Korki we wtorki
GÅ‚os Wielkopolski, 17.11.2009
Trójmiany kwadratowe
Zadanie 1. Rozwiąż równanie x3 + x2 + x + 1 = -x3 + 7x + 1.
RozwiÄ…zanie.
x3 + x2 + x + 1 = -x3 + 7x + 1
2x3 + x2 - 6x = 0 (1)
x(2x2 + x - 6) = 0 (2)
Znajduję postać iloczynową trójmianu 2x2 + x - 6.
"
" = 12 - 4 · 2 · (-6) = 49, wiÄ™c " = 7 (3)
-1-7 -1+7 3
x1 = = -2, x2 = =
2·2 2·2 2
3
Zatem 2x2 + x - 6 = 2(x + 2)(x - ). (4)
2
3
2x(x + 2)(x - ) = 0
2
3
2x = 0 lub x + 2 = 0 lub x - = 0
2
3
x = 0 lub x = -2 lub x =
2
3
Odpowiedz
. Rozwiązaniami danego równania są liczby -2, 0 oraz .
2
Objaśnienia.
(1) Często stosowaną metodą rozwiązywania równań jest zapisanie ich w po-
staci
wyrażenie1 · wyrażenie2 = 0
(w zależności od równania, po lewej stronie może wystąpić więcej czynników
niż dwa). Następnie korzysta się z faktu, że iloczyn kilku wyrażeń może wy-
nosić 0 tylko wówczas, gdy jedno (lub więcej) z nich wynosi 0, czyli w naszym
przykładzie, gdy
wyrażenie1 = 0 lub wyrażenie2 = 0;
w ten sposób z jednego skomplikowanego równania otrzymujemy kilka, ale za
to prostszych.
Aby zastosować tę metodę, zaczęliśmy od przeniesienia wszystkich skład-
ników na jedną stronę i redukcji wyrazów podobnych.
(2) Aby rozłożyć wielomian na czynniki, możemy (w zależności od wielomia-
nu) bÄ…dz
skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, bądz
pogrupować skład-
niki i wyłączyć wspólne czynniki przed nawiasy, bądz
wreszcie  tak jak w na-
szym zadaniu  od razu wyłączyć wspólny czynnik (x). Pozostaje nam wów-
czas czynnik będący trójmianem kwadratowym  dlatego zadanie to omawia-
my w ramach tematu o trójmianach i funkcjach kwadratowych.
Moglibyśmy już teraz zastosować metodę opisaną w punkcie (1) i rozłożyć
nasze zadanie do postaci alternatywy dwóch (łatwiejszych) równań:
x = 0 lub 2x2 + x - 6 = 0.
Byłoby to całkowicie poprawne; my jednak postąpiliśmy inaczej i doprowadzili-
śmy najpierw całą lewą stronę do postaci iloczynowej. W tym celu rozłożyliśmy
czynnik kwadratowy na iloczyn dwóch czynników liniowych.
(3) Ponieważ wyróżnik jest dodatni, postać iloczynowa dana jest wzorem a(x -
x1)(x - x2), gdzie a to współczynnik przy x2, zaś x1 i x2 to pierwiastki. (Gdyby
wyróżnik wynosił 0, trójmian kwadratowy miałby jeden pierwiastek podwój-
ny x0 i postać iloczynowa wyglądałaby inaczej: a(x - x0)2; gdyby wyróżnik był
ujemny, nie bylibyśmy w stanie rozłożyć trójmianu na czynniki, trójmian kwa-
dratowy nie miałby pierwiastków rzeczywistych, a więc wyjściowe równanie
miałoby tylko jeden pierwiastek, liczbę 0.)
(4) Bardzo częstym błędem jest zapominanie o współczynniku, który oznaczy-
liśmy przez a, zarówno przy wyznaczaniu pierwiastków (gdy pojawia się on
w mianowniku), jak i przy wypisywaniu postaci iloczynowej.
Zadanie 2. Naszkicuj wykres funkcji f (x) = -3x2 - 7x + 6.
Rozwiązanie. Punkt przecięcia z osią OY:
f (0) = -3 · 02 - 7 · 0 + 6 = 6,
a więc wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie (0, 6). (1)
Punkty przecięcia z osią OX:
" = (-7)2 - 4 · (-3) · 6 = 121 > 0,
zatem miejscami zerowymi funkcji f sÄ… liczby
2
x1 = oraz x2 = -3.
3
2
Wykres funkcji f przecina więc oś OX w punktach ( , 0) i (-3, 0). (2)
3
Współrzędne wierzchołka: (3)
-7 7 1
p = - = - = -1 ,
2·(-3) 6 6
121 121 1
q = - = = 1012 .
4·(-3) 12
Wierzchołek paraboli będącej wykresem danej funkcji f ma zatem współrzędne
1 1
(-1 , 10 ). (4)
6 12
y
121
12
6
1
(5)
7 2
-3 0 1 x
-
6 3
Objaśnienia.
(1) Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, najczęściej znajdujemy współ-
rzędne  charakterystycznych punktów tego wykresu: przecięć z osiami ukła-
du współrzędnych oraz wierzchołka paraboli. Najłatwiej wyliczyć współrzędne
punktu przecięcia wykresu z osią OY; wynoszą one (0, f (0)). (Gdy zapiszemy
funkcję kwadratową w postaci f (x) = ax2 + bx + c, gdzie a 0, jest to oczywiście
punkt o współrzędnych (0, c).)
(2) Jeśli miejsca zerowe funkcji kwadratowej (przypomnijmy, że miejsce zerowe
funkcji f to nie punkt, lecz taka liczba x, że f (x) = 0) wynoszą x1 i x2, to punktami
przecięcia wykresu z osią OX są punkty (x1, 0) i (x2, 0).
Gdybyśmy mieli narysować wykres funkcji kwadratowej, która ma jeden
pierwiastek podwójny (wówczas punktem przecięcia z osią OX jest wierzcho-
łek) lub nie ma pierwiastków rzeczywistych (wówczas punktów przecięcia z osią OX
nie ma wcale), najprościej byłoby sporządzić tabelkę z kilkoma wartościami,
najlepiej leżącymi zarówno po lewej, jak i po prawej stronie od wierzchołka
paraboli.
(3) Przypomnijmy, że współrzędne wierzchołka paraboli y = ax2 + bx + c, gdzie
b "
a 0, wyrażają się wzorami p = - i q = - , gdzie " = b2 - 4ac.
2a 4a
(4) Jak to zostało wspomniane wyżej, nie warto wyznaczać osobno współrzęd-
nych wierzchołka, jeśli " = 0, bowiem wówczas wierzchołek paraboli pokrywa
się z jej punktem przecięcia z osią OX, czyli (x0, 0), gdzie x0 oznacza jedyne
miejsce zerowe danej funkcji kwadratowej.
(5) Dla polepszenia czytelności rysunku zastosowano różne skale na obu osiach
układu współrzędnych.
Zadanie 3. Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x) = -3x2 - 7x + 6 w przedziale -2, 1 .
Rozwiązanie. W poprzednim zadaniu wyznaczyliśmy współrzędne wierzchołka
wykresu funkcji f . Ponieważ -7 " -2, 1 , zatem porównujemy liczby:
6
f (-2) = -3 · (-2)2 - 7 · (-2) + 6 = 8;
f (1) = -3 · 12 - 7 · 1 + 6 = -4;
7 1
f (- ) = 10 .
6 12
Odpowiedz
. Najmniejszą wartością funkcji f w przedziale -2, 1 jest f (1) = -4,
7 1
zaś największą f (- ) = 10 .
6 12
Objaśnienia. Aby znalez
ć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej
na przedziale domkniętym i ograniczonym, zauważmy, że funkcja taka może
przyjmować wartość najmniejszą bądz
największą jedynie na którymś z krań-
ców przedziału lub też dla argumentu równego odciętej wierzchołka paraboli
(odciętą tę oznaczyliśmy wcześniej przez p), o ile p należy do rozważanego prze-
działu. W naszym przypadku tak właśnie jest, zatem wyznaczamy te trzy liczby
i spośród nich wybieramy najmniejszą i największą; gdyby wartość p nie nale-
żała do badanego przedziału, porównywalibyśmy jedynie dwie liczby  war-
tości funkcji f na krańcach przedziału (w naszym przypadku byłyby to liczby
f (-2) = 8 i f (1) = -4).
Przygotowanie:
Marcin Borkowski