Korki we wtorki
GÅ‚os Wielkopolski, 24.11.2009
CiÄ…gi arytmetyczne
i geometryczne
Zadanie 1. Trzeci wyraz ciÄ…gu arytmetycznego wynosi 1, a piÄ…ty -5. Wyznacz
szósty wyraz i sumę pierwszych sześciu wyrazów.
Rozwiązanie. Oznaczmy ciąg, o którym mowa, przez (an).
a3 = 1
a5 = -5
Korzystam ze wzoru na wyraz ogólny ciagu arytmetycznego o pierwszym wy-
razie a1 i różnicy r: (1)
a1 + 2r = 1
a1 + 4r = -5
Rozwiązuję powyższy układ równań: (2)
a1 = 1 - 2r
1 - 2r + 4r = -5
a1 = 1 - 2r
2r = -6
a1 = 1 - 2r
r = -3
a1 = 7
r = -3
Szósty wyraz wynosi a6 = 7 + 5 · (-3) = -8, zaÅ› suma pierwszych szeÅ›ciu wy-
7+(-8)
razów to S6 = · 6 = -3. (3)
2
Objaśnienia.
(1) Wzór na wyraz ogólny ciągu to inaczej wzór pozwalający wyliczyć dowolny
( n-ty ) wyraz tego ciągu. W przypadku ciągu arytmetycznego, którego pierw-
szy wyraz wynosi a1, a różnica r, wzór ten ma postać an = a1 + (n - 1)r.
(2) Najczęstszy sposób postępowania, gdy mamy znalez
ć zadany wyraz ciągu
arytmetycznego lub geometrycznego bÄ…dz
też sumę pewnej liczby początko-
wych wyrazów takiego ciągu (czyli tzw. sumę częściową) to znalezienie pierw-
szego wyrazu i różnicy (dla ciągu arytmetycznego) lub ilorazu (dla ciągu geo-
metrycznego). Mając bowiem takie dne możemy łatwo obliczyć zarówno do-
wolny wyraz oraz dowolną sumę częściową (korzystając z gotowych wzorów).
(3) Gdy mamy wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego
a1+an
(ze wzoru Sn = n), potrzebujemy pierwszego i ostatniego, n-tego wyrazu
2
oraz liczby sumowanych wyrazów. Gdy znamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu,
możemy wyliczyć n-ty wyraz, ponownie korzystając ze wzoru na wyraz ogólny
ciÄ…gu.
Zadanie 2. Czy ciÄ…g (an), dany wzorem an = 2n - 1, jest geometryczny?
RozwiÄ…zanie. Warunek na ciÄ…g geometryczny:
a2 = an-1an+1 dla n 2 (1)
n
L = (2n - 1)2 = 4n2 - 4n + 1
P = [2(n - 1) - 1] · [2(n + 1) - 1] =
(2)
= (2n - 3)(2n + 1) = 4n2 + 2n - 6n - 3 = 4n2 - 4n - 3
L P, bo np. dla n = 2 mamy L = 9, a P = 5. (3)
Odpowiedz
. CiÄ…g (an) dany wzorem an = 2n - 1 nie jest geometryczny.
Objaśnienia.
(1) Warunek ten (podany w tablicach matematycznych dostępnych na maturze)
pozwala zbadać, czy ciąg jest geometryczny: jeśli lewa strona wzoru równa się
prawej dla dowolnej liczby naturalnej większej lub równej 2, ciąg jest geome-
tryczny; jeśli nie, ciąg nie jest geometryczny.
(2) Aby wyliczyć an-1 (bądz
an+1), we wzorze na wyraz ogólny (czyli podanym
w zadaniu wzorze na an) wstawiamy (n - 1) (bÄ…dz
(n + 1)).
To, że wzory na lewą i prawą stronę wyglądają inaczej, nie musi jeszcze ozna-
czać, że nie dają one identycznych wyników (za tydzień zobaczymy przykład
dwóch wzorów, które, choć na pierwszy rzut oka wyglądają na różne, jednak
wcale takimi nie sÄ…!).
(3) Aby przekonać się ( udowodnić , jak mawiają matematycy), że wzory na L
i P są istotnie różne, wyliczyliśmy ich wartość dla n = 2. Równie dobrze mo-
glibyśmy wziąć n = 17 czy n = 1410, ale łatwiej nam operować na mniejszych
1
liczbach. (Nie moglibyśmy natomiast wziąć n = -3, n = 0 ani n = 7 , gdyż nu-
3
mer wyrazu ciągu musi być liczbą całkowitą dodatnią. Nie moglibyśmy wziąć
też n = 1, bo wówczas jeden z wyrazów we wzorze (1) miałby numer n - 1 = 0;
z tego właśnie powodu wzór (1) jest opatrzony zastrzeżeniem, że n 2.)
Uwaga 1: w tego typu zadaniu może się zdarzyć, że dla pewnych liczb n ma-
my równość L = P, a dla innych nie; w takim przypadku warunek (1) również
nie jest spełniony, bowiem równość ta powinna być prawdziwa dla wszystkich
liczb całkowitych n 2. Gdybyśmy zaś  w podobnym zadaniu  po kilku pró-
bach podstawiania różnych liczb n wciąż otrzymywali równość L = P, wówczas
nabralibyśmy podejrzeń, że równość ta jest prawdziwa zawsze (co oznaczało-
by, że podany ciąg jest geometryczny); żeby jednak to udowodnić, należałoby np.
przekształcić lewą stronę tak, aby otrzymać prawą, lub na odwrót.
Uwaga 2: w tym przypadku nierówność L P można było uzasadnić obser-
wacją, że dla każdego n zachodzi równość L - P = 4, a liczby różniące się o 4
nie mogą być przecież równe!
Zadanie 3. Trzy liczby o sumie 21 tworzą ciąg geometryczny. Jeśli drugą z nich
zwiększymy o 25%, otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby?
RozwiÄ…zanie. Oznaczmy poszukiwane liczby przez a, b i c. (1)
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a + b + c = 21 (2)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
b2 = ac (3)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a+c
ół
1,25 b = (4)
2
Szukamy liczb a, b i c. (5)
a+c 2
b = = (a + c) (6)
2,5 5
2
a + (a + c) + c = 21 (7)
5
7 7 5
a + c = 21 /·
5 5 7
a + c = 15
c = 15 - a (8)
2 2
b = (a + 15 - a) = · 15 = 6 (9)
5 5
62 = a(15 - a) (10)
36 = 15a - a2
a2 - 15a + 36 = 0
" = (-15)2 - 4 · 1 · 36 = 225 - 144 = 81 (11)
"
" = 9
15-9
a1 = = 3,
2·1
15+9
a2 = = 12
2·1
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
a = 3 a = 12
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
1ć% b = 6 lub 2ć% b = 6
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
c = 15 - 3 = 12 c = 15 - 12 = 3
Odpowiedz
. Szukane liczby to 3, 6, 12 lub 12, 6, 3. (12)
Objaśnienia.
(1) Oczywiście, moglibyśmy oznaczyć szukane liczby np. przez a1, a2, a3, ale
oznaczenie a, b, c jest wygodniejsze  nie trzeba tyle pisać. Warto wybierać wy-
godniejsze oznaczenia!
(2) Zaczynamy od zapisania warunków podanych w zadaniu w postaci alge-
braicznej.
(3) To znany nam już warunek na ciąg geometryczny.
(4)  Powiększenie liczby o 25% to to samo, co  pomnożenie jej przez 1,25 ,
stąd  druga liczba zwiększona o 25% to 1,25 b.
(5) Innymi słowy, rozwiązujemy układ równań (2) (4). Dla oszczędności miej-
sca nie będziemy przy każdym przekształceniu przepisywać całego układu,
a tylko przekształcane równanie.
(6) Z warunku (4) wyznaczyliśmy b...
(7) ...i podstawiliśmy do warunku (2).
(8) Następnie z powstałego równania wyliczyliśmy c...
(9) ...i podstawiliśmy do równania (6), wyliczając b.
(10) Wyliczone b oraz wzór na c z równania (8) podstawiliśmy do równania (3).
Gdy rozwiązujemy układ równań, z których jedno jest kwadratowe (w naszym
przypadku jest nim równanie (3), bowiem występuje tu zarówno b2, jak i nie-
wiadome a i c pomnożone przez siebie), a pozostałe liniowe, najlepiej z równań
liniowych wyznaczyć tyle niewiadomych, ile jesteśy w stanie, a potem podsta-
wić otrzymane wzory do równania kwadratowego tak, aby pozostała w nim
tylko jedna niewiadoma. Wówczas rozwiązujemy to równanie zwykłymi me-
todami.
(11) Ponieważ " > 0, mamy dwa rozwiązania równania (10). Ponieważ potrze-
bujemy a, by wyznaczyć inne niewiadome (w tym przypadku c, bo b = 6 nieza-
leżnie od wartości a), oznacza to, że otrzymamy dwa różne ciągi.
Zauważmy, że nie możemy przepisać bez zmian wzoru na wyróżnik i pier-
wiastki równania kwadratowego z tablic, gdyż litery a, b i c mają w naszym
zadaniu inne znaczenie! Dlatego nie pisaliśmy wzorów ogólnych na ", a1 i a2,
tylko od razu podstawiliśmy liczby.
(12) To, że otrzymailśmy dwa ciągi, z których każdy jest drugim czytanym wspak,
nie powinno nas zaskakiwać: przecież, gdy napiszemy ciąg arytmentyczny w od-
wrotnej kolejności, otrzymamy znów ciąg arytmetyczny; podobnie jest dla cią-
gów geometrycznych. Prawda?
Zadanie 4. Wylicz sumÄ™ wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7.
Rozwiązanie. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 7 to 14, a najwięk-
sza to 98. (1)
Liczby 14, 21, . . . , 98 tworzą ciąg arytmetyczny (an) o różnicy 7. (2)
Wyznaczam liczbę jego wyrazów n: (3)
an = 98
a1 + (n - 1)r = 98
14 + (n - 1) · 7 = 98
7 + 7n = 98
7n = 91
n = 13
Zatem suma wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7 to
14+98
S13 = · 13 = 56 · 13 = 728.
2
Objaśnienia.
(1) Liczby 14 i 98 możemy odgadnąć lub znalez
ć metodą prób i błędów, ale
możemy też je wyliczyć (przy tak małych liczbach jest to raczej niepotrzebne,
ale dobrze jest znać ogólny sposób wyliczania  a nie odgadywania  odpowied-
nich liczb, na wypadek, gdybyśmy mieli np. znalez
ć sumę wszystkich liczb sze-
ściocyfrowych podzielnych przez 129...) Zauważmy, że liczby dwucyfrowe to te
liczby całkowite, które są większe od 9 i mniejsze od 100, zaś liczby podzielne
przez 7 to te, które można zapisać jako 7k, gdzie k " C. Zatem na pytanie,  które
liczby dwucyfrowe są podzielne przez 7 możemy odpowiedzieć, rozwiązując
nierówności:
9 < 7k oraz 7k < 100
2 2
1 < k k < 14
7 7
Spełniają je liczby całkowite k = 2, 3, . . . , 14, zatem szukane liczby dwucyfrowe
podzielne przez 7 to:
7 · 2 = 14,
7 · 3 = 21,
. . . ,
7 · 14 = 98.
(2) Każde dwie kolejne liczby podzielne przez 7 różnią się oczywiście o 7, stąd
szukane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 7.
(3) We wzorze na sumę częściową ciągu arytmetycznego występują: pierwszy
i ostatni wyraz tego ciągu (które w naszym zadaniu znamy) oraz liczba wy-
razów (której nie znamy). Aby ją wyliczyć, skorzystaliśmy ze wzoru na wyraz
ogólny i wyznaczyliśmy numer ostatniego wyrazu, który jest jednocześnie licz-
bą wyrazów.
Przygotowanie:
Marcin Borkowski