WYPUKA
OŚĆ
f
Nadwykres funkcji :
N := {(x, y), x " D , y e" f (x)}
f f
A ‚" Rn - nazywamy zbiorem wypukÅ‚ym, jeÅ›li dla każdych dwóch punktów należących
do A  odcinek je Å‚Ä…czÄ…cy jest zawarty w A.
f N f
Funkcja jest wypukła ku górze (wypukła), jeśli nadwykres funkcji jest zbiorem
f
wypukłym.
Nf  zbiór wypukÅ‚y Ò! f  funkcja wypukÅ‚a ku górze
f
(- jest wypukła ku górze.
Funkcja jest wypukła ku dołowi (wklęsła), jeśli funkcja f )
f  funkcja wypukła ku dołowi
Obserwacja
f " C1((a,b))
2
Ô! "x,x "(a,b)'"x`"x0 f (x) > f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )
0
f
- wypukła ku górze
f " C1((a,b))
2
Ô! "x,x "(a,b)'"x`"x0 f (x)< f (x0)+ f (x0)(x - x0)
0
f
- wypukła ku dołowi
1
Twierdzenie
2
f " C ((a,b))
Ò! f
- wypukła ku górze w (a,b)
2 2
f > 0
Dowód:
x, x0 "(a,b)'" x `" x0
2 2
f (c)(x - x0 )
2
2
f (x) = f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+
2
2
f (x) > f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )
z czego wynika, że funkcja jest wypukła.
Analogicznie:
Twierdzenie:
2
f "C ((a,b))
Ò! f
- wypukła ku dołowi w (a,b)
2 2
f < 0
2
opracował Paweł Sztur
3