5. RÓWNANIA KOSMOLOGICZNE WYPROWADZONE
Z TEORII NEWTONOWSKIEJ
Otrzymane w poprzednim rozdziale ( Kosmologiczne rozwi zania równa Einsteina ) równania
kosmologiczne Friedmanna (równanie (3) i (4)) można także formalnie otrzymać na gruncie klasycznej
teorii newtonowskiej. Rozważmy w tym celu pewien dowolny kulisty obszar wszechświata  kulę o
promieniu R wypełnioną jednorodnie masą M o gęstości 5.
Ze względu na ogólną ekspansję wszechświata promień naszej sfery zmienia się w czasie:
/
R(T) = RT) · R Ć (
( Ć (gdzie R = 1  jednostkowy wersor, zaś RT) to zmienny w czasie czynnik skali).
Jednostkowa cząstka próbna M ma energię kinetyczną (wynikającą z udziału w ekspansji) oraz energię
potencjalnÄ… w polu grawitacyjnym masy M:
11 4

GMM Ć
E = MR -= MR 2R - 3G5R (1)
2
R 3
Ć
co można przekształcić do postaci (przyjmując MR = 1)

R 83G5 KC


(2)
R -=-


3 R

gdzie -KC = 2E zaś K = 0 +1 -1. Jest to odpowiednik równania (4) z poprzedniego rozdziału.
Przy ekspansji adiabatycznej mamy równanie (z I zasady termodynamiki) DU + PDV = 0. Energia
wewnętrzna w naszej kuli to energia związana z masą M czyli U = MC = 3R 5C . Wówczas
różniczkowania dają nam
DU 4


= 3C (35RR + 5R )
DT 3
DV

= 43RR
DT
Po wstawieniu do I zasady termodynamiki i uporzÄ…dkowaniu otrzymamy

R P

5 + 3 + (3)
5 = 0
R C
Jest to tzw. warunek zachowawczy (który w formalizmie OTW wynika z zerowania się
kowariantnej dywergencji tensora energii  pędu T = 0).
Zróżniczkujmy teraz równanie (2) po czasie:

RRR - R 83G 2KC R

2 - 5 =
R R 3 R R

Wielkość 5 wez
miemy z równania (3) i otrzymamy:

R

R

-
R + 43G +
5 P = KC

R C R

Za prawą stronę KC R wstawimy równanie (2) i uporządkujemy:

R 43G 3P
+ 5 + = 0 (4)

R 3 C
Jest to tzw. równanie na przyspieszenie.
Dodając stronami równania (2) i (4) otrzymamy:

R 83G KC
R

2 + + P + = 0 (5)

R


R C R

Jest to równanie identyczne jak równanie kosmologiczne (3) w poprzednim rozdziale. Jeśli
ciśnienie jest zaniedbywalne (P = 0) to równanienie (5) przy zastosowaniu (4) jest identyczne z
równaniem (2).
Jak widać, można formalnie otrzymać kosmologiczne równania Friedmanna bazując na mechanice
newtonowskiej. Jednak mimo formalnej poprawności rachunków, ideologia stojąca za nimi jest
wątpliwej wartości. Trzeba bowiem pamiętać, że wszystko rozgrywa się tu w nieskończonej i
euklidesowej przestrzeni, a kosmologia newtonowska obarczona jest znanymi  paradoksami
(paradoks grawitacyjny oraz paradoks Olbersa). W pełni zadowalające uzasadnienie dla otrzymanych
równań otrzymuje się na gruncie ogólnej teorii względności.
prof. Jerzy Sikorski