są
zbieżne.
Tym samym badana
całka jest zbieżna
oraz
2
1
.
4 4
2
1 4
dx
x
p p
p
+�
- �
= + =
+
�
1 4 4 44 2 4 4 4 43
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 17 /34
Całka niewłaściwa II rodzaju
Pojęcie całki oznaczonej można również
rozszerzyć na przypadki, w których funkcja
jest nieokreślona w jednym z końców
przedziału.
Mówimy wtedy o całce niewłaściwej II
rodzaju.
W zasadzie pojęcie całki niewłaściwej II rodzaju
obejmuje również przypadki, w których funkcja
jest nieokreślona w punkcie znajdującym się
pomiędzy granicami całkowania.
Tymi przypadkami nie będziemy się jednak
zajmować.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 18 /34
Całka niewłaściwa II rodzaju
Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale
( ;
a b
oraz taka, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka
( ) .
b
t
f x dx
�
Jeżeli istnieje skończona granica:
lim
( ) ,
b
t a
t
f x dx
+
�
�
to przyjmujemy ją jako wartość całki
( ) ,
b
a
f x dx
�
samą zaś całkę nazywamy zbieżną.
W przeciwnym
przypadku całkę
( )
b
a
f x dx
�
nazywamy
rozbieżną.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 19 /34
Całka niewłaściwa II rodzaju
( ) .
b
t
f x dx
�
y = f(x)
a
t
( )
lim
( )
b
b
t a
a
t
f x dx
f x dx
+
�
=
�
�
X
Y
b
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 20 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
4
0
1
dx
x
�
4
1
t
dx
x
=
�
0
lim
t
+
�
=
0
lim
t
+
�
=
Badana całka jest zbieżna.
0
lim
t
+
�
[
]
4
t
=
2 x
(4
2 )
t
-
4
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 21 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
5
1
1
1
dx
x-
�
ln4 (
)
=
- - �
5
1
1
t
dx
x
=
-
�
1
lim
t
+
�
=
1
lim
t
+
�
=
Badana całka jest rozbieżna.
1
lim
t
+
�
[
]
5
t
=
ln
1
x-
(ln4
ln
1 )
t
-
-
=+�
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 22 /34
Całka niewłaściwa II rodzaju
Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale
; )
a b
oraz taką, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka
( ) .
t
a
f x dx
�
Jeżeli istnieje skończona granica:
lim
( ) ,
t
t b
a
f x dx
-
�
�
to przyjmujemy ją jako wartość całki
( ) ,
b
a
f x dx
�
samą zaś całkę nazywamy zbieżną.
W przeciwnym
przypadku całkę
( )
b
a
f x dx
�
nazywamy
rozbieżną.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 23 /34
Całka niewłaściwa II rodzaju
( ) .
t
a
f x dx
�
y = f(x)
a
t
( )
lim
( )
b
t
t b
a
a
f x dx
f x dx
-
�
=
�
�
X
Y
b
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 24 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
1
0
1
1
dx
x
-
�
Badana całka jest zbieżna.
2
=
0
1
1
t
dx
x
=
-
�
1
lim
t
-
�
=
1
lim
t
-
�
=
1
lim
t
-
�
[
]
0
t
=
2 1 x
-
-
( 2 1 t
-
-
2)
+
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 25 /34
Przykłady
Zbadać zbieżność całek:
1
1
1
ln
e
dx
x x
-
�
1
1
ln
t
x
e
dx
x
-
=
=
�
=- �
Badana całka jest
rozbieżna.
1
lim
t
-
�
=
1
lim
t
-
�
=
1
lim
t
-
�
[
]
1
t
e
-
=
ln lnx
(ln lnt
1
ln ln
)
e
-
-
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 26 /34
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 1
Wydajność zespołu pracowników w pewnym
zakładzie pracy mierzona wielkością produkcji w
złotych na godzinę w chwili t (z przedziału 0 ; 8 )
opisuje funkcja f(t)= - t
2
+ 6t + 100.
W jakim momencie wydajność jest największa?
Obliczyć całkowitą produkcję w ciągu 8-godzinnego
dnia roboczego.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 27 /34
Naszkicujemy najpierw wykres funkcji f(t)= - t
2
+ 6t + 100 w przedziale 0 ; 8.
t
Y
O
7
10
0
80
60
40
20
6
5
4
3
2
1
8
t
f(t
)
10
0
0
8
84
3
10
9
6
3
2
2
w
b
x
a
=-
=-
=
-
Wydajność pracy
jest największa po
upływie 3 godzin
od rozpoczęcia
pracy.
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 1
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 28 /34
t
Y
O
7
10
0
80
60
40
20
6
5
4
3
2
1
8
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 1
Podzielimy teraz przedział 0 ; 8 np. na 4
części.
przybliżony obliczyć
jako iloczyn czasu
t
= 2 przez wydajność
w środku tego
odcinka czasowego.
Geometrycznie
wielkościom produkcji
w ciągu kolejnych
interwałów czasowych
odpowiadają pola
prostokątów P
1
, P
2
, P
3
,
P
4
.
Wielkość produkcji w ciągu dwóch godzin można
wtedy w sposób
P
1
P
2
P
3
P
4
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 29 /34
t
Y
O
7
10
0
80
60
40
20
6
5
4
3
2
1
8
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 1
Dokładniejsze wartości produkcji na przedziale 0 ;
8 otrzymamy wtedy, gdy przedział dzielić będziemy
na coraz więcej części.
Dokładna wartość
produkcji jest równa
P
1
P
2
P
3
P
4
8
0
( )
w
f t dt
=
=
�
8
2
0
(
6 100)
t
t
dt
= -
+ +
=
�
8
3
2
0
1
3
100
3
t
t
t
�
�
= -
+
+
=
�
�
�
�
512
2464
192 800
3
3
=-
+
+
=
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 30 /34
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 2
Przedsiębiorstwo produkuje wyrób, którego cena
jednostkowa gwarantująca płynność sprzedaży w
zależności od wielkości produkcji x wyraża się
wzorem
Łączny koszt produkcji jednostki tego towaru w
zależności od x opisuje funkcja
Jaka jest możliwie największa produkcja
przynosząca zysk z wyprodukowania każdej
jednostki wyrobu?
Jaki jest łączny zysk z takiej produkcji?
1
( )
25.
2
c x
x
=-
+
2
1
1
( )
15.
25
10
k x
x
x
=
+
+
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 31 /34
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 2
Produkcja jest opłacalna, gdy
( )
( ).
k x
c x
�
2
1
1
1
15
25
25
10
2
x
x
x
+
+ �-
+
2
1
6
10 0
25
10
x
x
+
-
�
0
250
15
2
x
x
225 1000 1225,
35
D=
+
=
D =
1
15 35
50,
2
2
b
x
a
- - D -
-
=
=
=-
2
15 35
10.
2
2
b
x
a
- + D -
+
=
=
=
-50
10
- -
Produkcja jest
opłacalna, gdy nie
przekracza 10
jednostek.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 32 /34
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 2
Naszkicujemy wykresy funkcji c(x) i k(x) w
przedziale 0 ; 10.
x
c(x)
0
2
4
6
8 10
5
10
15
20
25
x
Y
O
25
2
1
)
(
x
x
c
25
10
20
15
10
1
25
1
)
(
2
x
x
x
k
0
15
5
16,
5
x
k(x)
10
20
25
2
1
)
(
x
x
c
15
10
1
25
1
)
(
2
x
x
x
k
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 33 /34
Ekonomiczne zastosowanie całki -
przykład 2
2
4
6
8 10
5
10
15
20
25
x
Y
O
25
2
1
)
(
x
x
c
15
10
1
25
1
)
(
2
x
x
x
k
Pole
zysku
10
0
( ( )
( ))
z
c x
k x dx
=
-
=
�
10
2
0
1
1
1
(
25
15)
2
25
10
x
x
x
dx
= -
+ -
-
-
=
�
10
2
0
1
3
(
10)
25
5
x
x
dx
= -
-
+
=
�
67
,
56
10
10
3
75
1
10
0
2
3
x
x
x
zł.
Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki
niewłaściwe
Slajd nr 34 /34