Zadanie 1
Dany jest model równowagi dochodu narodowego: Y=C+I0+G0 C=a+b(Y-T) T=d+tY
a) Jakie muszą być nałożone ograniczenia na parametry a, b, d, t, aby powyższe zależności miały sens ekonomiczny?
b) Stosując wzór Cramera oblicz Y, C, T
C
∂
c) Oblicz pochodną statystyki porównawczej określ jej znak i jaka jest jej interpretacja ekonomiczna?
a
∂
Rozwiązanie:
Ad. a) a>0, 0<b<1, d>0, 0<t<1
Ad. b) Y-C = I0+G0
-bY+C+bT=a
-tY+T=d
1
−1 0 Y
I + G
0
0
Zapisujemy macierze A*x=B => − b
1
b ⋅ C =
a
detA=1+bt-b >0
− t
0
1 T
d
I 0 + G 0
−1 0
a
1
b
d
0
1
I 0 + G 0 − bd + a Y =
=
det A
1 + bt − b
1
I 0 + G
0
0
− b
a
b
− t
d
1
a − bt( I 0 + G ) 0
− bd + b( I 0 + G ) C =
=
0
det A
1 + bt − b
1
−1 I 0 + G 0
− b 1
a
− t
0
d
d + at + t( I 0 + G ) 0
− bd
T =
=
det A
1 + bt − b
∂ C
1
Ad c)
=
> 0 wraz ze wzrostem konsumpcji autonomicznej rośnie konsumpcja całkowita
∂ a 1+ bt − b
Zadanie 2
Wychodząc od funkcji przychodu R=f(Q), gdzie Q=g(L), wykazać, że krańcowy przychód z pracy dR/dL
jest iloczynem krańcowego przychodu MR i krańcowego produktu pracy MPL
Rozwiązanie:
MR=dR/dQ MPL=dQ/dL => MR*MPL= dR/dQ * dQ/dL = dR/dL
Zadanie 3
Dane są funkcje popytu i podaży dla pewnego dobra: Qd=D(P, Y0), Qs=S(P, T0), gdzie: P oznacza cenę dobra, Y0 – dochody nabywców dobra, a T0 - podatki zawarte w cenie dobra. Dp, DYo, Sp, STo to ciągłe pochodne a) Jakie muszą być nałożone ograniczenia co do znaku na powyższe pochodne, aby funkcje popytu i podaży miały sens ekonomiczny?
b) Korzystając z warunku równowagi w postaci równań: D(P, Y0)-Q=0, S(P, T0)-Q=0 sprawdź, czy spełnione są założenia twierdzenia o funkcjach niejawnych.
∂ P ∂ Q
c) Oblicz, określ znaki i zinterpretuj pochodne statyki porównawczej:
,
.
Y
∂
Y
∂
0
0
Strona 1
©Kuki
Ad. a) Dp <0; DYo >0 ; Sp >0; STo < 0
Ad b)
Sprawdzamy czy jest spełnione założenie o f. niejawnych dla F1(P, Q, Y0, T0)=0 i F2(P, Q, Y0, T0)=0
F
∂
D
∂ F
F
∂
D
∂
∂ F
F
∂
S
∂ F
∂ F
F
∂
S
∂
2
∂
1
∂
=
;
1 = 1
− ; 1 =
;
1 = 0 ;
=
;
2 = −1;
2 = 0 ;
2 =
P
∂
P
∂
∂ Q
Y
∂
Y
∂
∂ T
P
∂
P
∂
∂ Q
∂ Y
T
∂
T
∂
0
0
0
0
0
0
zatem istnieją wszystkie pochodne
by sprawdzić warunek 2 tworzymy macierz Jacobiego. Powstaje ona z pochodnych po zmiennych endogenicznych i musi być różna od zera.
∂ F
∂ F
1
1
∂ P
∂ Q
Dp
−1
J =
=
= − Dp + Sp > 0
∂
zatem warunek spełniony, czyli istnieje otoczenie punktu o F
∂ F
Sp
−
2
2
1
∂ P
∂ Q
współrzędnych (Y0, T0), w którym spełnione są równania F1(P, Q, Y0, T0)=0 i F2(P, Q, Y0, T0)=0
Ad c)
Obliczając z różniczki: dF1=0 i dF2=0
F
∂
F
∂
F
∂
F
∂
F
∂
F
∂
1
1
1
dP +
dQ = −
dY
2
2
2
dP +
dQ = −
dT
0
P
∂
Q
∂
Y
∂
0
P
∂
Q
∂
T
∂
0
0
Dp dP – dQ= - DYo dY0
Sp dP – dQ= - STo dT0
Teraz przyjmujemy że jedna z różniczek zmiennych egzogenicznych będzie równa zero, np. dT0=0
Wówczas po obustronnym podzieleniu przez dY0 dostajemy układ równań: Dp * dP/dY0 – dQ/dY0 = -DYo
Sp * dP/dY0 – dQ/dY0 = 0
Dp
−1 P
∂ / Y
∂
− D
0
Yo
⋅
=
Następnie z Kramera obliczamy ∂P/∂Y0
Sp
−1 Q
∂ / Y
∂
0
0
Można to też zrobić szybciej od razu otrzymując
∂ F
∂ F
1
1
− ∂ Y ∂ Q
0
∂ F
∂ F
− DYo −1
2
2
−
∂ P
J
∂ Y
∂ Q
0
−1
1
D
0
=
=
=
=
Yo
> 0 to wynika z reguły różniczki f. niejawnej
∂ Y
J
J
Sp − Dp
Sp − Dp
0
∂ F
∂ F
1
1
−
∂ P
∂ Y 0
∂ F
∂ F
Dp
− D
2
2
−
Yo
∂ Q
∂ P
∂ Y
Sp
0
Sp ⋅ D
0
=
=
=
Yo
> 0 Wraz ze wzrostem dochodu rośnie popyt
∂ Y
J
Sp − Dp
Sp − Dp
0
Strona 2
©Kuki
Zadanie 1
Dany jest model równowagi dochodu narodowego: Y=C+I0+G0 C=a+b(Y-T) T=d+tY
a) Jakie muszą być nałożone ograniczenia na parametry a, b, d, t, aby powyższe zależności miały sens ekonomiczny?
b) Stosując metodę odwracania macierzy współczynników oblicz Y, C, T
Y
∂
c) Oblicz pochodną statystyki porównawczej określ jej znak i jaka jest jej interpretacja ekonomiczna?
d
∂
Rozwiązanie:
Ad. a) a>0, 0<b<1, d>0, 0<t<1
Ad. b) Y-C = I0+G0
-bY+C+bT=a
-tY+T=d
1
−1 0
Zapisujemy macierze A-1*AX=A-1D => X= A-1D
A= − b
1
b detA=1+bt-b
− t
0
1
1
−
1
Teraz odwracamy macierz A:
T
A
=
A
dop
det A
1
b
− b b
− b 1
0
1
− t 1
− t 0
1
b − bt
t
+
−1 0
1
0
1
−1
A
= −1
*
=
= 1
1
dop
( ) i j C
t
0
1
− t 1
− t 0
− b
− b
1 − b
−1 0
1
0
1
−1
1
b
− b b − b 1
Y
I + G
1
1
− b I + G
0
0
0
0
1
1
X = C =
AT ⋅
a
=
⋅ b − bt 1 − b ⋅
a
det A dop
1 + bt − b
T
d
t
t 1 − b
d
I 0 + G 0 + a − bd b
( − bt)( I 0 + G )
0
+ a − bd
Y =
C =
1 + bt − b
1 + bt − b
t( I 0 + G )
0
+ at + 1
( − b) d
T =
1 + bt − b
∂ Y
− b
Ad c)
=
< 0 wraz ze wzrostem części podatku niezależnej od dochodu spada dochód
∂ d 1+ bt − b
Zadanie 2
Dana jest funkcja produkcji Q=A(t)KαLß, gdzie K=K0+at; L=L0+bt. Oblicz tempo produkcji w czasie dQ/dt
dQ
α β dA
α
β
β
α −1 ∂ K
α
β −1 ∂
= K L
+ AL α K
+
L
AK β L
= α β dA
K L
+
β
K
AL α
a +
α
L
AK β
b =
dt
dt
∂ t
∂ t
dt
K
L
α β dA
Aα a
Aβ b
= K L
+
+
dt
K
L
Strona 3
©Kuki
Dane są funkcje popytu i podaży dla pewnego dobra: Qd=D(P, Y0), Qs=S(P, T0), gdzie: P oznacza cenę dobra, Y0 – dochody nabywców dobra, a T0 - podatki zawarte w cenie dobra. Dp, DYo, Sp, STo to ciągłe pochodne a) Jakie muszą być nałożone ograniczenia co do znaku na powyższe pochodne, aby funkcje popytu i podaży miały sens ekonomiczny?
b) Korzystając z warunku równowagi w postaci równania: D(P, Y0)- S(P, T0)=0 sprawdź, czy spełnione są założenia twierdzenia o funkcji niejawnej.
∂ P ∂ Q
c) Oblicz, określ znaki i zinterpretuj pochodne statyki porównawczej:
,
.
T
∂
T
∂
0
0
Rozwiązanie:
Ad. a) Dp <0; DYo >0 ; Sp >0; STo < 0
Ad. b) Sprawdzamy czy istniej funkcja uwikłana postaci P= f (Y0, T0) Warunek 1:
F
∂
D
∂
S
∂
=
−
F
∂
D
∂
F
∂
S
∂
=
= 0 −
istnieją pochodne zatem warunek spełniony
P
∂
P
∂
P
∂
Y
∂
Y
∂
T
∂
T
∂
0
0
0
0
Warunek 2:
∂ F ∂ D ∂
=
− S < 0 zatem warunek spełniony i prawdziwa jest tożsamość F(P, Y
∂
0, T0)=0
P
∂ P ∂ P
Ad. c)
dF=0
∂ F
∂ F
∂
dP +
+ F
dY
dT = 0
0
0
∂ P
∂ Y
∂ T
0
0
nie możemy badać zmiany jednocześnie dwóch parametrów, dlatego jeden przyjmujemy jako 0. Skoro mamy liczyć po T0 to przyjmujemy, że dY0=0 a dT0≠0, wtedy mamy: F
∂
F
∂
∂ P
F
S
To
To
dP = −
dT =>
= −
=
> 0
0
P
∂
T
∂
∂ 0
−
0
T
F
Dp
Sp
P
∂ Q
∂ D ∂ P
Dp ⋅
∂ Q
∂ S ∂ P
∂ S
Sp ⋅
=
⋅
=
S
S
To
< 0 ale można też
=
⋅
+
=
To
+ S
i to jest to samo
To < 0
∂ T
∂ P ∂ T
Dp − Sp
∂ T
∂ P ∂ T
∂ T
Dp − Sp
0
0
0
0
0
Strona 4
©Kuki