Liczby kwantowe
niezachowanie liczby barionowej - modele GUT  rozpad protonu
liczba leptonowa
spin
skrętność ( helicity )
parzystość przestrzenna
1
Teorie wielkiej unifikacji  rozpad protonu
Teoria GUT  Grand Unified Theory
unifikacja oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych :
grupa symetrii oddz. elektrosłabych SU(2)weak x U(1)em i grupa symetrii oddz. silnych
SU(3)kolor  zanurzone w większej grupie symetrii
Symetria ta ujawniałaby się przy bardzo wysokiej energii ( EGUT ~ 1016 GeV )
 przy tej skali energii efektywne stałe sprzężenia poszczególnych oddziaływań
przecinają się w jednym punkcie  jedna uniwersalna stała sprzężenia ąGUT
pierwszy model GUT  Georgi i Glashow (1974), teoria z grupą cechowania SU(5)
Podstawowe multiplety zawierają zarówno leptony jak i kwarki
Masywne bozony cechowania X i Y
(12 nowych kolorowych bozonów cechowania z ładunkiem elektr. -4/3 i -1/3)
Dozwolone procesy kwark lepton i kwark antykwark
Niezachowanie liczby barionowej i leptonowej ( zachowane B - L )
dozwolony rozpad protonu ( oczywiście proton jest b. długożyciowy)
2
Model Standardowy : SU(3)kolor x SU(2)weak x U(1)em
Biegnące stałe sprzężenia
- zależność efektywnych stałych sprzężenia od energii (od odległości)
Stała sprzężenia oddziaływań elektromagnetycznych
( związana z abelową grupą U(1) ) rośnie wraz z energią
Stałe sprzężenia związane z grupami nieabelowymi ( SU(2) i SU(3))
maleją wraz z energią (dla oddz. silnych takie zachowanie wynikajace z symetrii
cechowania SU(3) nosi nazwę asymptotycznej swobody )
Ekstrapolacja stałych sprzężenia od energii odp. skali elektrosłabej
( E ~100 GeV, do takiej skali energii są pomiary) do skali unifikacji GUT
stałe sprzężenia przecinają się w jednym punkcie ąGUT
Siła oddziaływania
pomiary przy niskich energiach przed
ąS > ąweak > ąem
eksp. na zderzaczu e+e� LEP w CERN
SU(5) : EGUT ~ 3 � 1014
SU(3)
Punkt
precyzyjne pomiary na LEP ( Z0 )
SU(2)
unifikacji
stałe sprzężenia nie przecinają się
w jednym punkcie
Masa
unifikacji
U(1)
model SU(5) +supersymetria (!)
1015 GeV
EGUT ~ 3 � 1016 GeV, przecięcie
3
stałych sprzężenia w jednym punkcie
Rozpad protonu
Proton ( uud )
0
}Ą
0
}Ą
+
+
}Ą
}Ą
Diagramy opisujące rozpad protonu w modelu SU(5) w wyniku wymiany ciężkich
bozonów X i Y (leptokwarków), MX(Y) ~1015 GeV/c2
Przewidywania SU(5) niezgodne
Model SU(5) bez supersymetrii :
z wynikami eksperymentalnymi
AM4
X
0
�p =
H" 1030ą1 lat,
2 �p(p e+ +Ą ) > 5�1033 lat
ąGUTM2
p
( A H" 1 )
4
Modele GUT z supersymetrią dłuższe czasy życia protonu (1032 - 1035 lat)
Poszukiwanie rozpadów protonu
IMB
Warunki eksperymentalne (�p 1032-35 lat ??)
wielotonowe detektory
mają liczbę protonów rzędu 1032-35
1000 ton materii  ok. 3 � 1032 protonów
umieszczone głęboko pod ziemią
redukcja tła od promieniowania kosmicznego
różne kanały rozpadu
rozpad p e+ + Ą0 , Ą0 2ł
b. dobra sygnatura  elektrony rejestrowane
za pomocą wodnych liczników promieniowania Czerenkowa ; fotony z rozpadu Ą0
konwertują na relatywistyczne pary elektron-pozyton w polu kulombowskim jąder tlenu
Eksp. Irvine  Michigan  Brookhaven (1983 -1990)  pierwszy wielki wodny detektor
 masa 8000 ton, ~2000 fotopowielaczy
Eksp. Superkamiokande  największy wodny detektor (działa od 1993)
 masa 50 000 ton, ~11 000 fotopowielaczy
Eksperymenty z żelaznymi matrycami ( z
ródło protonów )
+ elektroniczne detektory śladowe ( Soudan, Frejus i Nusex )
5
Eksperymentalne ograniczenia na czas życia protonu
w porównaniu z przewidywaniami teoretycznymi ( modele GUT, SUSY )
6
Liczba leptonowa
3 generacje par leptonowych (naładowany i neutralny lepton) o spinie �
(e�, �e), (��, ��), (��, �� )
każdy typ (zapach) leptonów posiada odpowiednią
liczbę leptonową Le, L� i L� , która jest zachowana
przez wszystkie oddziaływania opisywane
Modelem Standardowym z bezmasowymi neutrinami
do niedawna oddzielne zachowywanie trzech liczb leptonowych Le, L� i L�
było całkowicie zgodne ze wszystkimi danymi doświadczalnymi
Liczne eksperymenty neutrinowe (począwszy od 1998, SuperKamiokande)
ewidencja na oscylacje neutrin neutrina mają masę
( małą w porównaniu z masą elektronu )
oscylacje zapachu neutrin :
przejścia między neutrinami o różnych zapachach ( np. �� �� )
naruszone oddzielne zachowanie liczb leptonowych Le, L� i L�
7
 1975 Odkrycie ciężkiego naładowanego leptonu �
zderzacz e+eŻ# w Stanford (SLAC), M. Perl
e+ + eŻ# �+ + �Ż# w stanie końcowym ślady �+ i eŻ#
Ż#Ż#
Ż#
�+ + �� + �� eŻ# + �e + ��
Zachowanie przekroju czynnego i jego wielkość
zgodne z produkcją punktowej cząstki Diraca
o spinie �
Masa � ~ 1777 MeV ~ 3480 me
� jest jedynym naładowanym leptonem,
który oprócz rozpadów czysto leptonowych
posiada również rozpady na hadrony
Odkrycie � wpłynęło na poszukiwania towarzyszącego mu neutrina taonowego
i nadzieję na odkrycie kwarków trzeciej generacji
8
 Odkrycia neutrin elektronowych, mionowych i &
1956 eksperyment Reinesa  Cowana 1962 odkrycie neutrina mionowego
M. Lederman, M. Schwartz i J. Steinberger
Detekcja oddziaływań antyneutrin
brak rozpadu � e + ł ( foton )
elektronowych z reaktora jądrowego
istnienie dwóch różnych neutrin ??
Savannah River w zbiorniku ( H2O + CdCl2 )
otoczonym licznikami scyntylacyjnymi
wysokoenergetyczna akceleratorowa
fotony
Ż#
�e + p e+ + n wiązka neutrin z rozpadów Ą � + �
z wychwytu
neutronu
w wyniku oddziaływań tych neutrin
�e z reaktora
Ż#
z materią produkują się głównie miony
neutrino z rozpadu Ą (��) różne od
n + 108Cd
neutrina (�e) z rozpadu jądrowego �
109
Cd*
Synchrotron protonowy
15 GeV
w Brookhaven
odwrotny 109
Cd + ł
fotony
rozpad �
osłona
z anihilacji Komory
iskrowe
e+ + eŻ#2ł
Ą pion
Nagroda Nobla 1995
� mion
�� neutrino
Detekcja fotonów z wychwytu neutronu mionowe
9
5 �s po sygnale anihilacji pozytonu
Nagroda Nobla 1988
 Odkrycie neutrina taonowego &
1990 liczba zapachów lekkich neutrin 2000 eksp. DONUT w Fermilabie
Direct Observation of Nu Tau
Eksperymenty na wielkim zderzaczu e + eŻ#
LEP w CERNie :
Rejestracja oddziaływań�� w tarczy z płyt
żelaznych i bloków emulsyjnych
pomiar szerokości bozonu Z0
v� +N �Ż# + X
istnieją 3 zapachy lekkich neutrin
protony
800 GeV
� [ nb]
2005
Sygnatura leptonu � : ślad długości ~1 mm
N� = 2.984 0.0082
+ zakrzywienie odp. rozpadowi
ECM
[ GeV ] � 1 prong + neutrals (~86%)
Znaleziono 4 przypadki odpowiadające
przekrój czynny �( e+eŻ# Z0 hadrony )
10
w funkcji energii w układzie środka masy
oddziaływaniom ��
Liczba leptonowa L
leptony L = + 1
antyleptony L =  1
inne cząstki L = 0
Model Standardowy
z bezmasowymi neutrinami
Zarówno całkowita liczba leptonowa L jak i liczby leptonowe Le, L� i L�
odpowiadające różnym zapachom leptonowym są zachowywane
w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych
�
e� i �e mają Le = 1 e+ i �e mają Le =  1
�
�� i �� mają L� = 1 �+ i �� mają L� =  1
�
�� i �� mają L� = 1 �+ i �� mają L� =  1
11
Liczba leptonowa
elektromagnetyczna
produkcja pary e+e�
słaby rozpad Ą
słaby rozpad �
12
Liczba leptonowa
niezachowanie liczb
leptonowych Le i L�
całkowita liczba leptonowa L zachowana
Dotychczas nie zaobserwowano rozpadu �+ e+ + ł , stosunek rozgałęzienia
dla tego rozpadu < 10-9
13
Liczba leptonowa
Doświadczalne ograniczenie na niezachowanie liczby leptonowej
76
 średni czas życia dla bezneutrinowego podwójnego rozpadu � Ge
76 76
� ( Ge Se + 0� + e� + e+ ) > 1026 lat
Rozpad ten jest wynikiem przemiany dwóch neutronów w dwa protony i dla standardowego
rozpadu � w stanie końcowym powinny pojawić się dwa antyneutrina elektronowe
-
2n 2p + 2e� + 2�e ( tutaj neutrino jest neutrinem Diraca , cząstką o spinie � występującą
tylko w jednym stanie spinowym, neutrino � jest lewoskretne,
�
antyneutrino � jest prawoskrętne )
Ż
Neutrino Majorany : � a" �, jedna cząstka o spinie � , występująca w dwóch
stanach o różnych skrętnościach
Przemiana 76Ge w 76Se może przebiegać w dwóch etapach :
1. rozpad neutronu z emisją neutrina n p + eŻ + �eR
2. absorpcja neutrina przez neutron �eR + n p + eŻ , zachodzi jedynie dla neutrin
o niezerowej masie
Sygnatura dla bezneutrinowego podwójnego rozpadu � :
14
elektrony o ściśle określonej energii całkowitej
Liczba leptonowa nie jest zachowana
proces zabroniony w Modelu Standardowym
n = ( u d d ) p =( u u d )
z bezmasowymi neutrinami
n p n p
d u d u
u
d d u
nn p
p
Podwójny rozpad � Bezneutrinowy podwójny rozpad �
wymiana posiadającego masę neutrina
dwa neutrony wewnątrz jądra zamieniają
się w protony z emisją dwóch elektronów
Majorany m-dzy dwoma bozonami WŻ
i dwóch antyneutrin elektronowych
A A
-
XZ+2Y + 2e-
Z
A A
XZ+2Y + 2e- + 2�e
Z
Energia elektronów określona poprzez
różnicę energii wiązania jądra
15
w stanie początkowym i końcowym
Moment pędu
Cząstki elementarne mogą posiadać :
Orbitalny moment pędu związany z ruchem cząstki i mający odpowiednik
w fizyce klasycznej
Spin  wewnętrzny moment pędu, będący wewnętrzną liczbą kwantową
wynikającą z efektów kwantowo  mechanicznych
r
r
r
Całkowity moment pędu jest sumą orbitalnego momentu pędu i spinu S
J L
r r r
J = L + S
Funkcja falowa � cząstki posiadającej spin jest złożeniem przestrzennej funkcji
falowej �( r ) i spinowej funkcji falowej � : � = �( r )�
Niezmienniczość hamiltonianu względem obrotów o mały kąt �Ś względem
kierunku n prowadzi do prawa zachowania całkowitego momentu pędu
Unitarny operator obrotów X
n(�Ś) = (1 + i "Ś4
�n) wyraża się poprzez hermitowski
operator całkowitego momentu pędu 4
[ 4
, H ] = 0
całkowity moment pędu jest zachowany
16
Orbitalny moment pędu

Fizyka klasyczna
L = r� p
Mechanika kwantowa
zasada nieoznaczoności Heisenberga wartości r i p są skwantowane
wartości L przyjmują dyskretne wartości
Dla cząstki bezspinowej zachowanie orbitalnego momentu pędu wynika
z niezmienniczości hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni
Operator orbitalnego momentu pędu L jest generatorem transformacji
infinitezymalnych obrotów X
w przestrzeni wokół osi zadanej jednostkowym
wektorem n
X
n(�Ś) = (1 + i "Ś L�n) [ L, H ] = 0
Potrafimy jednocześnie zmierzyć wielkość krętu oraz jego składową względem wybranego
kierunku w przestrzeni [ L2, Lz ] = 0
Stany własne operatora L2 i Lz , |�lm>, spełniają równania własne:
L2 |�lm> = l(l+1)[2 |�lm> orbitalna liczba kwantowa l =0, 1, 2 &
Lz |�lm> = m[ |�lm> dla danego l występuje 2l+1 stanów odp. składowej z
m = -l, -l+1, & l-1, l
17
Orbitalny moment pędu w mechanice kwantowej
Przykład dla l = 2
wartość własna
odpowiadająca operatorowi L2 :
l ( l + 1 )'
2 = 6'
2
( 2l + 1 ) ustawień względem osi z
odp. rzutowi na tą oś :
- 2'
, -'
, 0, +'
, +2'

Orbitalny moment pędu nie może być
zorientowany całkowicie w kierunku osi z
( odpowiadałoby to rzutowi [(2l+1)'
2]� = "6 '
,
a taki nie istnieje ) .
analogiczne reguły kwantowania dla spinu
Cząstka może znajdować się w dowolnym
stanie kwantowym orbitalnego momentu pędu
( l= 0, 1, 2 & ) ,
ale wartość jej spinu jest jednoznacznie określona
18
Spin cząstki
Wiązka obojętnych elektrycznie
Eksperyment Sterna  Gerlacha (1921) atomów srebra ulega rozszczepieniu
w niejednorodnym polu
magnetycznym na dwie wiązki
Wynik oddziaływania dipola magnetycznego atomu z zewnętrznym polem magnetycznym
Atomy Ag  jeden elektron walencyjny, decyduje o wytworzeniu się dipola magnetycznego
atomu . Magnetyczny moment dipolowy elektronu proporcjonalny
r r r
do momentu pędu cząstki, na który składają się
J = L + S
orbitalny moment pędu + wewnętrzny moment pędu (spin) ??
Rozszczepienie na 2 wiązki istnienie wewnętrznego momentu pędu elektronu
(rzut na oś z przyjmuje 2 wartości)
19
G. Uhlenbeck & S. Goudsmit
Pole magnetyczne rozszczepia
linie widmowe wodoru i metali
alkalicznych
20
Wykład AKW
Spin
wewnętrzna liczba kwantowa charakteryzująca cząstki elementarne
zarówno fundamentalne składniki materii bez wewnętrznej struktury
�
jak i cząstki bardziej złożone np. hadrony zbudowane z kwarków (qqq,qq)
spin cząstki złożonej = całkowitemu momentowi pędu cząstki
w jej układzie spoczynkowym
posiadanie spinu jest cechą definującą cząstkę,
wynikającą z efektów kwantowo  mechanicznych !
(spinowi nie odpowiada żadna fizyczna wielkość klasyczna)
spin jest wielkością wektorową
ma wymiar momentu pędu (wewnętrzny / własny moment pędu)
i przyjmuje dyskretne wartości �% � '
, 3/2 [, 5/2 [, & dla fermionów
�% 0[, 1[, 2[, & dla bozonów
funkcja falowa cząstki o spinie s `" 0 ma dwie lub więcej składowych �i( r )
przy obrotach o kąt Ś wokół osi zadanej jednostkowym wektorem n przekształcają się
one zgodnie z regułą
� ( r ) = Łj [ exp( iŚ n� S ]ij �j( R-1 r )
i
macierze S odp. składowym operatora spinu (\
2 = \
x2 + \
y2 + \
z2)
spełniają te same związki przemienności co składowe operatora moment pędu L21
[ Si , Sj ] = SiSj  SjSi = i [ �ijkSk , �ijk  symbol Leviego - Civity
Spin
spin podlega analogicznym regułom kwantowym jak orbitalny moment pędu
wewnętrzne stany cząstki o spinie s charakteryzują wartości własne dwóch
przemiennych operatorów \
2 i \
i , [ \
2 , \
i ] = 0
stany spinowe |�s, ms> spełniają równania własne :
\
2 |�s, ms> = s( s+1 )'
2 |�s, ms> zależnie od liczby  wewnętrznych stanów
cząstki s = 0, �, 1, 3/2 &
\
z |�s, ms> = ms'
|�s, ms> rzut spinu na oś z przyjmuje 2s + 1 wartości,
wewnętrzne stany cząstki charakteryzuje wartość
własna operatora \
z , ms =  s,  s+1, & s  1, s
Elektron ma dwa wewnętrzne stopnie swobody, spin s = �
Dla cząstki o spinie � operator \
=( '
/2 )� , �i  macierze Pauliego (2�2), i = 1- 3
spin s =� spin s = 1
Cząstka o spinie � - dwa stany
ms = +1
ms przyjmuje wartości +� lub -�
ms = + �
rzut spinu na oś z
ms = 0
Cząstka o spinie 1 - trzy stany
ms przyjmuje wartości -1, 0, +1
rzut spinu na oś z
22
ms =  � ms =  1
Skrętność ( helicity )
Relatywistyczna mechanika kwantowa : cząstka o spinie s jest opisana przez
spinową liczbę kwantową S oraz Sz , rzut spinu na oś z.
Te dwie liczby kwantowe można zdefiniować tylko dla cząstek o niezerowej
masie spoczynkowej, dla których zawsze istnieje układ spoczynkowy ( pęd cząstki = 0 )
Dla cząstki o zerowej masie ( np. fotonu ) wewnętrzne stany cząstki opisuje
skrętność
Znormalizowana wartość rzutu spinu cząstki na kierunek
r r
jej pędu ( kierunek ruchu )
p �" s
 =
r r
dla cząstki bezmasowej ( poruszającej się z prędkościąświatła )
| s || p | wyróżnionym kierunkiem jest kierunek jej pędu
ź% skrętnośc jest niezmiennikiem transformacji Lorentza
( jest taka sama we wszystkich układach odniesienia )
ź% rzut spinu na kierunek pędu przyjmuje tylko dwie wartości Sz = ą S
skrętność  = ą 1
Dla cząstki masywnej skrętność nie jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza ( dla v < c
zawsze istnieje układ odniesienia, w którym pęd cząstki ma przeciwny zwrot i    )
23
 =  S,  S + 1, & S 1, S
Skrętność
r r
Zgodnie z równaniem Diraca dla cząstek bezmasowych
p �" s
 =
r r
( lub ultrarelatywistycznych ) skrętność  = ą1
| s || p |
Skrętność neutrin
Eksperyment : obserwuje się jedynie stany neutrin z rzutem spinu na kierunek
ruchu Sz = � '
, czyli ze skrętnością  = 1. Natomiast antyneutrina mają
skrętność  = + 1.

�
pp
Neutrina są całkowicie
�
spolaryzowane podłużnie
Sz Sz
lewoskrętne neutrino prawoskrętne antyneutrino
 = -1  = + 1
24
Skrętność
Polaryzacja fotonów foton JP = 1�
Fotony rzeczywiste ( m = 0, v = c )  występują w stanach o skrętności  = ą 1.
fotony o polaryzacji poprzecznej tzn. stowarzyszone z nimi pola elektryczne
i magnetyczne, E i B, są prostopadłe do wektora propagacji fali elekromagnetycznej k
( poprzeczna polaryzacja fal elektromagnetycznych)
Foton wirtualny, który jest nośnikiem oddz. elektromagnetycznych m-dzy cząstkami
i nie jest ściśle bezmasowy, może także posiadać polaryzację podłużną tzn.  = 0.
Pole E jest równoległe do kierunku propagacji fali elektromagnetycznej.
E
Sz = -1,  = -1
k
E
Sz = +1,  = +1 Sz = 0,  = 0
k
foton spolaryzowany poprzecznie foton spolaryzowany podłużnie
25
( fotony rzeczywiste, mł = 0 ) ( fotony wirtualne, mł `" 0 )
Moment pędu w modelu kwarkowym
�
Hadrony są zbudowane z kwarków : mezony( qq ) i bariony( qqq )
Zakładamy, że L i S są dobrymi liczbami kwantowymi [ H, L2 ] = [ H, S2 ] = 0
Najlżejsze mezony i bariony  układy kwarków z krętem orbitalnym L = 0
�
Mezony  stany związane kwarka i antykwarka ( qq )
�
�% układ spoczynkowy mezonów  układ środka masy (center of mass, CM) systemu qq
�
�% spin mezonu = całkowity moment pędu pary qq w układzie CM, J = L + S
�% lekkie mezony - zakładamy L = 0, suma spinów kwarków S = Sq + Sq
�,
( anty )kwarki mają spin � S = 0 lub S = 1 ponieważ J = S to J = 0 lub J = 1
� � �
dla dowolnej kombinacji zapachów ud, us, cc & oczekujemy,
że najlżejsze stany mezonowe będą miały spin 0 lub 1
2S+1 1 3
dla L = 0 LJ = S0 (stany singletowe) i S1 ( stany tripletowe )
2S+1
notacja spektroskopowa : LJ konwencja L = 0,1,2,3 oznaczamy jako S, P, D, F
L e" 1 dla S = 0 spin J = L
dla S = 1 spin J = L ą 1, L
2S+1
26
dla L e" 1 LJ = 1LL , 3LL+1, 3LL, 3LL-1
Lekkie mezony  stany z orbitalnym momentem pędu L = 0
klasyfikacja SU(3)zapach, tylko stany z u, d i s
Nonet mezonów ( L=0, S = 0, J = 0 )
Nonet mezonów ( L=0, S = 1, J = 1 )
JP = 0� dziwność Spin = 0
JP = 1� dziwność Spin = 1
izospin, I3
izospin, I3
- - -
- - -
Ą0, � i � są kombinacjami uu, dd i ss
�0, �0 i Ć0 są kombinacjami uu, dd i ss
masy / MeV : Ą(140), K(495)
masy / MeV : �(770), K*(890)
�(550), � (950)
�(780), Ć(1020)
27
Moment pędu w modelu kwarkowym
Bariony  stany związane 3 kwarków ( qqq )
�% układ spoczynkowy barionów  układ środka masy (CM) systemu qqq
�% wukładzie CM systemu qqq
dwa orbitalne momenty pędu związane ze względnym ruchem 3 kwarków :
orbitalny moment pędu L12 wybranej pary kwarków
kręt L3 trzeciego kwarka q3 względem środka masy pary q1q2
Spin barionu = całkowity moment pędu systemu qqq , J = L + S
q1
Całkowity orbitalny moment pędu L = L12 + L3
L3
q3
Suma spinów S = S1 + S2 + S3 S=3/2 lub S=�
L12
Jeżeli L12 = L3 = 0 ( lekkie bariony ) L = O i J = S
2S+1 2 4
Dla L = 0 LJ = S1/2 i L3/2
Najlżejsze bariony mają spin � lub 3/2
q2
28
Lekkie bariony  stany z orbitalnym momentem pędu L = 0
klasyfikacja SU(3)zapach, tylko stany z u, d i s
Oktet barionów ( L=0, S = �, J = � ) dekuplet barionów ( L=0, S = 3/2, J = 3/2 )
JP = �+ JP = 3/2+
Spin = 3/2
dziwność dziwność
Spin = �
izospin, I3
izospin, I3
Masy / MeV : "(1230), Ł(1385)
Masy / MeV : nukleon(940), Ł(1190)
ś(1530), &!(1670)
�(1190), ś(1320)
29
Pomiary spinu
pomiar przekrojów czynnych
dla procesu a + b c + d przekrój czynny � zależy od liczby dostępnych
stanów spinowych cząstek w stanie początkowym i końcowym
�(a + b c + d) ~ (2Sc + 1)(2Sd +1) � inne czynniki , Si  spin cząstki
tą zależność można wykorzystać do pomiaru spinu cząstek
spin cząstki można wyznaczyć mierząc rozkłady kątowe produktów jej rozpadu
30
Związek spinu ze statystyką
Wszystkie cząstki elementarne są albo fermionami albo bozonami :
fermiony posiadają spin połówkowy �[, 3/2[, 5/2[ &
(podlegają statystyce Fermiego-Diraca)
bozony posiadają spin całkowity 0, [, 2[, &
(podlegają statystyce Bosego-Einsteina)
Jakie są własności symetrii funkcji falowej � opisującej zbiór identycznych
fermionów / bozonów względem zamiany współrzędnych dowolnej pary cząstek ?
Zamiana miejscami dwóch nierozróżnialnych cząstek nie zmienia wartości |�|� ,
czyli � ą �
Kwantowa teoria pola  twierdzenie o związku spinu ze statystyką
 zamiana miejscami dwóch identycznych bozonów
nie zmienia stanu kwantowego ; funkcja falowa � jest symetryczna � + �
 zamiana miejscami dwóch identycznych fermionów prowadzi do zmiany znaku
funkcji falowej �  � ; funkcja falowa jest antysymetryczna
Historycznie, zakaz Pauliego (zabraniający zajmowania danego stanu kwantowego przez
wiecej niż jeden elektron) przybrał postać warunku antysymetrii funkcji falowej układu wielu
elektronów (fermionów) względem wszystkich współrzędnych przestrzennych i spinowych .
Zasada ta została wprowadzona do mechaniki statystycznej przez Fermiego i Diraca. 31
Parzystość przestrzenna
transformacja
przestrzenna inwersja współrzędnych ( x, y, z  x,  y  z )
dyskretna
niezmienniczość układu wielu cząstek względem odwrócenia ich przestrzennych
współrzędnych hamiltonian pozostanie niezmieniony pod wpływem takiej
transformacji H (r1 , r2 ,& ) = H (-r1, -r2, & ) = H (r1, r2, & )
istnieje unitarny operator parzystości P (operator inwersji przestrzennej),
który komutuje z hamiltonianem [ P, H ] = 0
Operator P działający na funkcję falową
P � (r, t) = � ( r, t) =  � (r, t)
pojedynczej cząstki
wartości własne operatora P mogą przyjmować tylko wartości ą 1
dwie kolejne operacje inwersji przestrzennej przywracają wyjściowy układ odniesienia,
czyli P� = 1 ( unitarność)
P� � (r, t) = � � (r, t) = � (r, t) � = 1  = ą 1
dodatnia ( = +1) i ujemna ( =  1) parzystość przestrzenna układu
Parzystość przestrzenna P charakteryzuje stany kwantowe
ze względu na ich zachowanie przy odbiciach ( P = 32
)
Parzystość przestrzenna
Operator parzystości odwraca współrzędne przestrzenne
r  r
To przekształcenie jest równoważne :
odbiciu względem płaszczyzny x  y
po którym następuje obrót wokół osi z
Odbicie względem płaszczyzny x  y
Obrót wokół osi z
Niezmienniczość praw fizyki względem obrotów wynika z założenia izotropii przestrzeni
Symetria względem inwersji przestrzennej oznacza więc
symetrię względem odbicia lustrzanego
Czy prawa fizyki są niezmiennicze względem operacji inwersji przestrzennej ?
Eksperyment parzystość P jest zachowana w oddziaływaniach silnych i
33
elektromagnetycznych, natomiast oddziaływania słabe nie zachowują parzystości
 parzystość wewnętrzna cząstki Parzystość przestrzenna
działanie operatora parzystości na funkcję własną pędu �P (x, t) = exp [ i ( p � x  Et ) ]
P�P (x, t) = PA�P( x, t) = PA� P (x, t) , A  identyfikuje typ cząstki
Cząstka w spoczynku ( p = 0 ) jest stanem własnym operatora parzystości P
wartość własna PA  parzystość wewnętrzna cząstki A
parzystość cząstki posiadającej orbitalny moment pędu
opisanej funkcją własną operatora krętu :
�lm ( r ) = �( r,�, Ć ) = R(r)Ylm ( �, Ć )
R  funkcja zależna od zmiennej radialnej r, Ylm (�,Ć )  funkcje kuliste zależne od kąta
biegunowego ( � ) i azymutalnego ( Ć ), ( l, m )  liczby kwantowe orbitalnego momentu pędu
Ylm (�, Ć ) ( 1)l Ylm(�, Ć) dla r  r a" � � = Ą  � , Ć Ć = Ą + Ć
PA( 1)l  parzystość cząstki
P�lm( r ) = PA�lm( r ) = PA( 1)l �lm( r )
z krętem l
parzystość jest multiplikatywną liczbą kwantową
parzystość układu cząstek jest równa iloczynowi parzystości wewnętrznych
poszczególnych cząstek oraz parzystości związanej z ruchem orbitalnym
np. dla dwóch cząstek
l  liczba kwantowa orbitalnego momentu pędu
Pcałkowita =P1 � P2 � ( 1)l
34
względnego ruchu tych cząstek,
Pi  parzystość wewnętrzna cząstki i
Parzystość przestrzenna
Kwantowa teoria pola : parzystość wewnętrzna stanu składajacego się
z cząstki o spinie � oraz jej antycząstki jest ujemna
zachowanie funkcji falowej pojedynczego fermionu przy inwersji nie jest dobrze
określone, kreacja i anihilacja fermionów tylko w parach  oddz. elektromagnetyczne
naładowanych leptonów i kwarków, oddz. silne kwarków )
% fermiony P( antycząstka ) = ( 1) P(cząstka )
% bozony P( antycząstka ) = P( cząstka )
% klasyczna teoria pola parzystość fotonu Pł =  1
Przypisanie parzystości elementarnym fermionom  konwencja:
leptony P(e�) =P(��) =P(��) =1 P(e+) =P(�+) =P(�+) = 1
�
kwarki u, d, s, c, b, t P(q) = 1 P(q) =-1
Przypisanie parzystości hadronom  konwencja :
P(proton, uud) = P(neutron, udd) = +1, P(antyproton) = P(antyneutron) =  1
���
P(K�) = P(D�) = P(B�) =  1, K�(494) su, D�(1869) dc, B�(5279) bu
Konwencje dotyczące kwarków i hadronów są równoważne. Eksperymentalnie wyznaczamy
nieznane parzystości analizując wybrane elektromagnetyczne lub silne procesy pod kątem
35
zachowania parzystości, odnosząc się do konwencji hadronowej .
Parzystość przestrzenna
�
Parzystość mezonów, M = qq

PM = Pa � Pb �( 1)L L : względny kręt pary qq w układzie spoczynkowym mezonu ,
a,b  kwarki u, d, c, s i b
Pa � Pb =  1 PM = ( 1)L+1 , dla lekkich mezonów L = 0 czyli PM =  1
lekkie mezony ( L = 0 ) mają ujemną parzystość , JP = 0�, 1�
( porównaj wyznaczanie spinu dla lekkich mezonów )
Parzystość barionów, B = qqq
PB = Pa � Pb � Pc� ( 1)L12 � ( 1)L3 = ( 1)L12 + L3 , a, b, c  kwarki u, d, c, s i b
L12 i L3 wewnętrzne kręty w układzie CM 3 kwarków (układ spoczynkowy barionu)
iloczyn parzystości wewnętrznych ( trzech ) kwarków Pa � Pb � Pc = +1
lekkie bariony (L12 = L3 = 0 ) mają dodatnią parzystość JP = �+, 3/2+
( porównaj wyznaczanie spinu dla lekkich barionów )
q3
q1
P ( antybarion ) = P( barion )
L3
L12
q2
36
Operacja przestrzennej inwersji współrzędnych dla różnego typu obiektów
��
r  r , pęd p =mr  mr =  p wektory
| r | = (r � r)� ( r �  r)� = | r | , | p | = (p � p)� | p | skalary
orbitalny moment pędu L = r � p ( r ) � ( p ) = r � p = L aksjalny wektor
tak samo zachowuje się spin s s
a � ( b � c ) ( a) � (  b �  c ) =  a � ( b � c ) pseudoskalar
Wektor r  r , P =  1 Wektor aksjalny
r r , P = +1
JP  spin i parzystość cząstki określają przestrzenne właściwości transformacyjne
funkcji falowej cząstki
JP = 0� cząstka pseudoskalarna JP = 1� cząstka wektorowa
JP = 0+ cząstka skalarna JP = 1+ wektor aksjalny
37
JP = 2+ tensor