IV. Konwersja renty
Przykład 1
Pan X (45 lat) chce zgromadzić pewną kwotę na Funduszu Emerytalnym wpłacając stałą kwotę na
początku każdego kwartału na rachunek oprocentowany 8% rocznie, z kapitalizacją kwartalną, aby
po osiągnięciu 65 lat móc pobierać kwartalną emeryturę (z góry) w wysokości 1000 zł przez 10
lat. Po 15 latach przestaje wpłacać składki i prosi o zmianę warunków umowy. Jaka będzie
wysokość kwoty zgromadzonej na FE na koniec 20 roku oszczędzania? Jakiej wysokości
emeryturę będzie mógł pobierać pan X przez 10 lat?
(27 902,59; 141,17; 24 403,84; 874,61)
Renta uogólniona – to ciąg płatności, dla którego okres bazowy (kapitalizacji odsetek) nie pokrywa
się z okresem płatności renty. Są różne rodzaje uogólnień.
Będziemy rozważać rentę, w której pomiędzy płatnościami przypada kilka kapitalizacji (każdy
okres płatności renty składa się ze skończonej całkowitej liczby okresów kapitalizacji, przy czym
początek okresu płatności pokrywa się z początkiem jednego z okresów kapitalizacji).
Przykład 2
Dokonaj wyceny (w momencie początkowym i końcowym) kwartalnej renty złożonej z czterech
płatności w wysokości 100 wpływających na koniec każdego kwartału na rachunek z kapitalizacją
miesięczną i r= 12%. (371,44; 418,55)
Rozważ także przypadek płatności z góry. (382,69; 431,23)
Pewien wytrwały inwestor zamierza przez 20 lat, na koniec każdego półrocza wpłacać na konto
bankowe 1000 zł. Jaką kwotą będzie dysponować po tych 20 latach, jeżeli roczna stopa
procentowa wynosi 12% i bank kapitalizuje odsetki co miesiąc? (160 801,84 zł)
Przykład 4
Wpłacałeś na rachunek bankowy 1000 jp. na koniec każdego półrocza przez 10 lat. Przez
pierwszych 6 lat na rachunku obowiązywała kapitalizacja kwartalna, a roczna nominalna stopa
procentowa wynosiła 6%, przez kolejne 4 lata rachunek był oprocentowany wg rocznej nominalnej
stopy procentowej 4% i obowiązywała kapitalizacja miesięczna. Znajdź wartość funduszu na
koniec 10 roku. (25 259,42)
1. Pan Adam kupił rentę 10 letnią, dającą płatności na koniec roku, której wartość przy rocznej
stopie procentowej r=3% wyceniono na 50 000 zł. Na koniec piątego roku, zaraz po piątej
wypłacie Pan Adam zdecydował się przenieść swój kapitał na pozostałe 5 lat na podobną rentę, ale
skalkulowaną przy stopie procentowej r=4%. Za konwersję renty musiał zapłacić opłatę karną
w wysokości 1000 zł.
Znajdź wysokość jego rocznych płatności przed i po konwersji. (5861,52 zł; 5805,27 zł)
2. Pewien wytrwały inwestor zamierza przez 20 lat, na początku każdego półrocza wpłacać na
konto bankowe 1000 zł. Jaką kwotą będzie dysponować po tych 20 latach, jeżeli roczna stopa
procentowa wynosi 12% i bank kapitalizuje odsetki co miesiąc? (170 694,40 zł)
3. Wartość obecna renty wieczystej dającej 1 zł na początku każdego roku wynosi 20 zł. Chcemy
zamienić tę rentę na równoważną rentę wieczystą dającą X zł na początku co drugiego roku.
Znajdź X. (1,95 zł)
4. Od 20 lat pani Y pobiera rentę wieczystą w wysokości 1000 na początku każdego roku.
Postanowiła zamienić tę rentę na rentę terminową 10-letnią, dającą stałe płatności na początku
każdego miesiąca. Za konwersję renty zapłaciła 100. Jakiej wysokości płatności otrzyma, jeśli
kalkulacje będą przeprowadzone przy r=12% składanej miesięcznie? (124,79 zł)
5. Wyznacz stopę procentową i, przy której dwie następujące renty są równoważne (renty są
równoważne, jeśli równoważne im kapitały, np. ich wartości obecne, są równe), jeśli wiadomo, że
1 n
1 i
= 0,76 oraz:
renta R1 to trzy płatności:
100 w momencie początkowym, 200 na koniec n – tego roku i 300 na koniec 2n – roku,
renta R2 to jedna płatność: 600 na koniec 10 roku,
(3,5%)