Ekonometria
Wykład 2
Opisowe modele ekonometryczne
Dr I. Åšwieczewska
2011/2012
Ogólna postad modelu
ekonometrycznego
Y =ð f (X1, X2,..., Xk ,eð )
Zmienna
objaśniana
Zmienne objaśniające
Składnik losowy
modelu
Dlaczego w modelu uwzględnia się
składnik losowy?
1. Losowe zachowanie się podmiotów w
gospodarce;
2. Niedoskonałośd w pomiarze zjawisk
ekonomicznych (dane statystyczne);
3. Błędy w konstrukcji modelu
ekonometrycznego.
Rodzaje zmiennych w modelu
ekonomterycznym
Zmienne endogeniczne (bieżące i opóz
nione) 
zmienne wyjaśniane przez model;
Zmienne egzogeniczne (bieżące i opóz
nione) 
zmienne, które nie są w modelu objaśniane, ale
pełnią rolę zmiennych objaśniających.
Zmienne ilościowe  zmienne, które można
przedstawid w formie odpowiednich szeregów
liczbowych
Zmienne jakościowe  zmienne wyrażające zjawiska
jakościowe (np. płed, jakośd wyrobu, fakt
posiadania drugiego
Rodzaje danych statystycznych stosowanych w
modelowaniu ekonometrycznym
Dane przekrojowe  dane gromadzone dla różnych obiektów
w tym samym czasie (np. stopa bezrobocia w
województwach Polski w 2010 roku). Fakt ten
uwzględniamy w modelu dołączając do oznaczenia
zmiennej subskrypt
(np.)  i .
Dane czasowe (szeregi czasowe)  dane przedstawiajÄ…ce stan
badanego zjawiska w różnych okresach/momentach czasu.
Fakt ten uwzględniamy w modelu dołączając do oznaczenia
zmiennej subskrypt  t .
Dane przekrojowo czasowe  dane gromadzone dla różnych
obiektów w różnych okresach/momentach czasu. Fakt ten
uwzględniamy w modelu dołączając do oznaczenia
zmiennej subskrypt  it .
Etapy klasycznej analizy ekonometrycznej
Teoria ekonomiczna Założenia modelu Dane statystyczne
Budowa modelu
1) Dobór zmiennych objaśniających 2) wybór postaci funkcyjnej modelu
Estymacja parametrów modelu
Weryfikacja modelu
1) Weryfikacja merytoryczna 2) weryfikacja statystyczna
Wykorzystanie modelu
1) Opis rzeczywistości, 2) prognozowanie 3) symulacja
Liniowy model ekonometryczny  zapis
ogólny
Liniowy model ekonometryczny 
przypadek jednej zmiennej objaśniającej
Model liniowy z jednÄ… zmiennÄ…
objaśniającą - przykład
Wydatki na
Dochody, w odzież, w tys.
7
tys. ZÅ‚/osobÄ™ ZÅ‚/osobÄ™
6
Xi yi
30,5 5,5
5
27,3 3,4
29,5 4,6
4
35 6
22,7 2,9 3
25,3 3,5
2
29,3 4,5
20,5 1,8
1
24 2,6
25,3 3,4
0
32,9 5,8 18 23 28 33 38
Współczynnik korelacji liniowej 0,972843
Linia regresji - przykład
7
Równanie teoretycznej prostej
6
5
4
3
2
1
0
18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Linia regresji - przykład
W oparciu o dostępne dane statystyczne
należy wyznaczyd równanie teoretycznej
prostej:
^
yi =ð a0 +ð a1Xi
która jest położona jak najbliżej punktów
empirycznych.
Reszty modelu
Reszta modelu:
^
et =ð yt -ð yt
n n
2
åðe =ð 0 åðe ®ð min
t t
t=ð1 t=ð1
Zatem:
^
yt =ð yt +ð et dla t =ð1,2,Kð, n
Układ równao normalnych i jego zapis macierzowy 
przypadek jednej zmiennej objaśniającej
y1 =ð a0 +ð a1x1 +ð e1
ìð
ïðy =ð a0 +ð a1x2 +ð e2
ïð
2
íð
ïðMð
ïðyn =ð a0 +ð a1xn +ð en
îð
y1 1 x1 e1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð1 x2 Å›ð
y2 a0 Ä™ðe2 Å›ð
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð ×ð +ð
Ä™ða Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð Mð Mð Mð
ëð 1 ûð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëðyn ûð ëð1 xn ûð ëðen ûð
y =ð Xa +ð e
Układ równao normalnych  przypadek k
zmiennych objaśniających
^
yt =ð að0 +ðað1Xt1 +ðað2 Xt 2 +ð...+ðaðk Xtk +ð eðt yt =ð a0 +ð a1Xt1 +ð a2 Xt 2 +ð ...+ð ak Xtk +ð eðt
y1 =ð a0 +ð a1x11 +ð a2x12 +ð...+ð ak x1k +ð e1
ìð
ïðy =ð a0 +ð a1x21 +ð a2x22 +ð...+ð ak x2k +ð e2
ïð
2
íð
ïðMð
ïðyn =ð a0 +ð a1xn1 +ð a2xn2 +ð...+ð ak xnk +ð e1
îð
a0
éð Å‚ð
y1 1 x11 x12 ... x1k Ä™ða Å›ð e1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð1 x21 x22 ... x2k Å›ð 1 Ä™ðe Å›ð
Ä™ð Å›ð
y2
2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
=ð ×ð a2 +ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð Mð Mð Mð Oð Mð Mð
Ä™ð Å›ð
Mð
Ä™ðy Å›ð Ä™ð1 xn1 xn2 Mð xnk Å›ð Ä™ðe Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð n ûð ëð ûð ëð n ûð
Ä™ðak Å›ð
ëð ûð
y =ð Xa +ð e
Klasyczna metoda najmniejszych
kwadratów (KMNK)
Należy wyznaczyd wektor a, dla którego suma
kwadratów reszt modelu będzie najmniejsza,
czyli:
n
2
åðe ®ð min
t
t=ð1
n
2
f (a) =ð
åðe =ð eTe =ð (y -ð Xa)T(y -ð Xa) =ð
t
t=ð1
=ð yTy -ð yTXa -ð aTXTy +ð aTXTXa =ð
=ð yTy -ð 2aTXTy +ð aTXTXa ®ð min
Å›ðf
=ð -ð2XTy +ð 2XTXa =ð 0
Å›ða
a =ð (XTX)-ð1 XTy
Oszacowania parametrów modelu
KMNK - przykład
X= 1 30,5 XT= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 27,3 30,5 27,3 29,5 35 22,7 25,3 29,3 20,5 24 25,3 32,9
1 29,5
1 35
1 22,7 XTX= 11 302,3
1 25,3 302,3 8503,4
1 29,3
1 20,5 (XTX)^(-1)= 3,951 -0,14
1 24 -0,14 0,0051
1 25,3
1 32,9 XTy= 44
1268,6
a= -4,349
0,3038
Postad teoretyczna/interpretacja
parametrów modelu liniowego
Interpretacja parametrów modelu -
przykład
Weryfikacja modelu
1. Weryfikacja merytoryczna: czy znaki
oszacowanych parametrów są zgodne z
oczekiwaniami (teoriÄ… ekonomicznÄ…)?
2. Weryfikacja statystyczna:
 Ocena dokładności dopasowania modelu do danych
empirycznych (średni błąd modelu, współczynnik
zmienności, współczynnik determinacji);
 Ocena dokładności oszacowao parametrów modelu
(średnie błędy ocen parametrów, statystyki t).
Miary dopasowania modelu do danych
empirycznych
Interpretacja średniego błędu modelu:
Współczynnik determinacji (dla modeli
liniowych z wyrazem wolnym)
^
2
åð(y -ð y)2 åðe
t
t
t t
R2 =ð =ð1-ð
åð(y -ð y)2 åð(y -ð y)2
t t
t t
Wartości współczynnika determinacji zawierają się w
przedziale *0,1+. Określa on jaka częśd zmienności
zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona zmiennością
zmiennych objaśniających uwzględnionych w modelu.
Skorygowany współczynnik
determinacji
" Skorygowany współczynnik determinacji:
2
k
R =ð R2 -ð (1-ð R2)
n -ð (k +ð1)
Służy do porównywania modeli z różną liczbą
zmiennych objaśniających.
Średnie błędy ocen parametrów
Wartośd statystyki t
Weryfikacja statystyczna modelu
Dochody, w Wydatki na
tys. odzież, w tys.
ZÅ‚/osobÄ™ ZÅ‚/osobÄ™
Xi yi yi teoret ei ei^2 (yi-y średn)^2
30,5 5,5 4,916917 0,583082584 0,3399853 2,25
27,3 3,4 3,944764 -0,544764011 0,29676783 0,36
29,5 4,6 4,613119 -0,013119477 0,00017212 0,36
35 6 6,284008 -0,28400814 0,08066062 4
22,7 2,9 2,547293 0,352706508 0,12440188 1,21
25,3 3,5 3,337168 0,162831867 0,02651422 0,25
29,3 4,5 4,55236 -0,052359889 0,00274156 0,25
20,5 1,8 1,878938 -0,078938027 0,00623121 4,84
24 2,6 2,942231 -0,342230813 0,11712193 1,96
25,3 3,4 3,337168 0,062831867 0,00394784 0,36
32,9 5,8 5,646032 0,153967531 0,023706 3,24
" 1,02225051 19,08
Wariancja reszt modelu: 0,11358339 Średnie błedy ocen parametrów
Średni błąd modelu 0,34 S(a0)= 0,6699
Średnia wartośd zmiennej objaśnianej 4 S(a1)= 0,0241
Współczynnik zmienności 8,4%
Współczynnik determinacji 0,946 Wartości statystyk t
t(a0)= -6,492
t(a1)= 12,609
Koniec& ..
JðJðJð