dr Krzysztof Kisiel
Badanie wypukłości funkcji.
Wypukłość funkcji
Definicja 1. Funkcja f różniczkowalna w punkcie x0 jest wypukła w tym punk-
cie, jeżeli:
"´>0 "x"S(x ,´) f(x) e" f(x0) + f (x0)(x - x0).
0
Wklęsłość funkcji
Definicja 2. Funkcja f różniczkowalna w punkcie x0 jest wklęsła w tym punk-
cie, jeżeli:
"´>0 "x"I f(x) d" f(x0) + f (x0)(x - x0).
Wypukłość funkcji różniczkowalnych na przedziale
Definicja 3. Funkcja f różniczkowalna na przedziale otwartym I jest wypukła
na przedziale I , jeżeli:
"x"I f(x) e" f(x0) + f (x0)(x - x0).
Wklęsłość funkcji różniczkowalnych na przedziale
Definicja 4. Funkcja f różniczkowalna na przedziale otwartym I jest wklęsła
na przedziale I, jeżeli:
"x"I f(x) d" f(x0) + f (x0)(x - x0).
Warunki wystarczające wypukłości funkcji
Twierdzenie 5. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x " I
funkcja f spełnia warunek:
1. f (x) > 0, to f jest ściśle wypukła I;
2. f (x) e" 0, to f jest wypukła na I;
3. f (x) d" 0, to f jest wklęsła na I;
4. f (x) < 0, to f jest ściśle wklęsła na I;
Punkt przegięcia
Definicja 6. Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punk-
tu x0. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą. Punkt
(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia (p.p) wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje liczba ´ > 0 taka, że funkcja f jest Å›ciÅ›le wypukÅ‚a na S(x-, ´)
0
oraz Å›ciÅ›le wklÄ™sÅ‚a na S(x+, ´) albo jest odwrotnie.
0
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie 7. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. punkt (x0, f(x0)) jest jej punktem przegięcia;
2. istnieje f (x0) (f jest dwukrotnie różniczkowalna w x0) to
f (x0) = 0.
Lokalizacja punktów przegięcia
Uwaga 8. Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach zerowania
sie jej drugiej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.
I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie 9. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. w punkcie x0 ma pochodną właśiwą lub niewłaśiwą,
2.

f (x) < 0 "x"S(x-
0
"´>0 f (x) > 0 "x"S(x ,´)
+
,
,´)
0
to punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia tej funkcji.