Ekonometria
bada związki o charakterze ilościowym występujące
pomiędzy elementami zjawisk ekonomicznych za pomocą
metod statystycznych i matematycznych.
Twórcami tej nauki są: R. Frisch oraz J. Tinbergen
(laureaci Nagrody Nobla z ekonomii).
Ekonometrię można stosować wtedy, gdy:
" badane zjawisko ekonomiczne musi być stabilne, tj.
"
"
"
ulegać jedynie niewielkim i powolnym zmianom,
" zjawisko musi być mierzalne, tj. jego cechy muszą być
"
"
"
wyrażane liczbowo,
" można określić czynniki wpływające na jego
"
"
"
zachowanie,
" dostępne są dane statystyczne opisujące zachowanie (w
"
"
"
sensie ilościowym) badanego systemu w przeszłości.
Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w analizie
ekonometrycznej jest model ekonometryczny.
Model to konstrukcja teoretyczna, która podlega analizie
w miejsce rzeczywistego zjawiska, pozwalajÄ…c na lepsze
zrozumienie jego charakteru. Jest ona zawsze znacznie
uproszczonym obrazem obserwowanego zjawiska (np.
model samolotu, model spirali DNA) pozwala jednak na
prowadzenie eksperymentów.
Model ekonometryczny
to formalna konstrukcja, która za pomocą jednego lub
kilku równań przedstawia powiązania występujące
pomiędzy elementami zjawiska ekonomicznego.
Jest to model matematyczny, który został  dopasowany
do rzeczywistości za pomocą metod statystycznych.
Modele matematyczne sÄ…:
" zwięzłe,
"
"
"
" jednoznaczne,
"
"
"
" precyzyjne,
"
"
"
" majÄ… logicznÄ… strukturÄ™,
"
"
"
" łatwe do wykorzystania przy użyciu komputerów.
"
"
"
Podział modeli ekonometrycznych
- ze względu na uwzględnienie powiązań zachodzących
jednocześnie lub w kolejnych okresach czasu:
" statyczne,
"
"
"
" dynamiczne.
"
"
"
- ze względu na ilość równań:
" jednorównaniowe,
"
"
"
" wielorównaniowe.
"
"
"
- ze względu na postać funkcji opisującej charakter
wpływu zmiennych X na zmienne Y:
" liniowe,
"
"
"
" nieliniowe.
"
"
"
Przykłady modeli ekonometrycznych
Liniowy (jednorównaniowy):
C = Ä… ²Y
Ä… + ²
Ä… ²
Ä… ²
gdzie: C  konsumpcja
Y  dochód narodowy
Ä…, ²
Ä… ²
Ä… ² - parametry modelu
Ä… ²
Liniowy (wielorównaniowy):
C = Ä… ²Y
Ä… + ²
Ä… ²
Ä… ²
Y = C + I + G
gdzie: I  inwestycje
G  wydatki budżetowe
Nieliniowy:
I = Ä…0 + Ä…1R + Ä…2R2 + Ä…3Y + Ä…4Y2
Ä… Ä… Ä… Ä… Ä…
Ä… Ä… Ä… Ä… Ä…
Ä… Ä… Ä… Ä… Ä…
gdzie: R  stopa procentowa
Dynamiczny:
Ct = Ä…0 + Ä…1Yt-1
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
It = ²0 + ²1(Yt-1 - Yt-2)
² ²
² ²
² ²
Yt = Ct + It + Gt
gdzie:  t ,  t-1 ,  t-2 oznaczajÄ… kolejne okresy czasu.
Budowa modelu ekonometrycznego
y = f(x1 ,x2 , ..., xn) + u
np. model liniowy:
y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + u
gdzie:
y - zmienna objaśniana (endogeniczna)
x1 ,x2 , ..., xn - zmienne objaśniające (egzogeniczne)
a1, a2, ..., an - parametry strukturalne modelu
u- składnik losowy
Na podstawie danych statystycznych opisujÄ…cych
zachowanie systemu w przeszłości parametry modelu są
szacowane (estymowane) za pomocÄ… metody
najmniejszych kwadratów (MNK), np.
C = 3,45 + 8,52Y + u
Parametry strukturalne modelu wyrażają ilościowy wpływ
danej zmiennej (przy której stoją) na zmienną objaśnianą.
Składnik losowy uwzględnia:
" wpływ innych zmiennych niż te, które są już w modelu,
"
"
"
" różnice między modelem a rzeczywistością,
"
"
"
" błędy pomiaru zmiennych,
"
"
"
" działanie czynników losowych.
"
"
"
Etapy budowy modelu ekonometrycznego
1. specyfikacja modelu  określenie zmiennych
objaśnianych i objaśniających, postaci analitycznej
modelu oraz z
ródeł danych statystycznych,
2. estymacja parametrów modelu  na podstawie
zgromadzonych danych za pomocÄ… MNK,
3. weryfikacja modelu  określenie, czy wyniki są zgodne z
teoriÄ… ekonomicznÄ… oraz statystykÄ…,
4. wykorzystanie modelu  do symulacji i tworzenia
prognoz.
Specyfikacja modelu
I. Dobór zmiennych objaśniających
Zmienne muszÄ…:
" mieć wysoką zmienność, tj. współczynnik zmienności
"
"
"
V > 10%
w przeciwnym wypadku są to zmienne quasi-stałe
" być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą,
"
"
"
" nie być skorelowane ze sobą.
"
"
"
Zmienne spełniające oba warunki można wybrać stosując
metodÄ™ formalnÄ…, tzw. metodÄ™ Hellwiga.
Obliczamy macierz współczynników korelacji pomiędzy
zmiennymi objaśniającymi:
1 r12 ... r1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚r 1 ... r2n śł
21
ïÅ‚ śł
[rij ] =
ïÅ‚ śł
... ... ... ...
ïÅ‚r rn2 ... 1 śł
ðÅ‚ n1 ûÅ‚
oraz wektor:
[rj ] = [r1 r2 ... rn]
współczynników korelacji zmiennych objaśniających ze
zmienną objaśnianą.
Rozważa się wszystkie możliwe kombinacje zmiennych
objaśniających, których jest:
L = 2n -1
Dla każdej kombinacji oblicza się indywidualny wskaz
nik
pojemności informacyjnej:
rj2
hlj =
ml
1+ rij
"
i=1
i`" j
gdzie l = 1 ,..., L,
j = 1 ,..., ml,
ml  liczba zmiennych w kombinacji
Integralne wskaz
niki pojemności całych kombinacji:
ml
Hl =
"h
lj
j=1
Wybierana jest ta kombinacja zmiennych, dla której H
jest największe:
H* = max{Hl}
l
Przykład:
Zmienne x1, x2, x3, x4.
Macierz korelacji i wektor:
1 - 0,64 0,14 0,41
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- 0,64 1 - 0,13 - 0,55śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0,14 - 0,13 1 - 0,03
ïÅ‚ śł
0,41 - 0,55 - 0,03 1
ðÅ‚ ûÅ‚
[0,43 - 0,80 0,18 0,63]
Kombinacje zmiennych:
1:{x1} 5:{x1,x2} 10:{x3,x4} 15:{x1,x2,x3,x4}
2:{x2} 6:{x1,x3} 11:{x1,x2,x3}
3:{x3} 7:{x1,x4} 12:{x1,x2,x4}
4:{x4} 8:{x2,x3} 13:{x1,x3,x4}
9:{x2,x4} 14:{x2,x3,x4}
Dla np. kombinacji nr 5 liczymy:
(0,43)2
h51 = = 0,113
1+ | -0,64 |
(-0,80)2
h52 = = 0,390
1+ | -0,64 |
oraz:
H5 = 0,113 + 0,390 = 0,503
ZaÅ› dla kombinacji nr 11 liczymy:
(0,43)2
h11,1 = = 0,1039
1+ | -0,64 | + | 0,14 |
(-0,80)2
h11,2 = = 0,3616
1+ | -0,64 | + | -0,13 |
(0,18)2
h11,3 = = 0,12
1+ | 0,14 | + | -0,13 |
czyli:
H11 = 0,1039 + 0,3616 + 0,12 = 0,5855
Okazuje się, że maksymalna wartość pojemności H
występuje dla kombinacji nr 9, tj. {x2,x4} i wynosi 0,668.
Problem: zmienne jakościowe, np. branża, wykształcenie,
posiadanie bazy transportowej itp.
Wtedy zamieniamy te zmienne na zero-jedynkowe i
wstawiamy je do modelu. Na przykład:
" zmienna  wykształcenie pracownika (podstawowe,
"
"
"
średnie, wyższe)
Zamieniamy jÄ… na 2 zmienne zero-jedynkowe:
z1=0 gdy podstawowe,
z1=1 gdy średnie lub wyższe,
z2=0 gdy podstawowe lub średnie,
z2=1 gdy wyższe.
Jednak interpretacja parametrów przy takich zmiennych
sprawia trudności.
II. Wybór postaci analitycznej modelu
Kiedy jest jedna zmienna objaśniająca  wykres rozrzutu.
W innym wypadku  teoria ekonomii, literatura, praktyka
i doświadczenie.
Estymacja parametrów modelu ekonometrycznego
Parametry modelu:
Y = aX + b
gdzie Y  wektor obserwacji zmiennej objaśnianej, X 
macierz obserwacji zmiennych objaśniających, można
oszacować na podstawie danych statystycznych
opisujÄ…cych zachowanie modelowanego zjawiska w
przeszłości.
Do tego celu stosowana jest metoda najmniejszych
kwadratów (MNK) polegająca na minimalizacji:
(Y-aX)T(Y-aX)
min


Rozwiązaniem jest macierz (wektor) parametrów:
a = (XTX)-1XTY
Opisują one siłę oraz kierunek wpływu zmiennych
objaśniających (X) na zmienną objaśnianą (Y).
Weryfikacja modelu
Po oszacowaniu parametrów należy sprawdzić, czy model
jest dobry, tj.
" jest zgodny z rzeczywistością,
"
"
"
" jest precyzyjny,
"
"
"
" zmienne objaśniające (X) istotnie wpływają na zmienną
"
"
"
objaśnianą (Y).
Do oceny dopasowania modelu do rzeczywistych danych
wykorzystuje siÄ™:
" wariancjÄ™ resztowÄ…:
"
"
"
"(y - yi*)2
i
i
S2(u) =
n - k
lub w zapisie macierzowym:
yT y - yT Xa
S2(u) =
n - k
gdzie  reszta u oznacza różnicę między wartością
empirycznÄ… yi a teoretycznÄ… yi*.
" współczynnik zbieżności:
"
"
"
*
"(y - yi )2
i
2
i
Ć =
"(y - yi )2
i
i
lub w zapisie macierzowym:
yT y - yT Xa
2
Ć =
(y - y)T (y - y)
" współczynnik determinacji:
"
"
"
R2 = 1 - Ć2
Ć
Ć
Ć
Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z
przedziału [0,1] i informuje jaka część zmian zmiennej
objaśnianej Y została wyjaśniona przez model.
Na przykład R2 = 0,7 oznacza, iż model w 70% wyjaśnia
zmiany zmiennej Y.
Istotność parametrów
Wektor parametrów modelu:
a = (XTX)-1XTY
ma macierz wariancji i kowariancji równą:
D2(a) = S2(u)(XTX)-1
Na głównej przekątnej znajdują się wariancje parametrów
modelu:
D2(ai)
Wtedy błąd szacunku parametru ai jest równy:
D(ai)
Istotność statystyczną parametrów mierzymy za pomocą
sprawdzianu:
ai
t =
D(ai)
gdzie  t ma rozkład Studenta o n-k stopniach swobody.
Z tablic rozkładu t-Studenta znajdujemy wartość
krytyczną tą dla zadanego poziomu istotności ą
Ä….
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Zwykle jest to Ä…
Ä…=0,05.
Ä…
Ä…
Jeżeli zachodzi nierówność:
t > tÄ…
to oznacza, że zmienna xi (przy której stoi parametr ai)
istotnie wpływa na zmienną objaśnianą (y).
W przeciwnym wypadku zmienna ta jest zbędna i należy
ją usunąć z modelu.
Przykład
y - cena akcji (zł)
x1 - obroty (mln zł)
x2 - liczba zatrudnionych (w setkach osób)
yx1 x2
100,6 10
90,5 8
11 0,9 8
13 1,1 9
12 1,0 8
15 1,2 7
140,9 5
16 1,3 4
17 1,5 4
Należy oszacować parametry strukturalne modelu
ekonometrycznego:
y = a0 + a1x1 + a2x2 + u
Za pomocą metody najmniejszych kwadratów wektor
parametrów liczymy jako:
a = (XTX)-1XTY
Można zastosować skrócone obliczenia:
îÅ‚ Å‚Å‚
n x1 x2
" "
ïÅ‚
T 2
X X = x1 x1 x1x2 śł
" " "
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚
x2 x1x2 x2 śł
" " "
ðÅ‚ ûÅ‚
oraz:
îÅ‚ Å‚Å‚
y
"
ïÅ‚
T
X y = y x1 śł
"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
y x2 śł
"
ðÅ‚ ûÅ‚
Zatem potrzebne sÄ… obliczenia pomocnicze:
y x1 x2 x1 x2 x21 x22 y x1 y x2 y2
10 0,6 10 6,0 0,36 100 6,0 100 100
9 0,5 8 4,0 0,25 64 4,5 72 81
11 0,9 8 7,2 0,81 64 9,9 88 121
13 1,1 9 9,9 1,21 81 14,3 117 169
12 1,0 8 8,0 1,00 64 12,0 96 144
15 1,2 7 8,4 1,44 49 18,0 105 225
14 0,9 5 4,5 0,81 25 12,6 70 196
16 1,3 4 5,2 1,69 16 20,8 64 256
17 1,5 4 6,0 2,25 16 25,5 68 289
117 9,0 63 59,2 9,82 479 123,6 780 1581
Macierze mają postać:
9 9 63
îÅ‚ Å‚Å‚
T ïÅ‚
X X = 9 9,82 59,2śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚63 59,2 479 śł
ûÅ‚
117
îÅ‚ Å‚Å‚
T ïÅ‚123,6śł
X y =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
780
ðÅ‚ ûÅ‚
Aby odwrócić macierz XTX należy obliczyć wyznacznik, który
wynosi 150,48 oraz zastosować metodę Sarriusa.
W rezultacie macierz odwrotna ma postać:
7,9688 - 3,8636 - 0,5706
îÅ‚ Å‚Å‚
-1
T ïÅ‚- śł
(X X) = 3,8636 2,2727 0,2273
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 0,5706 0,2272 0,0490
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Po dokonaniu obliczeń wektor parametrów "a" ma postać:
7,9688 - 3,8636 - 0,5706 117 9,7525
îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- śłïÅ‚123,6śł ïÅ‚ śł
a = 3,8636 2,2727 0,2273 = 6,1363
ïÅ‚ śłïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚- 0,5706 0,2272 0,0490 śłïÅ‚ 780 śł ïÅ‚ 0,4127ûÅ‚
ûÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚-
Model ekonometryczny ma więc postać:
y = 9,752 + 6,136 x1 - 0,431 x2
Następnie przechodzimy do weryfikacji modelu. Liczymy
wariancjÄ™ resztowÄ…:
yT y - yT Xa
S2(u) =
n - k
Czyli:
9,7525
îÅ‚ Å‚Å‚
śł
1581-[117 123,6 780]ïÅ‚ 6,1363
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 0,4127ûÅ‚
śł
2 ðÅ‚
S (u) =
9 - 3
1581- (1141,0401+ 758,4516 - 321,9247)
2
S (u) = = 0,5722
6
Odchylenie standardowe reszt:
S(u)=0,756
Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów:
D2(a) = S2(u)(XTX)-1
7,9688 - 3,8636 - 0,5706
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- śł
D2(a)= 0,5722 3,8636 2,2727 0,2273
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 0,5706 0,2272 0,0490
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Pierwiastki elementów na przekątnej to błędy szacunku
parametrów ai:
D(a0)= 0,5722 Å" 7,9688 = 2,1353
D(a1)= 0,5722 Å" 2,2727 =1,1403
D(a2)= 0,5722 Å" 0,0490 = 0,1675
Istotność statystyczną parametrów mierzymy za pomocą:
ai
t =
D(ai)
czyli:
9,752
t(a0)= = 4,568
2,1353
6,136
t(a1)= = 5,382
1,1403
- 0,423
t(a2)= = -2,458
0,1675
Jeżeli zachodzi nierówność:
t > tÄ…
to oznacza, że zmienna xi (przy której stoi parametr ai) istotnie
wpływa na zmienną objaśnianą (y).
Z tablic rozkładu Studenta dla ą=0,05 i 9-3=6 stopni swobody
Ä…
Ä…
Ä…
tÄ…=2,447
Ä…
Ä…
Ä…
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi, to wszystkie parametry
modelu sÄ… statystycznie istotne.
Jakość modelu oceniamy licząc współczynnik zbieżności:
yT y - yT Xa
2
Ć =
(y - y)T (y - y)
StÄ…d:
6Å"0,5722
2
Ć = = 0,0572
60
czyli 5,72%.
Współczynnik determinacji wynosi:
R2 = 1 - Ć2
Ć
Ć
Ć
czyli:
R2 = 1 - 0,0572 = 0,9428
czyli 94,28%, co oznacza znakomitą jakość modelu (dopasowanie
do danych empirycznych).
Analiza reszt
modelu ekonometrycznego
Poprawnie skonstruowany model ekonometryczny
powinien charakteryzować się pewnymi pożądanymi
właściwościami reszt. Należą do nich:
" losowość reszt,
"
"
"
" symetria rozkładu reszt,
"
"
"
" brak autokorelacji reszt (gdy model jest dynamiczny, tj.
"
"
"
uwzględnia zmiany w czasie)
Losowość badamy na przykład za pomocą tzw. testu serii.
Polega on na tym, że wyznaczonym resztom przypisujemy
symbol "a", gdy ui>0 oraz "b", gdy ui<0. Można w nim
zaobserwować serie, tj. ciągi symboli "a" i "b". Ich liczbę
określamy jako "k". Następnie z tablic odczytujemy
wartość graniczną (krytyczną) "K". Jeżeli jest spełniony
warunek:
k>K
to reszty majÄ… charakter losowy.
Przykład
Dla modelu:
y = 9,752 + 6,136 x1 - 0,431 x2
obliczono reszty:
y y* ui
10 9,33 0,67
9 9,54 -0,54
11 12,0 -1,0
13 12,81 0,19
12 12,61 -0,61
15 14,25 0,75
14 13,23 0,77
16 16,09 -0,09
17 17,32 -0,32
Uzyskujemy ciÄ…g symboli:
abbabaabb
Liczba serii wynosi k=6. Z tablic wartość krytyczną (dla
poziomu istotności ą
Ä…=0,05) odczytujemy jako K=2.
Ä…
Ä…
Ponieważ k>K, to uznajemy, że reszty mają charakter
losowy.
SymetriÄ™ reszt
badamy za pomocÄ… testu:
m 1
-
n 2
t =
m m
ëÅ‚1- öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n n
íÅ‚ Å‚Å‚
n -1
gdzie:
m - liczba reszt dodatnich (ui>0),
n - liczba obserwacji
Dla nd"30 statystka ta ma rozkład Studenta, a gdy n>30 -
d"
d"
d"
rozkład normalny.
Z tablic rozkładu Studenta dla ą
Ä…=0,05 i n-1 stopni
Ä…
Ä…
swobody znajdujemy wartość krytyczną tą. Jeżeli
Ä…
Ä…
Ä…
spełniona jest nierówność:
tÄ…
Ä…
Ä…
to oznacza symetriÄ™ reszt.
Przykład
Dla danych podanych wyżej mamy: n=9, m=4. Wtedy
wartość testu wynosi:
4 1
-
9 2
t = = 0,316
4 4
ëÅ‚1- öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
9 9
íÅ‚ Å‚Å‚
9 -1
Odczytana z tablic rozkładu Studenta wartość tą = 2,306.
Ä…
Ä…
Ä…
Zatem 0,316 < 2,306, czyli reszty modelu sÄ… symetryczne.
Autokorelacja reszt
oznacza liniową zależność pomiędzy resztami modelu
odległymi od siebie o "k" okresów. Dotyczy to modeli
dynamicznych.
Jej występowanie oznacza, że:
" pominięto w modelu jedną z istotnych zmiennych
"
"
"
objaśniających,
" lub przyjęto niewłaściwą postać modelu.
"
"
"
Liczy się ją jako współczynnik korelacji liniowej
Pearsona miedzy resztami. Na przykład dla k=1 mamy:
"(u - ut )(ut-1 - ut-1)
t
t
r =
2 2
"(u - ut ) "(u - ut-1)
t t-1
tt
Aby sprawdzić, czy reszty modelu są skorelowane, należy
obliczyć wartość testu:
2
)
"(u - ut -1
t
t =2
d =
2
"(u )
t
t =1
Z tablic Durbina-Watsona odczytuje się wartości
graniczne dD oraz dG i jeżeli spełniony jest warunek:
dto oznacza, że autokorelacja nie występuje. Zaś gdy:
d>dG
to zjawisko to występuje.
Tak postępujemy, gdy d<2 (autokorelacja dodatnia).
W przeciwnym wypadku (autokorelacja ujemna) liczymy
d'=4-d.
Przykład
Dla k=1 obliczono reszty:
ut ut-1 ut - ut-1 (ut - ut-1)2 ut2
0,67 0,4489
-0,54 0,67 -1,21 1,4641 0,2916
-1,0 -0,54 -0,46 0,2116 1,0000
0,19 -1,0 1,19 1,4161 0,0361
-0,61 0,19 -0,8 0,6400 0,3721
0,75 -0,611,36 1,8496 0,5625
0,77 0,75 0,02 0,0004 0,5929
-0,09 0,77 -0,86 0,7396 0,0081
-0,32 -0,09 -0,23 0,0529 0,1024
6,3743 3,4146
Na tej podstawie obliczono:
6,3743
d = = 1,867
3,4146
Ponieważ d<2, to d=1,867
Dla poziomu istotności ą
Ä…=0,05 w tablicach znaleziono:
Ä…
Ä…
dD=0,80 oraz dG=1,54
Ponieważ d > dG, oznacza to, że występuje autokorelacja
reszt modelu odległych o k=1.
Elastyczność
Jest jednÄ… z metod wnioskowania na podstawie modelu
ekonometrycznego y = f(x1, x2, ..., xk).
Mierzy wielkość względnej zmiany zmiennej objaśnianej
(y) pod wpływem określonych, względnych zmian jednej ze
zmiennych objaśniających (xi).
Najczęściej chodzi o pytania typu: "o ile % zmieni się y,
jeżeli xi wzrośnie o 5% ?".
Wyróżniamy trzy rodzaje elastyczności:
- elastyczność klasyczna,
- elastyczność różnicowa,
- elastyczność całkowita.
Klasyczna definicja elastyczności
Elastycznością zmiennej y względem zmiennej xi
nazywamy wyrażenie:
"f xi
µx =
i
"xi f (x1, x2,..., xk )
czyli pochodną cząstkową funkcji f(x1, x2, ..., xk) względem
zmiennej xi.
Efekt względnych zmian wyraża zależność:
"y "xi
= µ Å"
xi
y xi
Elastyczność klasyczna ma zastosowanie gdy:
- zmiany zmiennej objaśniającej xi są bliskie zero:
" xi 0
"
"
"
- zmiany zmiennej xi nie wywołują zmian innych
zmiennych.
Przykład
Mając model kosztów całkowitych (mln zł):
y = 2 x + 20
gdzie "x" oznacza wielkość produkcji (tys. sztuk), należy
obliczyć klasyczną elastyczność dla x=10 tys. sztuk.
Elastyczność określa wzór:
x
µx = a Å"
ax + b
PodstawiajÄ…c x=10, otrzymujemy:
10
µx = 2 Å" = 0,5
2 Å"10 + 20
Oznacza to, że przy produkcji wynoszącej 10 tys. sztuk, jej
wzrost o 1% spowoduje wzrost kosztów całkowitych o
0,5%.
Elastyczność różnicowa
Założenie o tym, że zmiany zmiennej objaśniającej xi są
bliskie zero (" xi 0) jest krępujące, gdyż nie pozwala
"
"
"
uwzględnić dużych przyrostów zmiennych objaśniających.
Wtedy lepiej wykorzystać elastyczność różnicową:
r -1
"
(r )
µRx =
"µ Å" ("xi)
xi
i
r!
r =1
gdzie elastyczność rzędu "r" wyznacza się z wzoru:
"r f xi
(
µxr ) =
r
i
f (x1, x2,..., xk )
("xi)
Zwykle w szeregu wystarczy uwzględnić 3 pierwsze
wyrazy, co daje wzór:
2
"xi ( ("xi)
(
µRx = µx + µx2) Å" + µx3) Å"
i i i i
2 6
W modelach liniowych elastyczność różnicowa jest równa
elastyczności klasycznej.
Przykład
MajÄ…c model produkcji (y):
0,5 0,6
y = 1,5Å" x1 Å" x2
gdzie x1 to zatrudnienie, a x2 - kapitał, obliczymy względny
przyrost produkcji, gdy zatrudnienie wzrośnie o 40%.
Elastyczności rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego:
x1
-0,5 0,6
µx = 1,5 Å" 0,5x1 x2 = 0,5
0,5 0,6
1
1,5x1 x2
x1
( -1,5 0 -1
µx2) = 1,5 Å" 0,5(- 0,5)x1 x2,6 0,5 0 = -0,25x1
1
1,5x1 x2,6
x1
( -2,5 0 -2
µx3) = 1,5Å" 0,5(- 0,5)(-1,5)x1 x2,6 0,5 0 = 0,375x1
1
1,5x1 x2,6
Elastyczność różnicowa:
2
"x1 ("x1)
-1 -2
µRx = 0,5 - 0,25x1 Å" + 0,375x1 Å"
i
2 6
PodstawiajÄ…c:
"x1
= 0,4
x1
otrzymujemy:
0,4 0,16
µRx = 0,5 - 0,25 + 0,375 = 0,46
i
2 6
Czyli wzrost zatrudnienia o 40% spowoduje wzrost
produkcji o 46%.
Elastyczność całkowita
Jest stosowana wtedy, gdy zmiana zmiennej objaśniającej
xi jest bliska zero (" xi 0), ale pociÄ…ga ona za sobÄ…
"
"
"
zmiany innych (m) zmiennych objaśniających w modelu.
Wtedy poza wpływem zmiennej xi na zmiany y należy
także uwzględniać efekty pośrednie.
Miara ma postać:
m
T
µ = µ + Å"µ
"µ
xi y / xi y / x x / xi
j j
j=1
gdzie:
µ
y / xi
to efekt bezpośredni,
µ
y / x
j - elastyczność xj względem y,
µ
x / xi
j - elastyczność xj względem xi.
Modele produkcji
" Cobba-Douglasa
"
"
"
wyraża zależność między wielkością produkcji (Y) a
różnymi rodzajami nakładów (pracy, środków itp.)
oznaczanych jako X1, X2, ..., Xk:
a2 ak
1
Y = a0 X1a X ... X
2 k
w najprostszej postaci jest to model dwuczynnikowy:
a1 2
Y = a0K La eu
gdzie: Y  produkcja,
K  kapitał (wartość brutto majątku trwałego),
L  praca (liczba zatrudnionych),
a0, a1, a2  parametry,
u  składnik losowy.
Czasami przyjmuje się także założenie o stałej wydajności
produkcji, tj. a1+ a2=1.
Jest to funkcja nieliniowa i aby oszacować jej parametry
za pomocą metody najmniejszych kwadratów (MNK)
należy ją sprowadzić do postaci liniowej przez
logarytmowanie:
log(Y ) = ln(a0) + a1 ln(K) + a2 ln(L) + u
Daje to model liniowy:
y = b0 + b1x1 + b2x2 + u
Przykład:
Dla pewnych danych uzyskano model:
0,45
Y =13,36Å" K L0,51
gdzie parametry mają następujące znaczenie:
0,45  elastyczność produkcji względem kapitału, tj. jeżeli
kapitał wzrośnie o 1%, to produkcja wzrośnie przeciętnie
o 0,45% (jeżeli liczba zatrudnionych się nie zmieni),
0,51  elastyczność produkcji względem pracy, tj. jeżeli
liczba zatrudnionych wzrośnie o 1%, to produkcja
wzrośnie średnio o 0,51%
Jeżeli ustalimy produkcję na pewnym poziomie (Y0), to
można oszacować wielkość kapitału i pracy:
1
a2
ëÅ‚ öÅ‚
Y0 a1 - a1
ìÅ‚ ÷Å‚
K = L
ìÅ‚ ÷Å‚
a0
íÅ‚ Å‚Å‚
oraz:
1
a1
2
ëÅ‚ öÅ‚a - a2
Y0
ìÅ‚ ÷Å‚
L = K
ìÅ‚ ÷Å‚
a0
íÅ‚ Å‚Å‚
np. jeżeli zatrudniono 707 osób, a wartość produkcji
wynosi 2,05 mln zł, to wartość kapitału powinna wynieść:
1
0,51
-
ëÅ‚ 2050 öÅ‚0,45
0,45
K = ìÅ‚ ÷Å‚ 707 = 42,9
íÅ‚13,36 Å‚Å‚
42,9 mln złotych (przy nie zmienionym zatrudnieniu).
Można także określić krańcowe stopy substytucji kapitału,
np. jeżeli wartość kapitału (majątku trwałego) spadnie o 5
mln zł, to utrzymując produkcję na poziomie 2,05 mln zł
należy zwiększyć zatrudnienie o:
dK - 5
dL = - = - = 75,4391 H" 75 osób
a2K
0,0663
a1L
Ponieważ a1+ a2=0,96 to rozpatrywany proces produkcji
charakteryzuje się malejącymi przychodami względem
skali produkcji, tj. przyrost czynników produkcji daje
mniej niż proporcjonalny przyrost produkcji.
Modele produkcji
" CES (Constant Elasticity of Substitution)
"
"
"
Funkcja o stałej elastyczności substytucji. Jest
uogólnieniem modelu Cobba-Douglasa, chociaż trudno
szacować jej parametry:
b
c c c
c
Y = a0(a1X1 + a2 X + ...+ ak X )
2 k
gdzie: a1+...+ ak = 1.
W najprostszej postaci jest to model dwuczynnikowy:
b
c
c
Y = (a1K + a2Lc) eu
gdzie:
oznaczenia sÄ… takie same jak poprzednio,
a1, a2, b, c  parametry, przy czym:
c "(-",0) *"(0,1)
Jest to model nieliniowy i nie istnieje transformacja
przekształcająca go na liniowy.
Przykład:
Dla pewnych danych uzyskano model:
0,8950
0,7071
0,7071
Y = (1,0955 K + 0,6665L0,7071)
Można obliczyć o ile wzrośnie produkcja, jeżeli
zatrudnienie wzrośnie o 2%, a wartość środków trwałych
nie ulegnie zmianie.
Wtedy:
c
-
"Y "L
b
= a2 bY Lc
Y L
zatem, gdy w bieżącym okresie produkcja wynosi 87 mln
zł, a zatrudnienie 70 osób, to:
0,7071
c
-
-
0,8950
b
a2 bY Lc = 0,8950Å"87 0,6665Å"700,7071 = 0,3532
więc:
"Y
= 0,3532Å"2% = 0,7064%
Y
czyli produkcja wzrośnie o 0,7064%.
Można obliczyć o ile wzrośnie produkcja, jeżeli oba
czynniki produkcji wzrosną jednocześnie o 5%.
Wtedy w przybliżeniu:
b
ëÅ‚ öÅ‚
"Y k Y
b
ìÅ‚ ÷Å‚
= -1÷Å‚ = k -1
ìÅ‚
Y Y
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie k oznacza krotność wzrostu ( k razy). Czyli:
"Y
= 1,050,8950 -1 = 0,04463
Y
czyli produkcja wzrośnie o 4,463%.
Model wydajności pracy
Zależność wydajności pracy od wieku pracownika jest
wyrażana za pomocą funkcji:
2
0
W = ea +a1T +a2T +u
gdzie: W  wydajność,
T  wiek,
u  składnik losowy.
Jest to funkcja nieliniowa i należy ją sprowadzić do postaci
liniowej przez logarytmowanie:
2
log(W ) = a0 + a1T + a2T + u
Daje to model liniowy:
y = b0 + b1x1 + b2x2 + u
Przykład:
Dla pewnych danych uzyskano model:
2
W = e2,8551+0,1308T -0,0022T
Można obliczyć optymalny wiek pracownika (tj. wiek, w
którym osiąga maksymalną wydajność). Oznacza to, że:
dW
= 0
dT
czyli:
W (0,1308 - 0,0043T ) = 0
a ponieważ zawsze W > 0, więc T=30 lat.
Jego maksymalna wydajność jest wtedy równa:
Wmax = 126,4%
wykonania normy.
Model kosztów
Może mieć postać wielomianową:
K = a0 + a1Q + a2Q2
gdzie: K  koszt,
Q  wielkość produkcji.
Przykład:
Koszt wydobycia węgla w pewnej kopalni ze względu na
miesięczne wydobycie jest opisany funkcją:
K = 144,4380 + 64,6232Q + 9,6743Q2
Można wtedy obliczyć koszt całkowity wydobycia np. 5 tys.
ton węgla:
K = 144,4380 + 64,6232 Å" 5 + 9,6743 Å" 25 = 709,41
Wynosi on 709 tys. zł.
Można także obliczyć optymalną z punktu widzenia
kosztów jednostkowych wielkość wydobycia. Funkcja
kosztów jednostkowych ma postać:
144,4380
k = + 64,6232 + 9,6743Å" Q
Q
OsiÄ…ga ona minimum gdy:
dk 144,4380
= 0 Ô! - + 9,6743 = 0
dQ Q2
czyli dla Q H" 3,864 tys. ton.
Ten minimalny koszt wynosi:
144,4380
k = + 64,6232 + 9,6743Å"3,8639 = 139,3850
3,8639
czyli 139,4 tys. zł
Model dochodów
Do opisu rozkładu dochodów ludności najczęściej stosuje
siÄ™ model Pareto:
Y = ax-b
gdzie:
Y  liczba osób o dochodach większych lub równych od x,
x  poziom dochodów,
a, b  parametry.
Jest to funkcja nieliniowa i należy ją sprowadzić do postaci
liniowej przez logarytmowanie:
log(Y ) = log(a) - b log(x)
Przykład:
Dla pracowników sfery handlu w roku 1992 zbudowano
model dochodów:
Y = 494,51x-2,719
Przykład:
liczba osób zarabiających 800 zł (0,8 tys. zł)
wynosi:
494,51Å"0,8-2,719 H" 909
Modele popytu
wyrażają zależność poziomu popytu (Y) od grupy
czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych (X), np.
cena, dochód itd. Może to być model:
- potęgowy:
a1
Y = a0 X Å"10u
- hiperboliczny:
1
Y = a0 + a1 + u
X
- Tornquista:
1) dla dóbr pierwszej potrzeby:
a1X
Y =
X + a2
2) dla dóbr wyższego rzędu:
a1(X - a3)
Y =
X + a2
3) dla dóbr luksusowych:
X - a3
Y = a1X
X + a2
Przy czym: Y  wydatki na dane dobro lub grupę dóbr,
X  dochody gospodarstw.
a1  poziom, do którego wydatki na dane
dobro rosnÄ…,
a3  poziom dochodów, przy którym
pojawiajÄ… siÄ™ wydatki na dane dobro.
Przykład:
W pewnej grupie osób wydatki na kulturę opisano jako
funkcję Tornquista drugiego rodzaju dochodów. Po
estymacji uzyskano model:
167,59(X -143,81)
Y =
X + 669,10
Interpretacja:
Wydatki na kulturę pojawiają się jeżeli miesięczny dochód
na osobę osiągnie poziom 143,81 zł i będą rosły w miarę
wzrostu dochodów aż do poziomu 167,57 zł.