1
Równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
an y(n) + an-1 y(n-1) + . . . + a1 y + a0 y = 0
Zakładamy, że funkcja postaci y(x) = erx , gdzie r jest liczbą
rzeczywistą lub zespoloną, jest rozwiazaniem powyższego równania.
Wówczas
an rn + an-1 rn-1 + . . . + a1 r + a0 = 0.
Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania
liniowego jednorodnego a jego pierwiastki nazywamy pierwiastkami
charakterystycznymi tego równania.
2
" Jeżeli ri, rj są dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi
równania charakterystycznego, to funkcje yi(x) = erix i yj(x) =
erjx są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
" Jeżeli r jest rzeczywistym pierwiastkiem k-krotnym równania
charakterystycznego, to funkcje y(x) = erx , y(x) = xerx ,
. . . , y(x) = xk-1erx są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
" Jeżeli r = Ä… + ²i jest pierwiastkiem zespolonym równania
charakterystycznego (tym samym r = Ä… - ²i jest pierwiastkiem
Å»
tego równania), to funkcje y1(x) = eÄ…x sin ²x i y2(x) =
eÄ…x cos ²x sÄ… dwoma liniowo niezależnymi rozwiÄ…zaniami rrlj.
" Jeżeli r = Ä… + ²i jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym
równania charakterystycznego (tym samym r = Ä… - ²i jest k-
Å»
krotnym pierwiastkiem tego równania), to funkcje
3
y(x) = eÄ…x sin ²x, y(x) = xeÄ…x sin ²x, . . . , y(x) = xk-1eÄ…x sin ²x
i y(x) = eÄ…x cos ²x, y(x) = xeÄ…x cos ²x, . . . , y(x) = xk-1eÄ…x cos ²x
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
Przykład Rózwiązać równania:
a) y + y - 2y = 0
b) y + 6y + 9y = 0
c) y + 2y + 10y = 0
d) y - y = 0
e) y(5) + 8y + 16y = 0
4
Wyznaczanie całki szczególnej równania niejednorodnego
metodą uzmienniania stałych
Rozważmy równanie
y + a1 y + a0 y = f(x)
Wiadomo przy tym, że całka ogólna odpowiedniego równania jednorodnego
ma postać:
y0 = C1 y1(x) + C2 y2(x),
gdzie C1, C2 są dowolnymi stałymi, a y1(x), y2(x) stanowią układ
fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego.
Fakt Istnieje rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
5
postaci:
yS = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x),
gdzie funkcje C1(x), C2(x) spełniają układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) = 0
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) = f(x)
ôÅ‚
ół
Przykład Rózwiązać równania:
ex
a) y - 2y + y =
x
b) y - 3y + 2y = cos e-x
c) y + y = tg x , y(0) = 1, y (0) = 3
6
Wyznaczanie całki szczególnej równania niejednorodnego
metodą przewidywań
" Jeżeli f(x) = Wn(x) eąx , to
yS = Qn(x) eÄ…x · xk,
gdzie Qn(x) jest dowolnym wielomianem stopnia n , a czynnik
xk pojawia siÄ™ wtedy i tylko wtedy, gdy Ä… jest k-krotnym
pierwiastkiem równania charakterystycznego.
" Jeżeli f(x) = eÄ…x ( Wn(x) sin ²x + Pn(x) cos ²x ) , to
yS = eÄ…x ( Qn(x) sin ²x + Zn(x) cos ²x ) · xk,
gdzie Qn(x), Zn(x) sÄ… dowolnymi wielomianami stopnia n , a
czynnik xk pojawia siÄ™ wtedy i tylko wtedy, gdy Ä… + ²i jest k-
krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego.
7
" Jeżeli f(x) jest sumą kilku funkcji opisanych w poprzednich
punktach, to dla każdej z tych funkcji oddzielnie przewidujemy i
obliczamy całkę szczególną, a następnie wszystkie otrzymane całki
szczególne sumujemy.
Przykład Rózwiązać równania:
a) y + 2y = x2 - 1
b) y + 6y + 9y = 10 sin x
x
c) 2y + y - y = e2 - x