Całki niewłaściwe

I. Całki niewłaściwe w przedziale nieskończonym.

Niech funkcja f będzie określona w przedziale < a,∞) i całkowalna w każdej skończonej części T

< a, T > tego przedziału. Granicę lim f ( x) dx nazywamy całką funkcji f w granicach od a do T →∞ ∫

a

∞

nieskończoności i oznaczamy symbolem ∫ f ( x) dx . W przypadku, gdy granica ta jest skończona, a

mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.

Poniżej podamy kilka przykładów badania zbieżności całek niewłaściwych.

Rachunki wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Zbadać zbieżność całki

∞

∫ x dx

1 + x

0

Zgodnie z definicją, liczymy całkę T

∫ x dx

1 + x

0

oraz granicę

Zatem całka jest rozbieżna.

Przykład 2. Zbadać zbieżność całki

∞

∫ dx

(3

x) x

1

+

Zgodnie z definicją, liczymy całkę T

∫ dx

(3

)

1

+ x x

oraz granicę

Zatem całka jest zbieżna.

II. Całki funkcji nieograniczonych.

Jeżeli przedział < a, b > zawiera punkt c ∈ ( a, b) , w którego otoczeniu funkcja f jest nieograniczona, to całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale < a, b > określamy jako b

c− ε

b

∫ f ( x) dx = lim f ( x) dx +lim f ( x) dx ε →0 ∫

δ →0 ∫

a

a

c+ δ

W przypadku, gdy c = a lub c = b , znika jeden ze składników.

Przykład 3. Zbadać zbieżność całki 1

∫ dx

− 2

1 x

0

W tym przypadku

1

−

1 ε

∫ dx =

dx

lim

2

ε → ∫

1− x

1 − 2

0

x

0

0

Ponieważ

ln ε − 2

ln ε

1

ε − 2 1

2

−

= ln

= ln1−

2

2

2

ε

2

ε

oraz

więc całka jest rozbieżna.

Przykład 4. Zbadać zbieżność całki 2

∫ dx

2

x − 4 x + 3

0

Ponieważ 2

x − 4 x + 3 = ( x − )(

1 x − )

3 , więc

2

2

1

2

∫ dx

=

dx

dx

dx

2

∫

= ∫

+ ∫

x − 4 x + 3

( x − )(

1 x − )

3

( x − )(

1 x − )

3

( x − )(

1 x − )

3

0

0

0

1

Zbadajmy zbieżność pierwszej całki: 1

−

1 ε

∫

dx

=

dx

lim

ε →0 ∫

( x − )(

1 x − )

3

( x − )(

1 x − )

3

0

0

Rozumując jak w Przykładzie 3 stwierdzamy, że pierwsza całka jest rozbieżna.

Nie ma więc potrzeby badania zbieżności drugiej całki.

Ostatecznie, dana całka jest rozbieżna.

Przykład 5. Zbadać zbieżność całki 1

∫ ln x dx

x

0

Zgodnie z definicją mamy

1

1

∫ ln x =

ln x

dx

lim

dx

ε →0 ∫

x

x

0

0+ ε

Ponieważ

oraz

lim(ln ε )2 = ∞

ε →0

więc nasza całka jest rozbieżna.