Matematyka - wykład

18

Całki niewłaściwe

dr Tomasz Kowalski

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 2 /34

Całka niewłaściwa I rodzaju

Pojęcie całki oznaczonej można rozszerzyć na
przypadki, w których przynajmniej jedna z granic
całkowania jest niewłaściwa.

Mówimy wtedy o całce niewłaściwej I rodzaju.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 3 /34

Całka niewłaściwa I rodzaju

Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale

)

; 



a

oraz taką, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka

( ) .

t

a

f x dx

�

Jeżeli istnieje skończona granica:

lim

( ) ,

t

t

a

f x dx

�+�

�

to przyjmujemy ją jako wartość całki

( ) ,

a

f x dx

+�

�

samą zaś całkę nazywamy zbieżną.

W przeciwnym
przypadku całkę





a

dx

x

f )

(

nazywamy
rozbieżną.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 4 /34

Całka niewłaściwa I rodzaju

( ) .

t

a

f x dx

�

y = f(x)

a

t

( )

lim

( )

t

t

a

a

f x dx

f x dx

+�

�+�

=

�

�

X

Y

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 5 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

0

x

e dx

+�

-

�

0

t

x

e dx

-

=

=

�

lim

t�+�

lim

t�+�

=

lim

t�+�

Badana całka jest
zbieżna.

0

t

�

�

=

�

�

�

�

x

e

-

-

(

t

e

-

-

1)

+

0

=

1

+

1

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 6 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

2

1

1

dx

x

+�

�

2

1

1

t

dx

x

=

=

�

lim

t�+�

lim

t�+�

=

lim

t�+�

Badana całka jest
zbieżna.

1

t

�

�

=

�

�

�

�

1

x

-

1

(

t

-

1)

+

0

=

1

+

1

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 7 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

1

1

dx

x

+�

�

1

1

t

dx

x

=

=

�

lim

t�+�

lim

t�+�

=

lim

t�+�

Badana całka jest
rozbieżna.

1

t

�

�

=

�

�

�

�

ln x

(ln t

=+�

ln 1 )

-

{

0

ln 1 )

-

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 8 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

0

cos2xdx

+�

�

0

cos2

t

xdx

=

=

�

lim

t�+�

lim

t�+�

=

lim

t�+�

0

t

�

�

=

�

�

�

�

1

sin2

2

x

1

( sin2

2

t 0)

-

1

lim sin2

2

t

t

�+�

=

Granica ta nie istnieje. Badana całka jest
rozbieżna.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 9 /34

Całka niewłaściwa I rodzaju

Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale

(

;a

- �

oraz taką, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka

( ) .

a

t

f x dx

�

Jeżeli istnieje skończona granica:

lim

( )

a

t

t

f x dx

�- �

�

to przyjmujemy ją jako wartość całki

( ) ,

a

f x dx

- �

�

samą zaś całkę nazywamy zbieżną.

W przeciwnym
przypadku całkę

( )

a

f x dx

- �

�

nazywamy
rozbieżną.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 10 /34

Całka niewłaściwa I rodzaju

( )

a

t

f x dx

�

y = f(x)

a

t

( )

lim

( )

a

a

t

t

f x dx

f x dx

�- �

- �

=

�

�

X

Y

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 11 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

0

2x

e dx

- �

�

0

2x

t

e dx

=

=

�

lim

t�- �

lim

t�- �

=

lim

t�- �

Badana całka jest
zbieżna.

0

t

�

�

=

�

�

�

�

2

1

2

x

e

1

(

2

2

1

)

2

t

e

-

1

2

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 12 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

Badana całka jest rozbieżna.

1

3

2

1

dx

x

-

- �

�

1

2
3

t

x dx

-

-

=

=

�

lim

t�- �

lim

t�- �

=

lim

t�- �

1

t

-

�

�

=

�

�

�

�

3

3 x

( 3

-

3

3 )

t

-

3

=-

+�

=+�

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 13 /34

Całka niewłaściwa I rodzaju

Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale

(

;

).

- � +�

Całkę

( )

f x dx

+�

- �

�

definiujemy jako sumę całek:

( ) ,

a

f x dx

- �

�

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

( ) ,

a

f x dx

+�

�

Mówimy, że całka

jest zbieżna, gdy obie
całki:

( )

f x dx

+�

- �

�

są
zbieżne.

( ) ,

a

f x dx

- �

�

( )

a

f x dx

+�

�

W  przeciwnym przypadku całkę nazywamy
rozbieżną.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 14 /34

Przykład

Zbadać zbieżność całki:

2

1

.

1 4

dx

x

+�

- �

+

�

0

2

1

1 4

dx

x

- �

+

�

Możemy przyjąć

2

1

1 4

dx

x

+�

- �

=

+

�

0

2

1

1 4

dx

x

- �

+

�

2

0

1

1 4

dx

x

+�

+

+

�

0

2

1

1 4

t

dx

x

=

=

+

�

lim

t�- �

lim

t�- �

=

lim

t�- �

0

t

�

�

=

�

�

�

�

1

arctg2

2

x

(0

1

arctg2 )

2

t

-

4

p

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 15 /34

Przykład

Zbadać zbieżność całki:

2

1

.

1 4

dx

x

+�

- �

+

�

2

0

1

1 4

dx

x

+�

+

�

Możemy przyjąć

2

1

1 4

dx

x

+�

- �

=

+

�

0

2

1

1 4

dx

x

- �

+

�

2

0

1

1 4

dx

x

+�

+

+

�

2

0

1

1 4

t

dx

x

=

=

+

�

lim

t�+�

lim

t�+�

=

lim

t�+�

0

t

�

�

=

�

�

�

�

1

arctg2

2

x

0)

-

1

( arctg2

2

t

4

p

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 16 /34

Przykład

Zbadać zbieżność całki:

2

1

.

1 4

dx

x

+�

- �

+

�

Możemy przyjąć

2

1

1 4

dx

x

+�

- �

=

+

�

0

2

1

1 4

dx

x

- �

+

�

2

0

1

1 4

dx

x

+�

+

+

�

Obie całki są
zbieżne.

Tym samym badana
całka jest zbieżna
oraz

2

1

.

4 4

2

1 4

dx

x

p p

p

+�

- �

= + =

+

�

1 4 4 44 2 4 4 4 43

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 17 /34

Całka niewłaściwa II rodzaju

Pojęcie całki oznaczonej można również
rozszerzyć na przypadki, w których funkcja
jest nieokreślona w jednym z końców
przedziału.

Mówimy wtedy o całce niewłaściwej II
rodzaju.

W zasadzie pojęcie całki niewłaściwej II rodzaju
obejmuje również przypadki, w których funkcja
jest nieokreślona w punkcie znajdującym się
pomiędzy granicami całkowania.

Tymi przypadkami nie będziemy się jednak
zajmować.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 18 /34

Całka niewłaściwa II rodzaju

Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale

( ;

a b

oraz taka, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka

( ) .

b

t

f x dx

�

Jeżeli istnieje skończona granica:

lim

( ) ,

b

t a

t

f x dx

+

�

�

to przyjmujemy ją jako wartość całki

( ) ,

b

a

f x dx

�

samą zaś całkę nazywamy zbieżną.

W przeciwnym
przypadku całkę

( )

b

a

f x dx

�

nazywamy
rozbieżną.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 19 /34

Całka niewłaściwa II rodzaju

( ) .

b

t

f x dx

�

y = f(x)

a

t

( )

lim

( )

b

b

t a

a

t

f x dx

f x dx

+

�

=

�

�

X

Y

b

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 20 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

4

0

1

dx

x

�

4

1

t

dx

x

=

�

0

lim

t

+

�

=

0

lim

t

+

�

=

Badana całka jest zbieżna.

0

lim

t

+

�

[

]

4

t

=

2 x

(4

2 )

t

-

4

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 21 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

5

1

1

1

dx

x-

�

ln4 (

)

=

- - �

5

1

1

t

dx

x

=

-

�

1

lim

t

+

�

=

1

lim

t

+

�

=

Badana całka jest rozbieżna.

1

lim

t

+

�

[

]

5
t

=

ln

1

x-

(ln4

ln

1 )

t

-

-

=+�

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 22 /34

Całka niewłaściwa II rodzaju

Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale

; )

a b

oraz taką, że dla każdego t z tego przedziału
istnieje całka

( ) .

t

a

f x dx

�

Jeżeli istnieje skończona granica:

lim

( ) ,

t

t b

a

f x dx

-

�

�

to przyjmujemy ją jako wartość całki

( ) ,

b

a

f x dx

�

samą zaś całkę nazywamy zbieżną.

W przeciwnym
przypadku całkę

( )

b

a

f x dx

�

nazywamy
rozbieżną.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 23 /34

Całka niewłaściwa II rodzaju

( ) .

t

a

f x dx

�

y = f(x)

a

t

( )

lim

( )

b

t

t b

a

a

f x dx

f x dx

-

�

=

�

�

X

Y

b

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 24 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

1

0

1

1

dx

x

-

�

Badana całka jest zbieżna.

2

=

0

1

1

t

dx

x

=

-

�

1

lim

t

-

�

=

1

lim

t

-

�

=

1

lim

t

-

�

[

]

0

t

=

2 1 x

-

-

( 2 1 t

-

-

2)

+

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 25 /34

Przykłady

Zbadać zbieżność całek:

1

1

1

ln

e

dx

x x

-

�

1

1

ln

t

x

e

dx

x

-

=

=

�

=- �

Badana całka jest
rozbieżna.

1

lim

t

-

�

=

1

lim

t

-

�

=

1

lim

t

-

�

[

]

1

t

e

-

=

ln lnx

(ln lnt

1

ln ln

)

e

-

-

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 26 /34

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 1

Wydajność zespołu pracowników w pewnym
zakładzie pracy mierzona wielkością produkcji w
złotych na godzinę w chwili t (z przedziału 0 ; 8 )

opisuje funkcja f(t)= - t

2

+ 6t + 100.

W jakim momencie wydajność jest największa?

Obliczyć całkowitą produkcję w ciągu 8-godzinnego
dnia roboczego.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 27 /34

Naszkicujemy najpierw wykres funkcji f(t)= - t

2

+ 6t + 100 w przedziale 0 ; 8.

t

Y

O

7

10
0

80

60

40

20

6

5

4

3

2

1

8

t

f(t
)

10
0

0

8

84

3

10
9

6

3

2

2

w

b

x

a

=-

=-

=

-

Wydajność pracy
jest największa po
upływie 3 godzin
od rozpoczęcia
pracy.

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 1

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 28 /34

t

Y

O

7

10
0

80

60

40

20

6

5

4

3

2

1

8

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 1

Podzielimy teraz przedział 0 ; 8 np. na 4

części.

przybliżony obliczyć
jako iloczyn czasu



t

= 2 przez wydajność
w środku tego
odcinka czasowego.

Geometrycznie
wielkościom produkcji
w ciągu kolejnych
interwałów czasowych
odpowiadają pola
prostokątów P

1

, P

2

, P

3

,

P

4

.

Wielkość produkcji w ciągu dwóch godzin można
wtedy w sposób

P

1

P

2

P

3

P

4

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 29 /34

t

Y

O

7

10
0

80

60

40

20

6

5

4

3

2

1

8

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 1

Dokładniejsze wartości produkcji na przedziale 0 ;

8 otrzymamy wtedy, gdy przedział dzielić będziemy

na coraz więcej części.

Dokładna wartość
produkcji jest równa

P

1

P

2

P

3

P

4

8

0

( )

w

f t dt

=

=

�

8

2

0

(

6 100)

t

t

dt

= -

+ +

=

�

8

3

2

0

1

3

100

3

t

t

t

�

�

= -

+

+

=

�

�

�

�

512

2464

192 800

3

3

=-

+

+

=

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 30 /34

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 2

Przedsiębiorstwo produkuje wyrób, którego cena
jednostkowa gwarantująca płynność sprzedaży w
zależności od wielkości produkcji x wyraża się
wzorem

Łączny koszt produkcji jednostki tego towaru w
zależności od x opisuje funkcja

Jaka jest możliwie największa produkcja
przynosząca zysk z wyprodukowania każdej
jednostki wyrobu?

Jaki jest łączny zysk z takiej produkcji?

1

( )

25.

2

c x

x

=-

+

2

1

1

( )

15.

25

10

k x

x

x

=

+

+

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 31 /34

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 2

Produkcja jest opłacalna, gdy

( )

( ).

k x

c x

�

2

1

1

1

15

25

25

10

2

x

x

x

+

+ �-

+

2

1

6

10 0

25

10

x

x

+

-

�

0

250

15

2





 x

x

225 1000 1225,

35

D=

+

=

D =

1

15 35

50,

2

2

b

x

a

- - D -

-

=

=

=-

2

15 35

10.

2

2

b

x

a

- + D -

+

=

=

=

-50

10

- -

Produkcja jest
opłacalna, gdy nie
przekracza 10
jednostek.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 32 /34

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 2

Naszkicujemy wykresy funkcji c(x) i k(x) w
przedziale 0 ; 10.

x

c(x)

0

2

4

6

8 10

5

10

15

20

25

x

Y

O

25

2

1

)

(







x

x

c

25

10
20

15

10

1

25

1

)

(

2







x

x

x

k

0

15

5

16,
5

x

k(x)

10

20

25

2

1

)

(







x

x

c

15

10

1

25

1

)

(

2







x

x

x

k

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 33 /34

Ekonomiczne zastosowanie całki -

przykład 2

2

4

6

8 10

5

10

15

20

25

x

Y

O

25

2

1

)

(







x

x

c

15

10

1

25

1

)

(

2







x

x

x

k

Pole
zysku

10

0

( ( )

( ))

z

c x

k x dx

=

-

=

�

10

2

0

1

1

1

(

25

15)

2

25

10

x

x

x

dx

= -

+ -

-

-

=

�

10

2

0

1

3

(

10)

25

5

x

x

dx

= -

-

+

=

�

67

,

56

10

10

3

75

1

10

0

2

3



















x

x

x

zł.

Tomasz Kowalski – Matematyka. Wykład 18: Całki

niewłaściwe

Slajd nr 34 /34