Politechnika Świętokrzyska
Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn
Centrum Laserowych Technologii Metali PÅšk i PAN
Zakład Informatyki i Robotyki
Przedmiot: Teoria Sterowania - laboratorium, rok IV, sem. VII,
Specjalność: Zastosowanie Informatyki, 2003÷2004.
Ćwiczenie nr 2.
Dobór parametrów regulatorów PID
1. Wstęp
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami doboru nastaw regulatora PID.
Zdobycie umiejętności określania parametrów zastępczych stanowiących dane wejściowe
dla kryterium. Porównanie różnych kryteriów doboru nastaw pod kątem wpływu na
parametry odpowiedzi układu regulacji na skokowy sygnał zadany lub skokowe
zakłócenie.
2. Podstawy teoretyczne
W ćwiczeniu rozpatrywane będą zagadnienia dotyczące syntezy (projektowania)
układu regulacji automatycznej. Zagadnienie syntezy regulacji obejmuje dobranie struktury
układu regulacji oraz typu i nastaw (parametrów) regulatora. Dane wejściowe zagadnienia
syntezy obejmujÄ…:
 model matematyczny obiektu regulacji (otrzymywany w wyniku identyfikacji),
 zadanie układu regulacji i wskaz
niki jakości sterowania,
 charakter zakłóceń mogących działać na układ (mierzalne, losowe),
 ograniczenia dotyczące sygnałów wymuszających (np. mocy wzmacniacza).
W praktyce przyjmuje się szereg uproszczeń dotyczących zarówno modeli
matematycznych obiektów jak i sformułowania wskaz
ników jakości regulacji i struktur
regulatorów. Zadaniem syntezy jest wyznaczenie równania optymalnego regulatora jak
najlepiej spełniającego przyjęte kryteria jakości regulacji. Istotnym punktem syntezy jest
więc przyjęcie wskaz
nika (kryterium) jakości regulacji. Kryteria jakości można podzielić na
kilka grup:
 kryteria związane z oceną parametrów charakterystyki skokowej,
 kryteria związane z oceną parametrów charakterystyk częstotliwościowych,
 kryteria dotyczące rozkładu zer i biegunów transmitancji układu zamkniętego,
 kryteria całkowe.
Wymienione grupy kryteriów są ze sobą ściśle powiązane (np. częstotliwościowa
charakterystyka widmowa jest transformatÄ… Fouriera czasowej charakterystyki
impulsowej). Wybór określonego kryterium wynika zazwyczaj z rodzaju zadania regulacji,
pracochłonności obliczeń, możliwości pomiarowych itp. Jest on uwarunkowany
rozpatrywanym problemem, duża liczba różnych kryteriów pozwala wybrać ocenę
najodpowiedniejszą dla syntezy konkretnego układu regulacji. Należy pamiętać, że
wymienione kryteria jakości dynamicznej (w stanach przejściowych) są związane z
zapewnieniem żądanej dokładności statycznej regulacji (tj. uchybów w stanie ustalonym).
3. Regulacja PID
Na rys.3.1 przedstawiono schemat typowego układu regulacji. Rolą regulatora jest
zapewnienie pożądanego zachowania określonego sygnału wyjściowego z obiektu
poprzez przetwarzanie (wg zadanego algorytmu) sygnału sprzężenia zwrotnego i sygnału
zadanego (najczęściej ich różnicy, czyli uchybu regulacji) i wytwarzanie sygnału
sterującego obiektem. Z punktu widzenia opisu dynamiki regulator można traktować jako
GRśąsźą
element opisany transmitancją i kształtujący właściwości dynamiczne układu
zamkniętego.
Rys. 3.1 Schemat blokowy układu regulacji
W większości zastosowań przemysłowych stosuje się regulatory, które są
regulatorami typu PID, tzn. realizują kombinację działania proporcjonalnego P,
całkującego I i różniczkującego D. Działanie idealnego regulatora PID jest opisane
równaniem różniczkowym:
t
1 d
uśątźą=Kp eśątźąƒÄ… dtƒÄ…Td
+" 3.1
[ Ti 0 dt ]
co odpowiada transmitancji:
U śąsźą 1
GRśąsźą= =Kp 1ƒÄ… ƒÄ…sÅ"Td
3.2
śą źą
Eśąsźą sÅ"Ti
W praktyce algorytm działania odbiega od liniowego. Stosuje się np. ograniczenie
zakresu zmian sygnału sterującego uśątźą , wprowadza strefę martwą w części P, co
zapobiega częstemu przełączaniu elementu wykonawczego przy przechodzeniu błędu
przez zero, a do części D podaje się tylko sygnał sprzężenia zwrotnego -yśątźą , co
zapobiega uderzeniowym zmianom sygnału sterującego przy skokowych zmianach
wartości zadanej. Działanie całkujące regulatora zapewnia sprowadzenie do zera błędu
regulacji w stanie ustalonym.
Kp Ti T
Parametry , , należy uważać za dające się nastawiać w danym
d
regulatorze w pewnych zakresach wartości. Stałe te noszą powszechnie stosowane nazwy:
Kp
: współczynnik wzmocnienia, współczynnik proporcjonalności,
Ti
: czas zdwojenia, stała czasowa części całkującej,
Td
: czas wyprzedzenia, stała czasowa części różniczkującej.
Czas zdwojenia, jest to czas potrzebny na to, aby przy wymuszeniu skokowym
podanym na wejście regulatora PI sygnał wyjściowy regulatora podwoi swą wartość w
stosunku do skoku początkowego spowodowanego działaniem proporcjonalnym (rys.
3.2a). Liniowe narastanie sygnału wyjściowego jest efektem działania całkującego.
Czas wyprzedzenia, jest to czas po upływie którego, w przypadku podania na
wejście regulatora PD sygnału narastającego liniowo, sygnał związany z działaniem
proporcjonalnym zrówna się z sygnałem pochodzącym od działania różniczkującego (rys
3.2b).
Zadanie projektowe polega na dobraniu wartości tych nastaw spełniających zadania
regulacji. Omówione regulatory nie wyczerpują oczywiście wszystkich możliwych
regulatorów. Do realizowania bardziej złożonych zadań regulacji stosuje się np. regulatory
PID wyższych rzędów, które mają więcej parametrów nastawianych.
Ti Td
Rys. 3.2. Graficzna interpretacja: a) czasu zdwojenia , b) czasu wyprzedzenia
4. Kryteria jakości regulacji
Podstawowym zadaniem układu automatycznej regulacji jest odwzorowanie przez
sygnał regulowany yśątźą sygnału zadanego xśątźą . Zadanie to może być wykonane
jedynie z pewną dokładnością, podczas pracy układu powstaje bowiem uchyb regulacji
eśątźą stanowiący różnicę między wielkością regulowaną a jej wartością zadaną
(wywołany jest on szeregiem przyczyn, zakłóceniami, realizacją techniczną układu,
własnościami transmitancji układu otwartego itp.).
eśątźą=xśątźą-yśątźą 4.1
Wymagania dynamiczne stawiane układom regulacji często sprowadzają się do
żądania określonego przebiegu sygnału błędu przy skokowym wymuszeniu. W sygnale
eu epśątźą
błędu można wyróżnić dwie składowe: uchyb ustalony i uchyb przejściowy .
eśątźą=euƒÄ…epśątźą
4.2
Rys. 4.3. Sposób wyznaczania wskaz
ników jakości regulacji na podstawie oscylacyjnego
przebiegu wielkości regulowanej
Najczęściej stosowanymi wskaz
nikami jakości związanymi z przebiegami
czasowymi sÄ…:
eu
 uchyb ustalony tj. wartość sygnału błędu eśątźą jaka utrzymuje się w
epśątźą=0
układzie, gdy zanikną już procesy przejściowe , sygnał ustalony:
eu=lim eśątźą
4.3
t Śą"
tr
 czas ustalania (regulacji) tj. czas jaki upływa od chwili doprowadzenia do
układu wymuszenia (lub zakłócenia) do momentu, gdy składowa przejściowa
e śąt źą
­Ä…e
sygnału błędu zmaleje trwale poniżej założonej wartości .
p
­Ä… e Ä…1 Ä…3 %
Zazwyczaj przyjmuje się równe lub wokół wartości końcowej
epśąt źą
sygnału . Czas regulacji określa czas trwania przebiegu przejściowego.
tn
 czas narastania tj. czas potrzebny do tego, aby charakterystyka skokowa
osiągnęła od 10 % 90 % wartości ustalonej (inna definicja określa czas
do
narastania jako czas dojścia od 0 % 100 % wartości ustalonej). Czas
do
narastania określa szybkość działania układu regulacji.
M
 przeregulowanie to wyrażany w procentach stosunek maksymalnej
p
wartości odpowiedzi skokowej do wartości stanu ustalonego (rys. 4.3a).
Przeregulowanie odpowiedzi skokowej jest miarą stabilności układu
zamkniętego. Jeżeli rozpatrywany jest przebieg uchybu regulacji (np. w
odpowiedzi na skokowe zakłócenie) lub odpowiedz
swobodna układu, to jako
Ä„Ä…
analogiczny wskaz
nik przeregulowania stosuje się współczynnik zanikania
tj. iloraz wartości bezwzględnych amplitud dwóch sąsiednich przeregulowań
układu (rys. 4.3b):
e
p2
Ä„Ä…= Å"100 %
4.4
#" #"
e
p1
0
W przypadku przebiegów aperiodycznych przeregulowanie jest równe . Dla
Ä„Ä…=100 %
układu znajdującego się na granicy stabilności przeregulowanie . Jeżeli układ
zamknięty (nawet jeżeli jest to układ wyższego rzędu) można aproksymować
transmitancją członu oscylacyjnego II rzędu:
ÎÄ…n2
Gśą sźą=
4.5
s2ƒÄ…2źąÎÄ…n sƒÄ…ÎÄ…n2
ÎÄ…n źą
gdzie: - częstotliwość drgań własnych nietłumionych, - względny współczynnik
tłumienia), to można używać następujących zależności przybliżonych:
1.4 dla źą=0.3
¸Ä… ·Ä…
4.6 dla ­Ä… e=1%
¸Ä…= ·Ä…=
tu= tnH"
1.8 dla źą=0.5
, gdzie , , gdzie ,
{ }
źąÎÄ…n 3.5 dla ­Ä… e=3 % ÎÄ…n
{ }
2.1 dla źą=0.7
5 % dla źą=0.7
-Ćą źą
2
M C"
15 % dla źą=0.5
często spotykane wartości: p 4.6
M =ećą1-źą Å"100 %
p
{ }
35% dla źą=0.3
5. Całkowe kryteria jakości regulacji
Optymalizacja układu regulacji ma za zadanie uzyskanie możliwie krótkiego czasu
regulacji i jak najmniejszego przeregulowania. Wymagania te sÄ… sprzeczne ze sobÄ… i
dlatego konieczny jest kompromis. W praktyce do oceny jakości układu regulacji stosuje
się kryteria całkowe, mające charakter kryteriów globalnych, oceniających cały przebieg
e śąt źą
sygnału błędu . Polegają one na żądaniu minimalizacji wartości jednego z
p
całkowych wskaz
ników jakości:
5.1 Kryterium ISE (Integral Squared Error):
"
2
I = e śąt źądt 5.1
+"
ISE p
0
W przypadku zastosowania kryterium ISE do układu zamkniętego o transmitancji
M =16 %
źą=0.5
G śąsźą=1/śą1ƒÄ…2 Å"źąÅ"sƒÄ…s2źą , uzyskuje siÄ™ i przeregulowanie .
p
5.2 Kryterium ITSE ( Integral of Time multiplied by Squared Error):
"
2
I = tÅ"e śąt źądt 5.2
+"
ITSE p
0
t
Mnożenie przez czas odpowiada nadawaniu wagi wartości kwadratu błędu i
powoduje, że uzyskuje się większe tłumienie oscylacji wielkości regulowanej w dalszych
przedziałach czasowych.
5.3 Kryterium IAE (Integral of Absolute value of Error):
"
I = e śąt źą dt 5.3
+"#" #"
IAE p
0
W przypadku zastosowania tego kryterium do optymalizacji układu zamkniętego o
źą=1
transmitancji G śąsźą=1/śą1ƒÄ…2 Å"źąÅ"sƒÄ…s2źą otrzymuje siÄ™ współczynnik tÅ‚umienia . W
praktyce dopuszcza się na ogół pewien stopień przeregulowania, czyli tłumienie mniejsze
od krytycznego, dzięki czemu szybciej osiąga się wartość zadaną. Dlatego kryterium IAE
rzadko znajduje zastosowanie w praktyce.
5.4 Kryterium ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute value of Error):
"
I = t epśąt źą dt 5.4
+" #" #"
ITAE
0
t
Mnożenie przez czas odpowiada nadawaniu wagi wartości bezwzględnej błędu.
Kryterium to znalazło szerokie zastosowanie w technice, ponieważ prowadzi do
kompromisu: niewielkie przeregulowanie przy stosunkowo krótkim czasie regulacji. Jeżeli
układ zamknięty jest opisany transmitancją n-tego rzędu postaci:
b0
Y śąsźą
GZ śąsźą= =
5.5
Z śąsźą M śąsźą
n
to optymalne w sensie ITAE wielomiany mianownika są następujące (w zależności od
n
rzędu ):
P1śąsźą=sƒÄ…ÎÄ…0 ,
2
P2śą sźą=s2ƒÄ…1.41ÎÄ…0 sƒÄ…ÎÄ…0 ,
2 3
P3śąsźą=s3ƒÄ…1.75ÎÄ…0 s2ƒÄ…2.1 ÎÄ…0 sƒÄ…ÎÄ…0 ,
2 3 4
P4śąsźą=s4ƒÄ…2.1 ÎÄ…0 s3ƒÄ…3.4 ÎÄ…0 s2ƒÄ…2.7 ÎÄ…0 sƒÄ…ÎÄ…0 ,
ÎÄ…0
gdzie oznacza częstotliwość drgań własnych układu i jest miarą szybkości regulacji
(pasma przenoszenia). Kryterium ITAE zastosowane do optymalizacji układu regulacji
drugiego rzędu daje w wyniku współczynnik tłumienia źą=1/ 2=0.707 i
ćą
Mp=4 %
przeregulowanie .
6. Kryteria jakości regulacji odnoszące się do przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu zamkniętego
6.1 Kryterium modułu
Idealny układ regulacji powinien wiernie odwzorowywać sygnał wejściowy, czyli
powinien spełniać warunek yśątźą=xśątźą . Wynika stąd następująca zależność na
transmitancję układu zamkniętego:
Y śąsźą
Gzśąsźą=
6.1
X śąsźą
W praktyce nie jest na ogół możliwe zrealizowanie regulatora o transmitancji
spełniającej powyższy warunek. Dlatego korzysta się z kryterium modułu wyrażonego
następującą zależnością:
6.2
#"G śąsźą#"H"1
z
co oznacza, że amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa powinna w możliwie
szerokim paśmie częstotliwości mieć wartość stałą równą jedności. Warunek ten jest
szczególnie istotny w otoczeniu ÎÄ…=0 , ponieważ oznacza brak bÅ‚Ä™du w stanie
GzśąÎąźą
ustalonym. W związku z tym po rozwinięciu funkcji w szereg Maclaurina w
otoczenia punktu ÎÄ…=0 , dostajemy nastÄ™pujÄ…ce warunki:
d#"GzśąÎąźą#" d2 #"GzśąÎąźą#" dn#"GzśąÎąźą#"
=0 , =0 ,..., =0 6.3
śą źą
śą źą śą źą
d ÎÄ…
d ÎÄ…2 Îąśątźą=0 d ÎÄ…n Îąśątźą=0
Îąśątźą=0
Ponieważ funkcja moduÅ‚u jest funkcjÄ… parzystÄ…: #"Gśą j Îąźą#"=#"Gśą-j Îąźą#" , to gdy
ÎÄ…=0 znikajÄ… wszystkie pochodne nieparzyste wzglÄ™dem ÎÄ… . JednoczeÅ›nie pochodne
parzyste zależą w tym przypadku od parametrów układu regulacji. Warunek zerowej
wartości możliwie dużej liczby pochodnych parzystych:
d2n#"GzśąÎąźą#"
=0 6.4
śą źą
d ÎÄ…2 n Îąśątźą=0
oznacza więc kryterium modułu optymalnego, przy czym n oznacza liczbę
nastawianych parametrów regulatora. W praktyce stosuje się często uproszczone
kryterium modułu, polegające na skompensowaniu przy pomocy regulatora pewnej liczby
dominujących stałych czasowych obiektu. Załóżmy, że transmitancję statycznego obiektu
regulacji w układzie zamkniętym jak na rys.3.1 można przedstawić w postaci:
1 1
Gśąsźą=K Å"
6.5
1ƒÄ…sT1 1ƒÄ…sTÈÄ…
gdzie stałe czasowe spełniają relację
TÈÄ…"Ä…T1"Ä…4 TÈÄ…
6.6
T1 TÈÄ…
jest jedyną dużą stałą czasową w obiekcie, natomiast stała czasowa może być
traktowana jako suma zastępcza większej liczby pozostałych małych stałych czasowych
TÈÄ…= Tk
obiektu: " . Dużą stałą czasową obiektu można skompensować przez
zastosowanie regulatora PI o transmitancji:
1ƒÄ…sTR
K śąsźą=KR
6.7
sTR
KR kp T =Ti
gdzie: - współczynnik wzmocnienia , - czas zdwojenia.
R
Regulator PI oprócz działania forsującego potrzebnego do kompensacji inercji
posiada człon całkujący pozwalający minimalizować uchyb regulacji w stanie ustalonym.
Dla uzyskania kompensacji dużej stałej czasowej obiektu przyjmuje się:
T =T1
6.8
R
Przy takim założeniu otrzymuje się transmitancję układu zamkniętego
W W
KG
R
Gzśąsźą= =
6.9
1ƒÄ…KG
W W ƒÄ…sT1 ƒÄ…s2T1TÈÄ…
R
Osiągnięcie idealnej regulacji byłoby możliwe, gdyby przy wszystkich częstotliwościach, a
więc przy wszystkich wartościach s , wielkość regulowana Y śąsźą była równa
wymuszeniu xśąsźą . W rzeczywistości wymienione wielkości związane są zależnością:
Y śąsźą=GzśąsźąX śąsźą
6.10
i dlatego w praktyce korzysta się z uproszczonego kryterium modułu. Przez odpowiedni
dobór nastaw regulatora uzyskuje siÄ™ w pobliżu ÎÄ…=0 moduÅ‚ transmitancji ukÅ‚adu
zamkniętego zbliżony do jedności. Dobrany regulator powinien zapewnić utrzymanie
#"Gzśąsźą#"H"1
warunku również przy zwiÄ™kszaniu s= j ÎÄ… do możliwie dużej wartoÅ›ci.
Gzśąsźą Gzśąsźą*
Mnożąc przez wyrażenie sprzężone otrzymuje się po przekształceniu
zależność:
2
W W
R
G2śąsźą=
6.11
z
2 2 2 2
W W ƒÄ…śą2W W T1TÈÄ…-T1źąs2ƒÄ…s4T1TÈÄ…
R R
Jeżeli to wyrażenie ma być niezależne od częstotliwości, to co najmniej wyrażenie w
nawiasie mianownika powinno być równe zeru. Uwzględnienie tego warunku prowadzi
do równania
T1
KR=
6.12
2 KTÈÄ…
określającego drugi parametr regulatora. Dla obwodu regulacyjnego II rzędu z nastawą
według kryterium modułowego uzyskuje się transmitancję standardową układu
zamkniętego:
1
GZMśąsźą=
6.13
2
1ƒÄ…s2TÈÄ…ƒÄ…s2 2TÈÄ…
ÎÄ…0=1/TÈÄ…
gdzie i .
źą=1/ 2
ćą
Zasady nastawiania regulatora według kryterium modułowego mogą być
rozszerzone na obiekty inercyjne z większą liczbą stałych czasowych do kompensacji. W
ogólnym przypadku zakłada się transmitancję obiektu postaci:
n
1 1
Gśąsźą=K
6.14
"
1ƒÄ…sTÈÄ… ÃÄ…=1 1ƒÄ…sTÃÄ…
tÃÄ… T
gdzie: - duża stała czasowa, - zastępcza mała czasowa. Do kompensowania
ÈÄ…
dużych inercyjności obiektu dobiera się regulator PID n -tego rzędu o transmitancji:
n
1 1
GRśąsźą=KR
" 6.15
sTC ÃÄ…=1 1ƒÄ…sT
RÃÄ…
w której kolejne stałe czasowe regulatora służą do wyeliminowania stałych czasowych
obiektu. Nastawy regulatora powinny mieć wartości
K
1
R
T =T =
, 6.16
RÃÄ… ÃÄ…
T 2 KT
C ÈÄ…
Zauważmy, że do kompensacji dwóch stałych czasowych ( n=2 ) należy zastosować
regulator
śą1ƒÄ…sT źąśą1ƒÄ…sT źą
R1 R2
GRśąsźą=K Å"
6.17
R
sT
C
którego transmitancja jest równoważna transmitancji idealnego regulatora PID postaci:
1
GPID=K śą1ƒÄ… ƒÄ…sT źą
6.18
P d
sT
i
6.2 Kryterium symetrii
Określanie nastaw według tzw. kryterium symetrii stosuje się w przypadku obiektu,
którego transmitancję można zapisać jako połączenie członu całkującego oraz zastępczej
T = T
małej stałej czasowej " :
ÈÄ… k
1 1
G śąsźą=K
6.19
sT 1ƒÄ…sT
0 ÈÄ…
Transmitancją o takiej postaci można też aproksymować obiekt statyczny postaci (6.5), o
ile duża stała czasowa spełnia warunek:
T Ä…4T
6.20
1 ÈÄ…
PI
Jeżeli w tym przypadku zastosujemy regulator o transmitancji (6.7), to transmitancja
układu zamkniętego przyjmie postać:
K K śą1ƒÄ…sT źą
R R
GZ śąsźą=
6.21
K KƒÄ…sT K KƒÄ…s2T T ƒÄ…s3 T T T
R R R R C R 0 ÈÄ…
Zastosowanie kryterium symetrii daje następujące zalecenia co do nastaw regulatora:
T
0
T =4T K =
, 6.22
R ÈÄ… R
2 KT
ÈÄ…
Po wpisaniu optymalnych nastaw do wzoru (6.22), otrzymujemy:
1ƒÄ…s4T
ÈÄ…
GZ śąsźą=
6.23
2 3
1ƒÄ…s4T ƒÄ…s28T ƒÄ…s38T
ÈÄ… ÈÄ… ÈÄ…
q=2T s
Wprowadzenie zmiennej daje standardową postać transmitancji zamkniętego
ÈÄ…
układu regulacji III rzędu z regulatorem nastawionym według kryterium symetrii:
1ƒÄ…2 q
GZ śąqźą=
6.24
1ƒÄ…2 qƒÄ…2 g2ƒÄ…q3
Nazwa kryterium jest związana z faktem, że powyższa funkcja spełnia warunki symetrii:
GZ śąqźąGZ śą1/qźą=1 GZ śąqźąƒÄ…GZ śą1/qźą=1
, 6.25
n
W ogólności kryterium symetrii znajduje zastosowanie do obiektów astatycznych -
tego rzędu postaci:
1 1 1 1
Gśąsźą=KÅ" Å" =KÅ" Å"
1ƒÄ…sTÈÄ… n 1ƒÄ…sTÈÄ… 0
snT 6.26
sn TÃÄ…
"
ÃÄ…=1
n
'
gdzie T = T . Do regulacji stosuje się regulator PID n -tego rzędu postaci:
"
0 ÃÄ…
ÃÄ…=1
śą1ƒÄ…sT źąn
R
GRśąsźą=K Å" 6.27
R
sT
C
którego optymalne nastawy są określone zależnościami:
K T '0
R
=
T =4 nT
, 6.28
R ÈÄ… n
T
2 KT T
C
ÈÄ… R
Optymalizacja nastaw według kryterium modułowego daje znaczne tłumienie i
M =4 % tn=2.1T
małe przeregulowanie ( , czas narastania , czas regulacji
p ÈÄ…
1 tr=6.5T
) odpowiedzi układu zamkniętego na skokowe wymuszenie, co stanowi jej
ÈÄ…
zaletę. Jednakże przy skokowym zakłóceniu proces regulacji jest długi. Z kolei
optymalizacja nastaw według kryterium symetrii ma dobre właściwości jeżeli chodzi o
kompensację działania zakłócenia, ale zbyt duże przeregulowanie i czas ustalania
M =43% tn=1.4T
odpowiedzi na skok sygnału zadanego ( , czas narastania , czas
p ÈÄ…
1% tr=17.7T
regulacji
ÈÄ…
7. Metoda Zieglera-Nicholsa doboru nastaw regulatora PID
Przedstawione w tym punkcie dwa warianty tzw. metody Zieglera-Nicholsa
polegają na określeniu nastaw regulatora PID w oparciu o pewne parametry, które
można w prosty sposób wyznaczyć doświadczalnie w układzie z badanym obiektem.
Pełna znajomość modelu obiektu nie jest potrzebna.
7.1 Metoda oparta na aproksymacji parametrów odpowiedzi skokowej
Metoda ta opiera się na fakcie, że odpowiedz
skokowa wielu obiektów (zmierzona
doświadczalnie albo otrzymana w wyniku symulacji) ma kształt pokazany na rys.7.1.
Odpowiedz
taka jest charakterystyczna dla układów inercyjnych wyższych rzędów, ale
można ją aproksymować charakterystyką skokową członu inercyjnego I rzędu z
opóz
nieniem transportowym:
k
G śąsźą= Å"e-ÉÄ… s
7.1
TsƒÄ…1
Rys. 7.1. Aproksymacja parametrów odpowiedzi skokowej obiektu inercyjnego (styczną
Q
należy wystawić w punkcie przegięcia charakterystyki skokowej)
Na podstawie przebiegu odpowiedzi skokowej rzeczywistego obiektu należy
T ÉÄ…
wyznaczyć graficznie stałą czasową i opóz
nienie transmitancji zastępczej jak
pokazano na rysunku. Optymalne nastawy regulatora spełniające określone kryterium
oblicza się w sposób teoretyczny dla układu regulacji z obiektem zastępczym. W tabeli 1
podano wzory na optymalne nastawy dla trzech wymagań co do przebiegu regulacji po
skokowej zmianie zakłócenia: odpowiedzi aperiodycznej o minimalnym czasie regulacji,
Ä„Ä…=20 %
odpowiedzi oscylacyjnej ( ) o minimalnym czasie regulacji oraz odpowiedzi
minimalizującej całkę ISE. W układzie z obiektem rzeczywistym nastawy wzięte z tabeli
mogą dawać, ze względu na błąd aproksymacji, przebiegi różniące się od założonych.
Tym niemniej przedstawiona metoda jest skutecznym narzędziem wstępnego strojenia
regulatora.
Tabela 1 . Optymalne nastawy regulatora i wskaz
niki jakości dla obiektu statycznego z
opóz
nieniem przy skokowej zmianie zakłócenia z=1śąt źą .
7.2 Metoda oparta na wskaz
nikach wzmocnienia krytycznego
Druga reguła wyznaczania nastaw regulatorów opiera się na znajomości
parametrów układu znajdującego się na granicy stabilności. Parametry te są wyznaczane w
P
następujący sposób: w układzie zamkniętym z regulatorem typu zwiększa się
K
y śąt źą
współczynnik wzmocnienia dopóki w odpowiedzi skokowej nie zaobserwuje
p
się drgań niegasnących (rys.7.2). W takim stanie należy zanotować wartość wzmocnienia
K =K T
krytycznego regulatora oraz zmierzyć okres drgań krytycznych sygnału
p kr kr
wyjściowego.
Rys. 7.2. Wyznaczanie okresu drgań krytycznych układu na granicy stabilności
Nastawy regulatora wyznaczone według metody wskaz
ników drgań krytycznych są
następujące:
Regulator P Regulator PI Regulator PID
K =0.45 K K =0.45 K K =0.6 K
p kr p kr p kr
T =0.85 K T =0.5 K
i kr i kr
T =0.12 K
d kr
Powinny one zapewnić przeregulowanie odpowiedzi skokowej układu zamkniętego na
30 %
poziomie nieprzekraczajcym .
8. Optymalizacja nastaw ze względu na sygnału zadany lub zakłócenie
Trzeba pamiętać, że nastawy zapewniające optymalną odpowiedz
układu
zamkniętego na skokową zmianą wartości zadanej (np. w sensie minimalizacji jednego z
kryteriów całkowych) mają inne wartości niż nastawy zapewniające optymalną
eśąt źą
odpowiedz
na skok zakłócenia. Wynika to z faktu, że sygnał błędu regulacji jest
wywoływany zarówno przez sygnał zadany xśąt źą jak i przez sygnał zakłócenia z śąt źą .
Przy strukturze układu zamkniętego transformata sygnału regulowanego jest opisana
równością:
G śąsźąGRśąsźą
G śą sźą
Y śąsźą= X śąsźąƒÄ… Z śąsźą
8.1
1ƒÄ…G śąsźąGRśąsźą 1ƒÄ…G śąsźąGRśąsźą
w której transmitancje składników po prawej stronie różnią się (zauważmy jednak, że ze
względu na jednakowe mianowniki w obu składnikach dynamika odpowiedzi
swobodnych jest taka sama). W związku z tym sposób doboru nastaw powinien być
uzależniony od celu regulacji. W przypadku układu regulacji stałowartościowej
xśąt źą=const
kluczowe znaczenie ma optymalizacja dynamiki układu regulacji pod kątem
eliminacji wpływu zakłócenia i zachowania zerowego błędu od wymuszenia w stanie
ustalonym. W układzie regulacji, w którym sygnał zadany ciągle się zmienia (np. układzie
regulacji nadążnej) najważniejsza jest z kolei optymalizacja regulatora ze względu na
wymuszenie. Zachowanie obu wymagań jest często sprzeczne i wymaga zachowania
kompromisu.
9. Wykonanie ćwiczenia
Zadanie polega na dobieraniu nastaw regulatora pracującego w układzie regulacji o
strukturze jak na rys.3.1 Model symulacyjny został stworzony w środowisku
Matlab/Simulink. Regulator jest regulatorem typu PID , z którego przez wyłączenie
PI PD
działania różniczkującego i/lub całkującego można otrzymać regulatory typu ,
P
lub . Obiektem regulacji jest układ inercyjny III rzędu o transmitancji
k
G śąsźą=
9.1
śąT sƒÄ…1źąśąT sƒÄ…1źąśąT sƒÄ…1źą
1 2 3
i parametrach dobranych w sposób specjalny.
9.1 Określanie nastaw regulatora na podstawie charakterystyki skokowej obiektu
W tym punkcie należy określić parametry transmitancji modelu zastępczego obiektu
typu inercja+opóz
nienie w postaci transmitancji (9.1), na podstawie charakterystyki
skokowej obiektu rzeczywistego (Rys.7.1).
 utworzyć model służący do rejestracji charakterystyki skokowej obiektu, poprzez
dwukrotne kliknięcie na blok obiektu otworzyć okno pokazujące strukturę
obiektu i wpisać zadane wartości,
 zadać wektor współczynników wielomianu mianownika (denominator) w
postaci: [4 1] .
 ustawić czas symulacji równy 20s (menu Simulation | Parameters | Stop
time = 20).
 uruchomić symulację (Simulation | Start) i zarejestrować odpowiedz

skokową obiektu. Na podstawie zarejestrowanego przebiegu wyznaczyć
ÉÄ… ,T
graficznie parametry ( ) transmitancji zastępczej obiektu według rys.7.1.
 zweryfikować poprawność aproksymacji zadając wyznaczone parametry w
modelu zastępczym (inercja+opóz
nienie), podłączyć sygnał wyjściowy z modelu
zastępczego do bloku OSC i powtórzyć symulację, zmodyfikować parametry
modelu zastępczego w taki sposób, żeby przebieg charakterystyk był zbliżony.
ÉÄ… ,T P
 dla wyznaczonych wartości ( ) obliczyć nastawy dla regulatora typu i
PI według trzech kryteriów określonych w tabeli 1 .
Rys. 9.1. Model symulacyjny i model obiektu
10. Badanie układu regulacji z regulatorem nastawionym metodą
charakterystyki skokowej
W tym punkcie należy przeprowadzić symulacje działania układu regulacji z
obiektem, którego charakterystyka skokowa była analizowana w pkt.9.1, i z idealnym
regulatorem PID o transmitancji
1
K śąsźą=k 1ƒÄ… ƒÄ…T s
p d
śą źą
T s
i
PI P
Regulację typu lub można uzyskać przez wyzerowanie odpowiednich
T =0 1/T =0
parametrów regulatora ( , ):
d i
a) będziemy rozważać regulację w przypadku skokowego zakłócenia, tzn.
xśąt źą=0, zśąt źą=1śąt źą
, co odpowiada stabilizacji sygnału wyjściowego przy zakłóceniach
działających na wejście obiektu (np. stabilizacja prędkości obrotowej silnika przy zmianie
momentu obciążenia). W tym celu wyzerować sygnał zadany (w bloku sygnału zadanego
= 0
na diagramie głównym wpisać Final value ) i zadać skokowe zakłócenie (w
=1
bloku zakłócenia wpisać Final value ).
b) badania należy przeprowadzić dla nastaw obliczonych według trzech kryteriów
z Tabeli 1:
 odpowiedz
układu zamkniętego bez przeregulowania i o minimalnym czasie
tr
Ä„Ä…=0
ustalania ( , min ),
Ä„Ä…=20 %
 odpowiedz
układu zamkniętego z przeregulowaniem i o minimalnym
czasie ustalania,
ISE
 minimum całki ,
c) otworzyć główny model symulacyjny, w którym zamodelowano układ regulacji.
ISE
Sygnał (jego wartość jest pokazywana na wyświetlaczu) reprezentuje aktualną
ISE
wartość całki z kwadratu błędu regulacji. Końcową wartość należy notować po
każdej symulacji. Poprzez dwukrotne kliknięcie na blok regulatora można otworzyć okno
k ,T ,T
pokazujące jego strukturę i zadać nastawy ( ) jako parametry odpowiednich
p i d
bloków. Nastawę części całkującej wygodnie jest zadawać w formie odwrotności, np.
T =3.6 1/T =1/3.6
jeżeli , to w bloku wzmacniacza należy wpisać . Czas symulacji
i i
6-8 razy większy od największej stałej czasowej obiektu (np. Simulation |
Parameters |Stop time = 30 ).
P
d) wykonać symulacje i zarejestrować wyniki dla regulatora typu (odłączyć
T =0 1/T =0 k
I D
gałęzie oraz zadając i ) z nastawą obliczoną według
d i p
każdego z trzech kryteriów.
PI
e) przeprowadzić symulacje i zarejestrować wyniki dla regulatora typu (
T =0 k ,T
D
w gałęzi ) z nastawami ( ) obliczonymi według każdego z trzech
d p i
kryteriów.
f) dla kryterium dopuszczającego przeregulowanie przeprowadzić symulację i
k ,T , T
zarejestrować wyniki dla regulatora typu PID z nastawami ( ). Porównać je z
p i d
PI
wynikami uzyskanymi dla regulacji .
g) porównać jakość regulacji (przeregulowanie, czasy narastania i ustalania
ISE
odpowiedzi skokowej, końcowa wartość ) w każdym z przypadków i sprawdzić,
czy przebieg sygnału sterowanego spełnia warunki kryterium, według którego dobrano
nastawy regulatora.
11. Określanie nastaw regulatora metod wzbudzenia drgań krytycznych
P I
a) w badanym układzie pozostawić regulator typu (odłączyć gałęzie oraz
T =0 1/T =0 k
D zadając i ) i zmieniając nastawę doprowadzić do wystąpienia
d i p
y śąt źą
w odpowiedzi skokowej układu zamkniętego drgań niegasnących o stałej
k
amplitudzie (należy przeprowadzić kilka symulacji dla różnych , ale zarejestrować
p
tylko tą z drganiami krytycznymi). Zanotować wartość wzmocnienia krytycznego
k =kkr T
regulatora i zmierzyć (na wykresie) okres drgań krytycznych . Sposób
p kr
alternatywny: otworzyć model, w bloku obiektu wpisać odpowiednie wartości
parametrów i uruchomić symulację (sygnałem zadanym jest przebieg prostokątny). W
k
trakcie symulacji zmieniać on-line wartość za pomoc potencjometru bloku Slider do
p
kkr T
uzyskania drgań niegasnących, zarejestrować przebieg i wartości ( , ).
kr
k T
b) dla otrzymanych wartości ( , ) wyznaczyć nastawy dla regulatora typu
kr kr
P oraz .
PI
c) dla każdego typu regulatora przeprowadzić symulację działania układu i
zarejestrować przebiegi.
d) porównać wyniki z uzyskanymi wcześniej i ocenić jakość regulacji. Które z
kryteriów rozpatrywanych daje podobne wyniki?
e) jak powinno się postępować w celu wzbudzenia drgań krytycznych w
rzeczywistym układzie regulacji?
12. Dobór nastaw metod kryterium modułu i kryterium symetrii
T
a) W zależności od relacji między dużą stałą czasową , a sumą zastępczą
i
T =T ƒÄ…T
małych stałych czasowych założyć model obiektu w postaci jednej z
ÈÄ… 2 3
transmitancji:
 kryterium modułu
1 1
G śąsźą=k Å"
12.1
1ƒÄ…sT 1ƒÄ…sT
1 ÈÄ…
 kryterium symetrii
1 1
G śąsźą=k Å"
12.2
sT 1ƒÄ…sT
1 ÈÄ…
1ƒÄ…sT
i
PI GRśąsźą=K
Do regulacji zastosujemy regulator o transmitancji:
P
sT
1
b) wyznaczyć nastawy optymalne w sensie wybranego kryterium:
 kryterium modułu
T
1
T =T K =
, ,
i 1 P
2 KT
ÈÄ…
 kryterium symetrii
T
1
T =4T K =
, ,
i ÈÄ… P
2 KT
ÈÄ…
c) przeprowadzić symulację i zarejestrować wyniki odpowiedzi na skokowe
zakłócenie,
d) wyzerować sygnał w bloku zakłócenia na diagramie głównym i zadać skokowy
sygnał zadany,
e) przeprowadzić symulację i zarejestrować wyniki odpowiedzi na skokowe
wymuszenie,
f) zmienić wartości stałych czasowych obiektu tak, aby spełniały warunek
stosowalności drugiego z rozpatrywanych w tym punkcie kryteriów. Wyznaczyć nowe
PI
nastawy regulatora i powtórzyć symulacje działania układu regulacji dla skokowego
zakłócenia oraz skokowego sygnału zadanego,
g) porównać jakość regulacji w odpowiedzi na skokowe wymuszenie i zakłócenie
uzyskane dla obu kryteriów i sprawdzić, czy przebieg sygnału sterowanego spełnia
wskaz
niki dla odpowiedzi skokowych podane na końcu pkt.6?
h) dla którego z przypadków (tzn. skoku wymuszenia czy skoku zakłócenia)
optymalizowane sÄ… nastawy regulatora? Czy w przypadku badanego obiektu jedno z
kryteriów daje wyniki jednoznacznie lepsze niż drugie? Jakie są relacje pomiędzy
nastawami zalecanymi przez jedno i drugie kryterium?
Spis treści
1. Wstęp.............................................................................................................................................. 1
2. Podstawy teoretyczne.................................................................................................................. 1
3. Regulacja PID................................................................................................................................2
4. Kryteria jakości regulacji............................................................................................................4
5. Całkowe kryteria jakości regulacji...........................................................................................6
5.1 Kryterium ISE (Integral Squared Error):.......................................................................6
5.2 Kryterium ITSE ( Integral of Time multiplied by Squared Error):............................6
5.3 Kryterium IAE (Integral of Absolute value of Error):................................................ 6
5.4 Kryterium ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute value of Error):........... 7
6. Kryteria jakości regulacji odnoszące się do przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu zamkniętego.................................................................................... 7
6.1 Kryterium modułu........................................................................................................... 7
6.2 Kryterium symetrii.........................................................................................................10
7. Metoda Zieglera-Nicholsa doboru nastaw regulatora PID............................................... 12
7.1 Metoda oparta na aproksymacji parametrów odpowiedzi skokowej................... 12
7.2 Metoda oparta na wskaz
nikach wzmocnienia krytycznego....................................13
8. Optymalizacja nastaw ze względu na sygnału zadany lub zakłócenie..........................14
9. Wykonanie ćwiczenia................................................................................................................15
9.1 Określanie nastaw regulatora na podstawie charakterystyki skokowej obiektu..15
10. Badanie układu regulacji z regulatorem nastawionym metodą charakterystyki
skokowej.......................................................................................................................................... 16
11. Określanie nastaw regulatora metod wzbudzenia drgań krytycznych........................17
12. Dobór nastaw metod kryterium modułu i kryterium symetrii......................................18